Kommutator und Taylorentwicklung um Mittelwert

JumpingJoke · Gast

Hallo,

beim Lesen von Literatur von Schwabl, stieß ich ich heute auf zwei Stellen, die für mich wie vom Himmel fielen. Langes Überlegen brachte keinen Erfolg, so hoffe ich, dass ich hier Hilfe finde.

Folgendes verstehe ich nicht:

1)
Der Poisson-Klammer der klassischen Mechanik entspricht offenbar in der Quantenmechanik der Kommutator multipliziert mit i/h:

Ich verstehe tatsächlich keinen Schritt dieser Umformung. Also der Hamilton Operator ist wahrscheinlich eine Summe, weil ich mehrere Teilchen Betrachte, ok. Woher kommt aber die 2 im Zähler und wo ist das quadrat über dem p? Wo ist das x_i hin? Ich kann das ganz nicht nachvollziehen.

2)
Im Kapitel über das Ehrenfest-Theorem hieß es, dass es nicht klar ist, dass die Mittelwerte <x> und <p> den klassischen Bewegungsgleichungen genügen. Damit letzteres der Fall ist, muss man <K(x)> durch seinen Wert K(<x>) an der Stelle <x> ersetzen können.
Dafür wird die Kraft K um dem Mittelwert <x> entwickelt und folgendes kam raus:

Das Entstehen dieser Gleichung wurde weder erläutert, sonst noch was.
Also das ist eine Taylorentwicklung, das sieht zumindest danach aus. Wofür denkt Ihr steht der Index i beim K? Und beim 3ten Summanden steht statt (x_j - <x_j>)^2, eine Multiplikation aus zwei Faktoren mit verschiedenen Indizes. Warum? Was sind das für Multiindizes und warum gibt es 3 davon...

Bitte um Hilfe,

Danke

JumpingJoke · Gast

Ok, das 2) ist die Taylor-Formel im mehrdimensionalen, habe ich übersehen.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 17245

Du startest mit

Das siehst du allgemein für

durch simples vollständiges Hinschreiben aller Terme links und rechts.

Dann ist

und damit

Einsetzen in die Summe liefert genau den einen Term mit m = n

Alternativ kannst du dir auch zu Beginn überlegen, dass das x_n mit allen Termen der Summe vertauscht, außer mit dem einen m = n.

D.h.

Wenn es dir zu abstrakt wird, kannst du auch mal in der Ortsdarstellung arbeiten.

Dann ist

und

Alles weitere funktioniert genauso mit einer beliebige Funktion

sauberer Anwendung der Produktregel sowie