Beweis Pauli Matrizen sind Untergruppe der unitären Gruppe

Stella P. · Anmeldungsdatum: 13.05.2021 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ich soll zeigen dass die Pauli Matrizen eine Untergruppe der unitären Matrizen U(2)={A ? GL(2,C): A^-1 = A^-T ist.

Meine Ideen:
Ich habe in den Untergruppenkriterien geschaut und meine dass man evt mit den Inversen einen Beweis aufbauen kann, weiß allerdings nicht wie.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5863

Ist das der genaue Aufgabentext?
Die 3 Pauli-Matrizen zusammen mit der 2x2-Einheitsmatrix bilden alleine noch keine Gruppe, denn das Produkt von 2 verschiedenen Pauli-Matrizen ist keine Pauli-Matrix. Erst die 4 Matrizen plus die mit i, -i und -1 multiplizierten Matrizen bilden mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe.

Man müsste also zeigen:
-die 16 Gruppenelemente sind unitäre 2x2-Matrizen
-da U(2) eine Gruppe ist, ist damit auch gezeigt, dass die Multiplkation von Elementen assoziativ ist.
-das Produkt von 2 beliebigen Elementen ist wieder ein Element der Gruppe
-es existiert ein Neutralelement (natürlich die Einheitsmatrix)
-jedes Element hat ein Inverses, das Element der Gruppe ist.

PS: Die Assoziativität ist auch klar, da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist.