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Schrödinger und Matrizen
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MarkkO



Anmeldungsdatum: 29.11.2021
Beiträge: 1

Beitrag MarkkO Verfasst am: 29. Nov 2021 20:16    Titel: Schrödinger und Matrizen Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich hätte eine Frage:
Es wird ja immer gesagt, dass Heisenberg die Matrizenmechanik erfunden hat.
Nun stelle ich mir das so vor: Man kann einen abstrakten Vektor Psi des Hilbertraums (einfacher Fall, das Hilbertraum endlich dimensional) darstellen, indem ich den zugehörigen Komponentenvektor angebe, wobei jede Komponente durch das Skalarprodukt eines Basisvektors der gewählten ONB mit dem Vektor Psi ist.
Heisenberg hantiert nun mit diesem SPALTENVEKTOR.

Schrödinger rechnet auch das Skalarprodukt zwischen Basisvektor und Psi aus, also Psi(x)=<x,Psi> und hat so für jedes |x> aus dem abstrakten Hilbertraum einen Funktionswert für Psi(x) definiert. Somit definiert sich Schrödinger im Vergleich zu Heisenberg eine Funktion Psi(x) anstatt wie Heisenberg einen Spaltenvektor.
Im Folgenden arbeitet Schrödinger mit seinen Objekten den Funktionen und Heisenberg mit den Spaltenvektoren, beide enthalten aber gleich viele Informationen.

Meine Frage ist, ob meine Vermutung richtig ist?

Vielen Dank im Voraus!

Mit freundlichen Grüßen

Marko

Meine Ideen:
keine Idee
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 29. Nov 2021 20:37    Titel: Re: schrödinger und Matrizen Antworten mit Zitat

MarkkO hat Folgendes geschrieben:
Meine Frage:
Hallo,

ich hätte eine Frage:
Es wird ja immer gesagt, dass Heisenberg die Matrizenmechanik erfunden hat.
Nun stelle ich mir das so vor: Man kann einen abstrakten Vektor Psi des Hilbertraums (einfacher Fall, das Hilbertraum endlich dimensional) darstellen, indem ich den zugehörigen Komponentenvektor angebe, wobei jede Komponente durch das Skalarprodukt eines Basisvektors der gewählten ONB mit dem Vektor Psi ist.
Heisenberg hantiert nun mit diesem SPALTENVEKTOR.

Schrödinger rechnet auch das Skalarprodukt zwischen Basisvektor und Psi aus, also Psi(x)=<x,Psi> und hat so für jedes |x> aus dem abstrakten Hilbertraum einen Funktionswert für Psi(x) definiert. Somit definiert sich Schrödinger im Vergleich zu Heisenberg eine Funktion Psi(x) anstatt wie Heisenberg einen Spaltenvektor.


Der Vergleich hinkt etwas. Bei handelt es sich nicht um eine Zerlegung bzgl. einer Orthonormalbasis, sondern um eine Spektraldarstellung (Ortsdarstellung). Die linke Seite läßt sich nicht als Skalarprodukt im Hilbertraum auffassen. Während die Hilbertraumbasis beliebig und höchstens abzählbar ist, erfordert die Spektraldarstellung irgendeinen normalerweise wesentlich selbstadjungierten Operator, z.B. den Ortsoperator X. Dieser definiert eine unitäre Abbildung des abstrakten Hilbertraums auf die Menge der quadratintegrablen Funktionen über dem dreidimensionalen Raum, auf dem X durch einfache Multiplikation mit x definiert ist, d.h.



Die Diracnotation verwendet für U dieselbe Schreibweise wie für das Skalarprodukt . Aber beides hat eigentlich nichts miteinander zu tun.
Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 29. Nov 2021 21:25    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index_razor,

vielen Dank für deine Antwort! Du schreibst, dass sich <x|Psi> nicht als Skalarprodukt auffassen lässt. Allerdings wird doch genau so ein Skalarprodukt bei der Bildung des Spaltenvektors im Falle von Heisenberg gebildet:
Also die erste Komponente des Spaltenvektors erhält man durch nehmen des ersten Basisvektors der ONB |x> und bilden des Skalarprodukts mit |Psi>?
Da klappt es ja schließlich auch?
Oder nicht?


Vielen Dank im Voraus!


Mit freundlichen Grüßen

Marko
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 29. Nov 2021 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

Du kannst natürlich jeden Vektor bezüglich einer Orthonormalbasis zerlegen



Hierbei sind die Skalarprodukte mit den Elementen der Orthonormalbasis.

Die Darstellung eines Hilbertraumvektors in Form einer Ortswellenfunktion ist aber etwas völlig anderes. Das Symbol bezeichnet kein Element des Hilbertraums und folglich auch kein Skalarprodukt.

Trotzdem sind beide Varianten natürlich gleichwertige Sichtweisen auf denselben abstrakten Hilbertraum.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 08:04    Titel: Antworten mit Zitat

Heisenberg und Schrödinger haben den Begriff des abstrakten Hilbertraums und diese Notation nicht verwendet. Soweit ich weiß, hat Dirac diese ab ca. 1927 entwickelt und auf dieser Basis die Äquivalenz von Matrizen- und Wellenmechanik gezeigt. Diese war jedoch bereits 1926 durch Schrödinger gezeigt worden.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 09:36    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index Razor,

Danke für deine Hilfe!
Was ich noch nicht so richtig verstehe und da immer verwirrt bin:
Was für Elemente sind GENAU in dem abstrakten Hilbertraum H?
Ich meine wenn ich in der Mathematik einen Vektorraum konstruiere, dann kann man ja die Elemente die da drinnen enthalten sind, konkret definieren.
Mir kommt es nämlich so vor, als wenn Schrödinger bevor der abstrakte Vektorraum definiert wurde, erstmal nur in dem Darstellungsraum (ich glaube bei dir mit dem L^2 bezeichnet gearbeitet. Er wusste allerdings nichts von einem Darstellungsraum. Nachträglich hat man dann (also Dirac) die Wellenfunktionen von Schrödinger als Funktionen eines Vektorraums L^2 interpretiert, welche die Darstellungen eines abstrakten Vektors im Vektorraum H sind. Diesen Vektor aus dem abstrakten Vektorraum H kann man nun nicht genau definieren, das einzige was man weiß ist, dass man aus diesem eine Darstellung beispielsweise die Ortswellenfunktion erhält und nur diese ist genau definiert als Element. Genauso kann man aus dem abstrakten Vektor aus H den man ja eigentlich NICHT KENNT, die Impulswellenfunktion darstellen.

Stimmt das so?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Marko
Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 09:39    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo TomS,

Sehr interessant, danke für die Information!

Liebe Grüße

Marko
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 10:06    Titel: Antworten mit Zitat

Ich bin mir bei dem folgenden nicht absolut sicher, man müsste sich die Arbeiten mal genauer anschauen. Heisenberg verwendet letztlich den l²-Folgenraum, Schrödinger den L² der quadratintegrablen Funktionen. Für endliches Intervall [a,b] existiert zwischen L²[a,b] und l² eine bijektive Abbildung mittels Fouriertransformation; auch im Falle des harmonischen Oszillators mit reinem Punktspektrum erkennt man diesen Zusammenhang unmittelbar.

Das Problem ist jedoch, dass in



die Exponentialfunktion eben gerade nicht quadratintegrabel ist, also nicht Element des L², und demnach kein Skalarprodukt über dem L² vorliegt. Das muss auch keineswegs der Fall sein; zwar definiert eine quadratintegrable Funktion immer ein lineares Funktional auf dem L², jedoch ist nicht jedes lineare Funktional auf dem L² durch eine quadratintegrable Funktion definiert (die Fouriertransformation ist speziell eine unitäre Transformation).

Um die Äquivalenz zu zeigen, ist das das aber auch nicht unbedingt notwendig. Man geht letztlich von zwei Räume aus, also z.B. den l² und den L², sowie von zwei Operatoren H auf diesen Räumen; dann benötigt man eine Bijektion zwischen diesen Räumen sowie identisches Spektrum der Operatoren H. Dabei ist es nicht notwendig, das lineare Funktional <x| als Zustand aufzufassen, dem auch eine Wellenfunktion entspricht (auch wenn die Physiker das gerne tun).

Was mir aber nicht klar ist, wie Schrödinger die Äquivalenz tatsächlich gezeigt haben will. Denn um zum l² zu gelangen, muss er sich auf das Punktspektrum beschränken bzw. Wellenpakete betrachten; jedenfalls sehe ich nicht, wie man nicht-normierbare Streuzustände mit kontinuierlichem Spektrum dem l² zuordnen will.

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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 10:22    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

Was ich noch nicht so richtig verstehe und da immer verwirrt bin:
Was für Elemente sind GENAU in dem abstrakten Hilbertraum H?
Ich meine wenn ich in der Mathematik einen Vektorraum konstruiere, dann kann man ja die Elemente die da drinnen enthalten sind, konkret definieren.


Mit "abtraktem Hilbertraum" meint man einfach "irgendeinen Hilbertraum" mit der passenden Dimension. Die Elemente kann man nicht genauer definieren als z.B. die Elemente eines abstrakten reellen dreidimensionalen Vektorraums. Letztere können z.B. die Tripel aus sein oder die reellen Polynome bis zum Grad 2. Bei beiden handelt es sich um denselben "abstrakten Vektorraum", einfach aus dem Grund, daß man ihre Elemente 1-zu-1 und unter Erhaltung der Vektorraumstruktur aufeinander abbilden kann, z.B. so



Weil eine solche Zuordnung zwischen zwei beliebigen dreidimensionalen Vektorräumen besteht, ist es eigentlich egal, wie man sich die Elemente konkret vorstellt. Und nur weil es egal ist, ist der Begriff des abstrakten Vektorraums überhaupt erst nützlich.

Genauso ist es im Prinzip auch mit dem abstrakten Hilbertraum in der Quantenmechanik. Für sich allein genommen sind die Elemente auch relativ uninteressant, eben gerade aus dem Grund, daß sie praktisch für alle Systeme gleich sind. Ihre physikalische Interpretation bekommen sie erst im Zusammenhang mit der Observablenalgebra. Diese ist es, die die Systeme physikalisch voneinander unterscheidet.

Zitat:

Mir kommt es nämlich so vor, als wenn Schrödinger bevor der abstrakte Vektorraum definiert wurde, erstmal nur in dem Darstellungsraum (ich glaube bei dir mit dem L^2 bezeichnet gearbeitet. Er wusste allerdings nichts von einem Darstellungsraum. Nachträglich hat man dann (also Dirac) die Wellenfunktionen von Schrödinger als Funktionen eines Vektorraums L^2 interpretiert, welche die Darstellungen eines abstrakten Vektors im Vektorraum H sind. Diesen Vektor aus dem abstrakten Vektorraum H kann man nun nicht genau definieren, das einzige was man weiß ist, dass man aus diesem eine Darstellung beispielsweise die Ortswellenfunktion erhält und nur diese ist genau definiert als Element. Genauso kann man aus dem abstrakten Vektor aus H den man ja eigentlich NICHT KENNT, die Impulswellenfunktion darstellen.


Niemand kann dir sagen wie ein abstrakter Vektor konkret aussieht. Das macht ihn ja gerade "abstrakt". Das gilt m.E. für Hilbertraumvektoren genauso wie für dreidimensionale Vektoren. Man kann aber sehr konkrete Aussagen über die linearen Beziehungen zwischen mehreren abstrakten Vektoren aufstellen, die sich auf jeden konkreten Vektorraum derselben Dimension beziehen können. In der Quantenmechanik folgt z.B, aus der abstrakten Beziehung , daß Orts- und Impulsdarstellung mittels Fouriertransformation auseinander hervorgehen. Solche Aussagen sind eigentlich die einzigen, die physikalisch relevant sind.
Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 11:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index Razor,

vielen Dank nochmal für deine Antwort!
Ok, verstehe!
Allerdings habe ich immer noch Probleme das ganze konkret zu ordnen auf die Quantenmechanik:
Ich habe mal in den Anhang was getan:
Dort steht wiederum, das Psi(x) der abstrakte Vektor aus H ist, was mich wiederum total verwirrt. Ich dachte, dass Psi(x) aus dem L^2 also dem Darstellungsraum ist und nicht dem abstrakten Vektorraum.
Wie kann ich das verstehen?

Außerdem wie kann ich die Gleichungen verstehen, über die ich ein Fragezeichen gemacht habe: Denn wenn die Vektoren aus dem abstrakten Hilbertraum nicht genauer definiert sind, außer dass man bspw. weiß, dass sie aus einem dreidimensionalen Vektorraum kommen, wie kann man dann eine Abbildung darauf definieren, wie man es beim ersten Gleichheitszeichen sieht?

Vielen Dank im Voraus!

Liebe Grüße

Marko



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Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 11:08    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo TomS,

ok, vielen Dank für die Nebeninfo!

Liebe Grüße

Marko
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 11:44    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

Allerdings habe ich immer noch Probleme das ganze konkret zu ordnen auf die Quantenmechanik:
Ich habe mal in den Anhang was getan:
Dort steht wiederum, das Psi(x) der abstrakte Vektor aus H ist, was mich wiederum total verwirrt. Ich dachte, dass Psi(x) aus dem L^2 also dem Darstellungsraum ist und nicht dem abstrakten Vektorraum.
Wie kann ich das verstehen?


Es gibt nicht "den" abstrakten Hilbertraum. Wenn man vom "abstrakten Hilbertraum" spricht, dann will man gerade betonen, daß man nur ganz allgemein (eben "abstrakt") über eine gewisse lineare Struktur redet, und daß die konkreten Elemente, auf denen diese Struktur definiert sind, unwichtig sind. Es können Funktionen oder komplexe Zahlenfolgen oder noch irgendwas ganz anderes sein.

In dem Buch ist nur davon die Rede, daß eine Wellenfunktion als Element eines abstrakten Hilbertraums interpretiert wird. Alles was man dafür tun muß, ist also Linearkombinationen und Skalarprodukte von Wellenfunktionen definieren. (Und dann "vergessen", daß es sich mal um Funktionen handelte.)


Zitat:

Außerdem wie kann ich die Gleichungen verstehen, über die ich ein Fragezeichen gemacht habe: Denn wenn die Vektoren aus dem abstrakten Hilbertraum nicht genauer definiert sind, außer dass man bspw. weiß, dass sie aus einem dreidimensionalen Vektorraum kommen, wie kann man dann eine Abbildung darauf definieren, wie man es beim ersten Gleichheitszeichen sieht?


Lies einfach "Vektor aus einem abstrakten Hilbertraum" als "irgendein Vektor aus irgendeinem Hilbertraum". Für jeden beliebiebigen (unendlichdimensionalen) Hilbertraum kannst du dann die zugehörigen Abbildungen mit Hilfe des Spektralsatzes jeweils für die Operatoren X und P definieren.
Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 12:52    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index_razor,

danke für deine Nachricht!
Du schreibst, dass im Buch geschrieben wird, dass die Wellenfunktion Psi(x) als Element eines abstrakten Hilbertraums interpretiert wird.
Aber, ich dachte Psi(x) "lebt" im Darstellungsraum, also dem L^2 und nicht in dem abstrakten Hilbertraum H?

Was meinst du mit: "Vergessen", dass es sich um Funktionen handelte?

Außerdem sagst du, dass man mit Hilfe des Spektralsatzes Psi(x) und Psi(p) definiert. Allerdings bringst du da den Ortsoperator ins Spiel, der doch für die Definition der Ortswellenfunktion unerheblich ist oder nicht? Man projiziert doch lediglich mit dem Ortsprojektionsoperator, der doch keinen Ortsoperator in sich enthält?

Danke nochmal!

Liebe Grüße

Marko


Zuletzt bearbeitet von Markooooo7 am 30. Nov 2021 13:06, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 12:58    Titel: Antworten mit Zitat

Ich halte den Sprachgebrauch, eine Wellenfunktion als Element eines abstrakten Hilbertraumes zu interpretieren, für seltsam.

Der abstrakte Hilbertraum bietet eine gemeinsame Basis, die allen separablen Hilberträumen gemein ist. Ein konkreter Hilbertraum liefert eine spezielle Darstellung für spezielle Fragestellungen, weil mich z.B. die Wahrscheinlichkeitsdichte im Ortsraum interessiert oder weil die Bargmann-Darstellung rechentechnische Vorteile bietet.

Der abstrakte Hilbertraum erlaubt es, einen Großteil der Quantenmechanik kompakt darzustellen, ohne sich in diesem Details zu verlieren.

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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 13:02    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich bin mir bei dem folgenden nicht absolut sicher, man müsste sich die Arbeiten mal genauer anschauen. Heisenberg verwendet letztlich den l²-Folgenraum, Schrödinger den L² der quadratintegrablen Funktionen. Für endliches Intervall [a,b] existiert zwischen L²[a,b] und l² eine bijektive Abbildung mittels Fouriertransformation; auch im Falle des harmonischen Oszillators mit reinem Punktspektrum erkennt man diesen Zusammenhang unmittelbar.


Eine solche bijektive Abbildung existiert für alle unendlichdimensionalen separablen Hilberträume, also auch für .

Zitat:

Was mir aber nicht klar ist, wie Schrödinger die Äquivalenz tatsächlich gezeigt haben will. Denn um zum l² zu gelangen, muss er sich auf das Punktspektrum beschränken bzw. Wellenpakete betrachten; jedenfalls sehe ich nicht, wie man nicht-normierbare Streuzustände mit kontinuierlichem Spektrum dem l² zuordnen will.


Das muß man gar nicht. Nicht-normierbare Funktionen liegen ja auch nicht in L². Um zum zu gelangen benötigt man überhaupt kein Spektrum, sondern lediglich eine abzählbare Hilbertraumbasis.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

Du schreibst, dass im Buch geschrieben wird, dass die Wellenfunktion Psi(x) als Element eines abstrakten Hilbertraums interpretiert wird.
Aber, ich dachte Psi(x) "lebt" im Darstellungsraum, also dem L^2 und nicht in dem abstrakten Hilbertraum L^2?


Was ist der Unterschied zwischen dem "Darstellungsraum L²" und dem "abstrakten Hilbertraum L²"? L² ist ein Hilbertraum und hat deshalb, wie jeder Hilbertraum, alle Eigenschaften eines abstrakten Hilbertraums. Folglich kann man eine Wellenfunktion als Element eines abstrakten Hilbertraums ansehen.

Zitat:

Was meinst du mit: "Vergessen", dass es sich um Funktionen handelte?


Damit meine ich, daß man von der irrelevanten Tatsache abstrahiert (deshalb "abstrakter Hilbertraum"), daß es sich um Funktionen handelt und fortan nur noch diejenigen Eigenschaften der linearen Struktur und des inneren Produkts betrachtet, die für alle Hilberträume identisch sind.

Zitat:

Außerdem sagst du, dass man mit Hilfe des Spektralsatzes Psi(x) und Psi(p) definiert. Allerdings bringst du da den Ortsoperator ins Spiel, der doch für die Definition der Ortswellenfunktion unerheblich ist oder nicht?


Nein, im Gegenteil, allein dieser Operator definiert, wieso ein bestimmtes Element aus L² als "Ortswellenfunktion" bezeichnet wird, nämlich deshalb, weil



Impulswellenfunktionen stammen ebenfalls aus L². Was sie von Ortswellenfunktionen unterschiedet, ist lediglich die Wirkung von X und der anderen Operatoren.


Zitat:

Man projiziert doch lediglich mit dem Ortsprojektionsoperator, der doch keinen Ortsoperator in sich enthält?


Ich verstehe nicht, was das bedeuten soll. Die Abbildung von abstrakten Hilbertraumvektoren auf Ortswellenfunktionen ist keine "Projektion", sondern, wie gesagt eine unitäre Abbildung.


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 30. Nov 2021 13:21, insgesamt einmal bearbeitet
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 13:20    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich bin mir bei dem folgenden nicht absolut sicher, man müsste sich die Arbeiten mal genauer anschauen. Heisenberg verwendet letztlich den l²-Folgenraum, Schrödinger den L² der quadratintegrablen Funktionen. Für endliches Intervall [a,b] existiert zwischen L²[a,b] und l² eine bijektive Abbildung mittels Fouriertransformation; auch im Falle des harmonischen Oszillators mit reinem Punktspektrum erkennt man diesen Zusammenhang unmittelbar.

Eine solche bijektive Abbildung existiert für alle unendlichdimensionalen separablen Hilberträume, also auch für .

Klar.

Ich weiß nur nicht, wie Schrödinger genau diese Abbildung konstruiert, wenn kein diskretes Spektrum vorliegt.

Ich habe mal die Originalarbeit herausgesucht; können wir ja mal querlesen:

Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Was mir aber nicht klar ist, wie Schrödinger die Äquivalenz tatsächlich gezeigt haben will. Denn um zum l² zu gelangen, muss er sich auf das Punktspektrum beschränken bzw. Wellenpakete betrachten; jedenfalls sehe ich nicht, wie man nicht-normierbare Streuzustände mit kontinuierlichem Spektrum dem l² zuordnen will.

Das muß man gar nicht. Nicht-normierbare Funktionen liegen ja auch nicht in L². Um zum zu gelangen benötigt man überhaupt kein Spektrum, sondern lediglich eine abzählbare Hilbertraumbasis.

Jein.

Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems. Aber bestimmte Probleme kannst du in dieser Form nicht darstellen, z.B. eben Streuzustände; ein l² mit dieser konkreten Energiebasis existiert schlicht nicht. Das ist natürlich kein allgemeiner Hinderungsgrund.

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Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Nov 2021 13:42, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 13:39    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich bin mir bei dem folgenden nicht absolut sicher, man müsste sich die Arbeiten mal genauer anschauen. Heisenberg verwendet letztlich den l²-Folgenraum, Schrödinger den L² der quadratintegrablen Funktionen. Für endliches Intervall [a,b] existiert zwischen L²[a,b] und l² eine bijektive Abbildung mittels Fouriertransformation; auch im Falle des harmonischen Oszillators mit reinem Punktspektrum erkennt man diesen Zusammenhang unmittelbar.


Eine solche bijektive Abbildung existiert für alle unendlichdimensionalen separablen Hilberträume, also auch für .

Klar.

Ich weiß nur nicht, wie Schrödinger genau diese Abbildung konstruiert, wenn kein diskretes Spektrum vorliegt.


Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen.

Zitat:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Was mir aber nicht klar ist, wie Schrödinger die Äquivalenz tatsächlich gezeigt haben will. Denn um zum l² zu gelangen, muss er sich auf das Punktspektrum beschränken bzw. Wellenpakete betrachten; jedenfalls sehe ich nicht, wie man nicht-normierbare Streuzustände mit kontinuierlichem Spektrum dem l² zuordnen will.

Das muß man gar nicht. Nicht-normierbare Funktionen liegen ja auch nicht in L². Um zum zu gelangen benötigt man überhaupt kein Spektrum, sondern lediglich eine abzählbare Hilbertraumbasis.

Jein.

Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. einem Energieoperator. Aber bestimmte Probleme kannst du in dieser Form nicht darstellen, z.B. eben Streuzustände; ein l² mit dieser konkreten Energiebasis existiert schlicht nicht.


Selbstverständlich kann ich Streuzustände im l² darstellen. Was ich nicht darstellen kann, sind "Eigenzustände" zu Elementen des kontinuierlichen Spektrums. Das kann ich aber auch nicht in L². Es existiert überhaupt keine "Energiebasis", wenn H ein kontinuierliches Spektrum hat, weder in L² noch in l².
Markooooo7



Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35

Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 13:57    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index_razor,

danke dir für deine Nachricht!
Kannst du mir die unitäre Abbildung U, die du auch schon in deinem ersten Beitrag erwähnt hast, dann mal genau definieren, dass ich sehe wie der abstrakte Ortsoperator hineinkommt um die Wellenfunktion Psi(x) zu definieren?

Meine Idee wäre, wenn ich mir <x|Psi>=:Psi(x) anschaue, dass <x| als lineares Funktional mein U ist.
Aber ich sehe, wenn <x| mein U ist, da noch nicht den ABSTRAKTEN Ortsoperator drinnen enthalten.
Denn:
Ursprünglich wird doch das Funktional <x| (aus dem Dualraum) aus einem Ket |x> des abstrakten Hilbertraums definiert, wobei letzteres bloß ein Basisvektor im abstrakten Hilbertraum H ist.
Somit sehe ich hier auch noch nicht, wie der Ortsortsoperator in die unitäre Abbildung U hineinkommt, dass wir eine Ortswellenfunktion Psi(x) erhalten.

Liebe Grüße

Marko
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 15902

Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 14:05    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen.

Klar.

Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird.

Zitat:
Selbstverständlich kann ich Streuzustände im l² darstellen. Was ich nicht darstellen kann, sind "Eigenzustände" zu Elementen des kontinuierlichen Spektrums. Das kann ich aber auch nicht in L². Es existiert überhaupt keine "Energiebasis", wenn H ein kontinuierliches Spektrum hat, weder in L² noch in l².

Genau.

Aber es wird eben häufig eine Energie-Eigenbasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung.

Und damit gilt dieser Beweis eben nur unter der Annahme, dass auch eine Energie-Eigenbasis vorliegt.

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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 14:43    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

Kannst du mir die unitäre Abbildung U, die du auch schon in deinem ersten Beitrag erwähnt hast, dann mal genau definieren, dass ich sehe wie der abstrakte Ortsoperator hineinkommt um die Wellenfunktion Psi(x) zu definieren?


Die Grundidee ist jeder Funktion f auf dem Spektrum von X (sprich jeder "Wellenfunktion") einen Operator f(X) zuzuordnen und diese Zuordnung dann sozusagen zu "invertieren", d.h. man konstruiert U, so daß



Das funktioniert, wenn man (fast) alle abstrakten Hilbertraumvektoren in der Form mit einem fixen und einem geeigneten f darstellen kann. Falls so ein Vektor existiert, repräsentiert er die Wellenfunktion, die auf dem gesamten Spektrum gleich 1 ist. Für Details (insbesondere die Komplikationen eines unbeschränkten Spektrums) muß ich dich aber auf Beweise des Spektralsatzes verweisen.

Zitat:

Meine Idee wäre, wenn ich mir <x|Psi>=:Psi(x) anschaue, dass <x| als lineares Funktional mein U ist.
Aber ich sehe, wenn <x| mein U ist, da noch nicht den ABSTRAKTEN Ortsoperator drinnen enthalten.


Es gilt eher (U' = adjungierter zu U) und mit deshalb



Zitat:

Denn:
Ursprünglich wird doch das Funktional <x| (aus dem Dualraum) aus einem Ket |x> des abstrakten Hilbertraums definiert, wobei letzteres bloß ein Basisvektor im abstrakten Hilbertraum H ist.


Nein, |x> ist kein Ket und kein Basisvektor. Es ist überhaupt kein Element des Hilbertraums. Es ist ein Element aus dem Dualraum eines dichten Teilraums des Hilbertraums. Dieser Dualraum enthält Elemente, denen man keine Hilbertraumvektoren zuordnen kann.

Zitat:

Somit sehe ich hier auch noch nicht, wie der Ortsortsoperator in die unitäre Abbildung U hineinkommt, dass wir eine Ortswellenfunktion Psi(x) erhalten.


Das habe ich auch überhaupt noch nicht erklärt. Ich habe nur erwähnt, daß die Grundlage hierfür der Spektralsatz ist. Ich habe jetzt oben angedeutet, wie man zu so einer Abbildung kommt. Ich befürchte aber, daß es so für sich allein auch nicht unbedingt verständlich ist.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3116

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 14:47    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen.

Klar.

Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird.


Von welcher Äquivalenz redest du eigentlich? Die Aussage, die ich meine, benötigt nur eine abzählbare Hilbertraumbasis. Sie benötigt nicht die Zusatzvoraussetzung, daß dies die Eigenbasis irgendeines Operators ist.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 15:02    Titel: Antworten mit Zitat

Also wir wollen die "Matrizenmechanik" aus dem abstrakten Hilbertraumformalismus ableiten. Dazu benötigen wir nur eine abzählbare Basis . Unsere Spaltenvektoren sind dann



Unsere "Energiematrix" ist



Also gilt z.B.



etc. Das hat überhaupt nichts mit dem Spektrum von H oder irgendeinem anderen Spektrum zu tun.

Du scheinst die implizite Zusatzforderung aufzustellen, daß irgendeine der verwendeten Matrizen auch noch diagonal ist. Das ist aber gar nicht nötig.
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 15:12    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen.

Klar.

Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird.


Von welcher Äquivalenz redest du eigentlich? Die Aussage, die ich meine, benötigt nur eine abzählbare Hilbertraumbasis. Sie benötigt nicht die Zusatzvoraussetzung, daß dies die Eigenbasis irgendeines Operators ist.

Verstehst du mich wirklich nicht?

Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems. Bestimmte Probleme kannst du in dieser Form jedoch nicht darstellen, z.B. Streuzustände; ein l² mit dieser konkreten Energie-Eigenbasis existiert schlicht nicht: weder sind die Streuzustände quadratintegrabel, noch führt diese Darstellung auf Matrizen.

Es wird jedoch häufig eine Energie-Eigenbasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung. Und damit gilt dieser Beweis eben nur unter der Annahme, dass auch eine Energie-Eigenbasis vorliegt - was häufig nicht der Fall nicht der Fall ist.

Ich bestreite nirgendwo, dass ein allgemeiner Beweis der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung ohne Verwendung einer Energie-Eigenbasis möglich ist; aber soweit ich mich erinnere, verwendet Schrödinger in seinem Beweis der Äquivalenz explizit ein diskretes (abzählbares) Energiespektrum und die zugehörige Energie-Eigenfunktionen. Und damit ist sein Beweis nur sehr eingeschränkt gültig.

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Du scheinst die implizite Zusatzforderung aufzustellen, daß irgendeine der verwendeten Matrizen auch noch diagonal ist. Das ist aber gar nicht nötig.

So kenne ich Schrödingers Beweis. Wie gesagt, ich habe nicht behauptet, dass das notwendig wäre.

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index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 15:20    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
TomS hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:
Was denn für ein Spektrum? Wenn irgendein Operator einen vollständigen Satz von Eigenvektoren besitzt, kann man diese selbstverständlich als Hilbertraumbasis benutzen. Wenn nicht dann, dann natürlich nicht. Aber da man von vornherein nur irgendeine Basis benötigt, muß man nicht extra einen Operator mit komplettem Satz von Eigenvektoren suchen.

Klar.

Aber ich sehe (bei dem was ich bisher dazu gelesen habe) immer wieder, dass ein diskretes Spektrum betrachtet wird, d.h. dass die Äquivalenz auch nur für diesen Fall gezeigt wird.


Von welcher Äquivalenz redest du eigentlich? Die Aussage, die ich meine, benötigt nur eine abzählbare Hilbertraumbasis. Sie benötigt nicht die Zusatzvoraussetzung, daß dies die Eigenbasis irgendeines Operators ist.

Verstehst du mich wirklich nicht?


Nein, bzw. glaube ich, daß du unnötige Zusatzvoraussetzungen einführst. Siehe hier https://www.physikerboard.de/ptopic,367465.html#367465.

Zitat:

Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems.


Na und? Du kannst für jeden Energieoperator völlig unabhängig von seinem Spektrum eine Matrixdarstellung ableiten. Was du nicht garantieren kannst, ist, daß die Matrix diagonal ist. Das ist aber auch nicht nötig.

Zitat:

Bestimmte Probleme kannst du in dieser Form jedoch nicht darstellen, z.B. Streuzustände; ein l² mit dieser konkreten Energiebasis existiert schlicht nicht: weder sind die Streuzustände quadratintegrabel, noch führt diese Darstellung auf Matrizen.


Nochmal, es existiert keine Energiebasis. Das hat mit l² überhaupt nichts zu tun. (Und natürlich existieren normierbare Streuzustände. Streuzustände sind nicht dasselbe wie "Eigenzustände" zum kontinuierlichen Spektrum. Letztere existieren tatsächlich nicht.)

Zitat:

Es wird jedoch häufig eine Energiebasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung.


Was spielt denn das für eine Rolle?

Zitat:

Und damit gilt dieser Beweis eben nur unter der Annahme, dass auch eine Energie-Eigenbasis vorliegt - was häufig nicht der Fall nicht der Fall ist.


Nur wenn du auch beweisen wolltest, daß H diagonal ist. Aber das spielt doch überhaupt keine Rolle.

Zitat:

Ich bestreite nirgendwo, dass ein allgemeiner Beweis der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung ohne Verwendung einer Energiebasis möglich ist; aber soweit ich mich erinnere, verwendet Schrödinger in seinem Beweis der Äquivalenz explizit ein diskretes (abzählbares) Energiespektrum und die zugehörige Energie-Eigenfunktionen. Und damit ist sein Beweis nur sehr eingeschränkt gültig.


Und was ist nun das Problem? Daß Schrödinger Zusatzvoraussetzungen einführt, die 1) gar nicht immer erfüllbar, aber 2) auch überflüssig sind?
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 15:52    Titel: Antworten mit Zitat

Ich würde mir wünschen, dass du liest, was ich schreibe, ohne irgendetwas hineinzuinterpretieren, was ich explizit nicht schreibe!

Ich führe hier gar nichts ein, sondern ich beziehe mich auf das, was Schrödinger nach meinem Wissen geschrieben hast.


Heisenberg bezieht sich ja auf Matrizen, die er aus konkreten Problemen ableitet, z.B. dem Energieoperator eines bestimmten Systems. "Du kannst für jeden Energieoperator völlig unabhängig von seinem Spektrum eine Matrixdarstellung ableiten". Ja, kann ich. Habe ich nie bestritten.

"Nochmal, es existiert keine Energiebasis." Stimmt, zumindest in vielen relevanten Fällen; habe ich selbst geschrieben.

Es wird jedoch häufig eine Energiebasis verwendet, z.B. im Zuge des Beweises der Äquivalenz von Schrödinger- und Heisenberg-Gleichung. "Was spielt denn das für eine Rolle?" Dass Schrödinger es m.W.n. nach so bewiesen hat, also gilt sein Beweis nur unter dieser Voraussetzung.

"Und was ist nun das Problem? Daß Schrödinger Zusatzvoraussetzungen einführt, die 1) gar nicht immer erfüllbar, aber 2) auch überflüssig sind?" Genau.

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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 17:34    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:
Ich würde mir wünschen, dass du liest, was ich schreibe, ohne irgendetwas hineinzuinterpretieren, was ich explizit nicht schreibe!

Ich führe hier gar nichts ein, sondern ich beziehe mich auf das, was Schrödinger nach meinem Wissen geschrieben hast.


Ich kann mir diese Reaktion nur so erklären, daß dir selbst nicht bewußt ist, was du eigentlich schreibst. Oben hast du dir Probleme ausgemalt, die es nicht gibt, nämlich:

TomS hat Folgendes geschrieben:

Was mir aber nicht klar ist, wie Schrödinger die Äquivalenz tatsächlich gezeigt haben will. Denn um zum l² zu gelangen, muss er sich auf das Punktspektrum beschränken bzw. Wellenpakete betrachten; jedenfalls sehe ich nicht, wie man nicht-normierbare Streuzustände mit kontinuierlichem Spektrum dem l² zuordnen will.


Es macht nichts, daß du das nicht siehst. Denn das Problem irgendwelche "nicht-normierbaren Streuzustände" dem l² zuzuordnen, existiert schlicht nicht.

