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kreis
Anmeldungsdatum: 27.04.2014
Beiträge: 93
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 kreis Verfasst am: 04. Mai 2014 00:16 Titel: Taylorentwicklung Gravitationspotential. |
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Ich hab da eine Aufgabe, die ich noch unbedingt auf die ""Reihe"" bekommen möchte.
Im ersten Abschnitt ging es darum anhand der Maclaurin-Entwicklung (Taylor am Ursprung) zu zeigen dass das Gravitationpotential in der Nähe der Erdoberfläche näherungsweise U=mgh+const. entspricht. Dazu sollte man }) entwickeln und eine Analogie zu }) finden. (Sei R der Erdradius und h die Höhe.)
Den ersten Abschnitt habe ich gemacht aber den zweiten krieg ich jetzt irgendwie nicht zeusammengebastelt. Der Abschnitt lautet wie folgt:
Zitat Aufgabenblatt:
"b) Man kann den Gültigkeitsbereich der Näherung durch die Taylorentwicklung grob dadurch abschätzen, dass man den ersten vernachlässigten Term mit dem letzten berücksichtigen Term vergleicht. Bis zu welcher Höhe über dem Erdboden ist der Betrag des Verhältnisses des Terms zweiter Ordnung zu dem Term erster Ordnung kleiner als 1 % ?"
Zitat Ende.
Ansatz:
Ich vermute ich soll jetz bis zur zweiten Ordnung entwickeln aber diesmal an einer generellen Stelle die ich a nenne:
= \sum\limits_{n=0}^{m=2} \frac{\frac{\partial^n U(h)}{\partial h^n}}{n!} \cdot (h-a)^n) und das alles evaluiert an der Stelle h=a.
Und dann muss man sicher eine Ungleichung aufstellen in dem man einen Bruch (also ein Verhältnis) zwischen zwei Terme bildet und sich fragt wann das kleiner als 1 Prozent ist..
aber dann kommt bei mir nur nonsense raus... so please  .
Zuletzt bearbeitet von kreis am 04. Mai 2014 11:21, insgesamt einmal bearbeitet |
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SirZampano
Anmeldungsdatum: 26.04.2014
Beiträge: 21
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| SirZampano Verfasst am: 04. Mai 2014 02:12 Titel: |
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Mach doch einfach eine Taylor-Entwicklung wieder an der Stelle a=0 (wieso sollte man in diesem Fall auch Annäherungen an 2 Punkten betrachten?). Dann teilst du den Term zweiter Ordnung durch den Term erster Ordnung und setzt das alles gleich 1%.
Denn wenn es 1% wird kennst du die Stelle AB der es 1% wird (Grob überschlagen kommt da eine Höhe raus, die  beträgt) |
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kreis
Anmeldungsdatum: 27.04.2014
Beiträge: 93
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| kreis Verfasst am: 04. Mai 2014 11:19 Titel: |
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 = ... = \frac{-G\cdot M\cdot m}{R} \cdot h^0 + \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \cdot h^1 - \frac{ 2 \cdot G \cdot M \cdot m}{R^3}\cdot h^2 )
 = ... = \frac{-G\cdot M\cdot m}{R}+ g\cdot m \cdot h - \frac{2 \cdot g \cdot m}{R}\cdot h^2 )
 = ... = const. + g\cdot m \cdot h - \frac{2 \cdot g \cdot m \cdot h^2}{R})
Und was soll jetzt der Term erster Ordnung bzw. der Term zweiter Ordnung sein?  |
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SirZampano
Anmeldungsdatum: 26.04.2014
Beiträge: 21
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| SirZampano Verfasst am: 04. Mai 2014 11:26 Titel: |
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| kreis hat Folgendes geschrieben: |  = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \cdot h^1 - \frac{ 2 \cdot G \cdot M \cdot m}{R^3}\cdot h^2 ) |
Diese beiden Terme brauchst du, wobei du beachten musst, dass du bei dem zweiten Term noch mit  multiplizieren musst. Der ganze G*M Kram fällt beim Teilen weg. Die Sache mit erster und zweiter Ordnung bezieht sich auf die Stelle n in deiner Taylor Reihe. Also ganz am Anfang (n=0) steht der Term nullter Ordnung etc. |
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kreis
Anmeldungsdatum: 27.04.2014
Beiträge: 93
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| kreis Verfasst am: 04. Mai 2014 11:37 Titel: |
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| SirZampano hat Folgendes geschrieben: | | kreis hat Folgendes geschrieben: | | |
Diese beiden Terme brauchst du, wobei du beachten musst, dass du bei dem zweiten Term noch mit multiplizieren musst. Der ganze G*M Kram fällt beim Teilen weg. |
Ahh... das erklärt einiges xDDDDDDDDDDD
 =..= const. + \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \cdot h- \frac{ 2 \cdot G \cdot M \cdot m}{R^3}\cdot h^2 \cdot \frac{1}{2!} =
<br />
<br />
= const. + \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} \cdot h - \frac{G \cdot M \cdot m}{R^3}\cdot h^2 )
Daraus sollte dann das Verhältnis folgen:
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SirZampano
Anmeldungsdatum: 26.04.2014
Beiträge: 21
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| SirZampano Verfasst am: 04. Mai 2014 11:40 Titel: |
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Genau so  |
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kreis
Anmeldungsdatum: 27.04.2014
Beiträge: 93
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| kreis Verfasst am: 04. Mai 2014 11:42 Titel: |
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| Zitat: |
Daraus sollte dann das Verhältnis folgen:
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 Und jetzt??  |
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kreis
Anmeldungsdatum: 27.04.2014
Beiträge: 93
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| kreis Verfasst am: 04. Mai 2014 11:47 Titel: |
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Ahh dass geht ja nur wenn h 100 mal kleine ist als R bzw. daraus folgt dann dass h <= 0.01R sein muss damit das Verhältnis unter einem Prozent liegt!!  |
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SirZampano
Anmeldungsdatum: 26.04.2014
Beiträge: 21
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| SirZampano Verfasst am: 04. Mai 2014 11:48 Titel: |
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Exakt |
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kreis
Anmeldungsdatum: 27.04.2014
Beiträge: 93
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| kreis Verfasst am: 04. Mai 2014 11:51 Titel: |
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Danke!  |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 16:13 Titel: |
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@ kreis: Kannst du mir beim ersten Teil der Aufgabe weiterhelfen, ich steig da nämlich noch net so recht durch... Bzw bin mir noch nicht so ganz sicher, ob meine Lösung richtig ist.
Ich hab die Tailorreihe zweiter Ordnung von  gebildet, das heißt einfach nur die Addition der beiden Ableitungen zur Formel mit 1/(2!) bei der letzten, und die ersichtliche Entwicklung (d.h. alternierendes Vorzeichen, Zähler gleichbleibend (ich weiß, ändert sich bei höheren Abls), Nenner quadrierend, dann angewendet auf U(h) und dann auf V(r). Dann kam ich auf: =- \frac {GMm}{r} + \frac {GMm}{r^2}) Dann wird der erste Teil ja zu mgh, also potenzielle Energie und der Zweite sollte nahezu konstant sein... Da habe ich dann eigentlich als Begründung lediglich, dass die potenzielle Energie für m=1kg im Bereich 10^10Nm ist, der zweite Term aber nur im Bereich 10^7N und deshalb vernachlässigbar ist... Kommt mir nur irgendwie a bissl seltsam vor, weil ich zum Beispiel für mgh bei m=1kg auf einen viel kleineren Wert komme. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 16:31 Titel: |
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| wohldefiniert hat Folgendes geschrieben: | | |
Zumindest hier stimmen die Einheiten nicht... ansonsten ist es am Schönsten den Faktor G*m*M/R auszuklammern, dann sieht man leicht um wie viel kleiner die höheren Terme sind. |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 17:40 Titel: |
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Naja, aber so kommt es bei mir raus... Nach der Quotientenregel wird der Zähler ja zu null abgeleitet, der Nenner zu 1 und denn naja... ändert sich nicht sooo viel... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 17:47 Titel: |
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| wohldefiniert hat Folgendes geschrieben: | | Naja, aber so kommt es bei mir raus.... |
Dann hast Du einen Fehler gemacht. |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 18:20 Titel: |
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= - \frac {0 \cdot r - GMm \cdot 1}{r^2} = \frac {GMm}{r^2} )
Sehe da jetzt keinen Fehler... Oder bin ich blöd? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 18:29 Titel: |
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Das ist richtig (im wesentlichen zumindest: Du musst nach r ableiten und nicht nach t wie geschrieben, aber das nur nebenbei das Ergebnis ist richtig).
Aber das ist nicht die Taylorreihe für das Potential |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 18:48 Titel: |
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Die erste Zeile der Aufgabe lautet aber: "Das Gravitationspotential für ein Punktteilchen der Masse m im Außenraum der Erde ist gegeben durch: = \frac {GMm}{r} ) |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 18:49 Titel: |
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Ups, ein Minus vergessen vor dem Bruch... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 19:06 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: |
Aber das ist nicht die Taylorreihe für das Potential |
Wie lautet denn ganz allgemein die Taylorreihe?
PS: Vllt hast Du Dich in Deiner Formel oben auch nur verschrieben... guck Sie Dir lieber nochmal genau an, insbesondere was Einheiten angeht... nicht dass ich Dich versuch zu verbessern und es hier nur an einem Abschreibfehler liegt... |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:17 Titel: |
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}{\partial n r} ) Oder? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:19 Titel: |
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Mist, vertippt: }{ \partial r^n}) |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 19:24 Titel: |
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Es wird nicht besser  Schau Dir den Link mal an. |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:27 Titel: |
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Ok... Also auf dem Blatt stand als allgemeine Definition: }{ \partial x^n} |_{x=a} \cdot (x-a)^n)
Aber für x=a käme dann ja eigentlich Null raus, drum habe ich den letzten Part quasi ignoriert... Und was wäre überhaupt a für v? x ist ja r, und andere Komponenten... Oder könnte a=h sein? Aber dann wärs ja auch nicht gleich x, also r... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 19:36 Titel: |
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Die Taylorreihe gibt Dir an, wie Du den Wert einer Funktion in einem Punkt finden kannst, wenn Du den Wert der Funktion (und ihrer Ableitungen) in einem anderen Punkt kennst (der wenn es geht nah dranbleiben sollte). In Deinem Fall also:
 = V(r_0) + V'(r_0)\, (r-r_0) + \tfrac{1}{2!} V''(r_0) \, (r-r_0)^2 + \dots)
Da Du an kleinen Höhen über der Erdoberfläche interessiert bist, wählst Du r+0=R=radius der Erde und r=R+h und erhaelst
 = V(R) + V'(R)\, h + \tfrac{1}{2!} V''(R) \, h^2 + \dots) .
(und jetzt stimmen auch die Einheiten in jedem Term...) |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:42 Titel: |
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Ach sooooo, x=r und a=R und r-R=h. Dann wird also an jeden Term nochmal h^n... Nur was das mit x=a soll, verstehe ich nicht so ganz, soll das heißen dass v(r) auf Höhe der Erdoberfläche betrachtet wird oder wie??? |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:43 Titel: |
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Ups, während ich geschrieben habe, hast du dasselbe getan, ich sollte aufhören so ewig im Editor zu grübeln... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 19:49 Titel: |
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| wohldefiniert hat Folgendes geschrieben: | | Ups, während ich geschrieben habe, hast du dasselbe getan, ich sollte aufhören so ewig im Editor zu grübeln... |
So lange Du dann selber darauf kommst ist doch ok. Da hast Du mehr von.
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:53 Titel: |
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Ok, aber dann kommen ja für alle Höhen über 1m noch viel größere Werte raus... und zwischen 0 und 1m über der Erdoberfläche würde das Potenzial dann richtig klein werden und gegen null gehen... öhm... Würde man das nicht im Alltag merken? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 19:53 Titel: |
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Der V(R)-Term vorne ist um einiges Größer als die folgenden. |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:54 Titel: |
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Ach, nee, V(r) ist ja ohne h... Ok, vergiss den obrigen Beitrag ^^ |
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wohldefiniert
Gast
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| wohldefiniert Verfasst am: 07. Nov 2014 19:56 Titel: |
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Vielen Danke für deine Hilfe. Jetzt hab ichs, glaub ich, gerafft. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 07. Nov 2014 20:07 Titel: |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 07. Nov 2014 23:54 Titel: |
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Rein gefühlsmäßig müßten doch auch die Lagrangepunkte L4 und L5 der Erde dankbare Objekte für Näherungslösungen dieser Art sein, oder?
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 08. Nov 2014 09:04 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | Rein gefühlsmäßig müßten doch auch die Lagrangepunkte L4 und L5 der Erde dankbare Objekte für Näherungslösungen dieser Art sein, oder?
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Taylornaeherung an diesen Punkten ist natürlich besonders nett, da die erste Ableitung des Potentials dort verschwindet... |
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