Translationsoperator Beweis

Tunneleffekt · Gast

Meine Frage:
Hi Leute,

Ich habe eine Frage bzgl. des Translationsoperators in der Quantenphysik.
Wir müssen als Übungsaufgabe beweisen, dass der Translationsoperator folgende Gleichung erfüllt:

Nun vermute ich, dass das wohl am Besten geht, wenn man das über die Taylorentwicklung macht, nur komme ich da nicht weiter.

Meine Ideen:
Nehme ich also jetzt die Gleichung

,

welche den Translationsoperator beschreibt (Phi ist die Wellenfunktion), und entwickle beide Seiten mittels Taylorreihenentwicklung, erhalte ich:

<=>

Hier hab ich um die Stelle

entwickelt.
Ab hier weiß ich jetzt nur nicht, wie ich weiter machen soll...

Bin dankbar für jede Hilfe.

MfG
Tunneleffekt

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Der Witz ist, die rechte Seite um x zu entwickeln.

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Hier ist noch eine alternative Möglichkeit: Fouriertransformation hin und zurück!

Nun hat der Impulsoperator bekanntlich die Ortsraumdarstellung

. Dem entspricht 1:1 die Aussage

aus der Fourieranalysis. Nun kann man das obige Exponential als Potenzreihe entwickeln und sich mittels Faltungstheorem davon überzeugen, daß folglich auch

gilt. Nun macht man wieder eine inverse Fouriertransformation und erhält

.

Das nur als Anregung. Ich weiß nicht, ob das die gewünschte Lösung ist.

Und genauso sieht man natürlich auch, wie man einen Boost realisiert. Augenzwinkern

PS: Das ist etwa derselbe mathematische Trick, den man auch bei der Herleitung des Propagators für den freien Hamilton-Operator (und damit auch beim Pfadintegralformalismus) anwendet.

quax · Gast

wie kommst du auf die Taylorentwicklung dieser Gleichung?

Vielen Dank!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

quax · Gast

Ich meine Die Taylorentwicklungen der Gleichung

Die Entwicklung der LHS is mir schon klar, aber jene von RHS bekomm ich nicht so hin, bzw. wenn man sie um x entwickelt blick ich nicht ganz durch... (was passiert in der Entwicklung da mit (x-x)?)

Dankesehr!

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18078

Es geht um

l.h.s.:

Anwendung des Operators

r.h.s.:

Taylorentwicklung von f(x) um beliebiges x_0

Taylorentwicklung von f(x-a) um beliebiges x_0

Setze nun

dann folgt

und die beiden Reihen stimmen überein

quax · Gast

Vielen Dank!!

ergibt natürlich Sinn so Big Laugh