Außerdem schreibst du hier nicht "Schrödinger beschränkt sich aufs Punktspektrum...", sondern er müsse sich darauf beschränken. Das bilde ich mir nicht ein, das steht tatsächlich da. Er muß es aber nicht. Ob er sich darauf beschränkt oder sogar meint es tun zu müssen, interessiert mich ehrlich gesagt nicht. Mein Problem ist nämlich nicht, was Schrödinger irgendwo bewiesen hat, sondern wie der Zusammenhang zwischen Wellenmechanik und Matrizenmechanik aussieht. Dabei definiere ich

"Wellenmechanik" = lineare Differentialgleichung auf

und

"Matrizenmechanik" = lineare Differentialgleichung auf .

Und die Äquivalenz wird m.E. allein durch die Separabilität von geklärt. Das ganze Problem hat also mit Punktspektren gar nichts zu tun.

Zitat:

"Und was ist nun das Problem? Daß Schrödinger Zusatzvoraussetzungen einführt, die 1) gar nicht immer erfüllbar, aber 2) auch überflüssig sind?" Genau.


Die Lösung ist einfach: Man läßt die überflüssige Voraussetzung fallen. Das versuche ich dir seit Stunden klarzumachen. Stattdessen bildest du dir ein ich würde irgendwas in deine Aussagen hineininterpretieren.
TomS
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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Ich kann mir diese Reaktion nur so erklären, daß dir selbst nicht bewußt ist, was du eigentlich schreibst.

Das ist mir sehr wohl bewusst.

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es macht nichts, daß du das nicht siehst. Denn das Problem irgendwelche "nicht-normierbaren Streuzustände" dem l² zuzuordnen, existiert schlicht nicht.

Wenn man in seinen Arbeiten explizit den l² verwendest, dann hat man das Problem.

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Außerdem schreibst du hier nicht "Schrödinger beschränkt sich aufs Punktspektrum...", sondern er müsse sich darauf beschränken. Das bilde ich mir nicht ein, das steht tatsächlich da.

Natürlich steht das da.

Wie gesagt, wenn du den l² und Energieeigenwerte / -eigenfunktionen verwendest, dann bleibt dir nichts anderes übrig, oder?

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Er muß es aber nicht.

Hat er (Schrödinger) aber ;-)

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Die Lösung ist einfach: Man läßt die überflüssige Voraussetzung fallen. Das versuche ich dir seit Stunden klarzumachen.

Das musst du mir nicht erklären, das hatte ich schon zu Beginn verstanden.


Der Ausgangspunkt ist der Beitrag von MarkkO.

Du meinst, er hätte da was falsch verstanden und argumentierst insbs. mit dem abstrakten Hilbertraum.

Genauso haben Schrödinger und Heisenberg aber sicher nicht argumentiert, da das Konzept erst von Dirac in die Physik eingeführt wurde. Schrödinger hat zumindest bzgl. der Bewegungsgleichungen explizit auf Basis von Energie-Eigenfunktionen argumentiert.

Im Endeffekt hat MarkkO die Argumentation von Schrödinger im Kern richtig verstanden, nicht jedoch den Bezug zum abstrakten Hilbertraum sowie die überflüssige Voraussetzungen und die notwendige Verallgemeinerung.

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Markooooo7



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Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 17:59    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index_razor,

ich möchte eigentlich nur ein grundlegendes Verständnis bekommen:
Und zwar nochmal zum Darstellungsraum:
Auf der folgenden Seite:
https://de.universaldenker.org/lektionen/1126
wird ein Spaltenvektor eingeführt.
Meine Frage ist, ob der Spaltenvektor der dort eingeführt wird nun die DARSTELLUNG des abstrakten Vektors <Psi| ist ODER aber die Funktion Psi, nach Schrödinger die Darstellung des abstrakten Vektors, also bspw. Psi:R->R mit Psi(x)=...
Außerdem: was ist der Unterschied bei den beiden Möglichkeiten?

Da ich leider die Funktionalanalysis nicht gehört habe, ist es für mich sehr schwierig auf dem Niveau zu reden, so wie bei deiner letzten Antwort. Aber trotzdem vielen Dank dafür!

Liebe Grüße

Marko
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 18:11    Titel: Antworten mit Zitat

TomS hat Folgendes geschrieben:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Es macht nichts, daß du das nicht siehst. Denn das Problem irgendwelche "nicht-normierbaren Streuzustände" dem l² zuzuordnen, existiert schlicht nicht.

Wenn man in seinen Arbeiten explizit den l² verwendest, dann hat man das Problem.


Nein. Man kann jederzeit ohne Probleme den l² verwenden (genauso wie den L²).

Zitat:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Außerdem schreibst du hier nicht "Schrödinger beschränkt sich aufs Punktspektrum...", sondern er müsse sich darauf beschränken. Das bilde ich mir nicht ein, das steht tatsächlich da.

Natürlich steht das da.

Wie gesagt, wenn du den l² und Energieeigenwerte / -eigenfunktionen verwendest, dann bleibt dir nichts anderes übrig, oder?


Doch natürlich. Deine Frage deutet auf irgendein Mißverständnis hin.

Zitat:

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Die Lösung ist einfach: Man läßt die überflüssige Voraussetzung fallen. Das versuche ich dir seit Stunden klarzumachen.

Das musst du mir nicht erklären, das hatte ich schon zu Beginn verstanden.


Warum bezeichnest du es dann als "Problem"?

Zitat:

Der Ausgangspunkt ist der Beitrag von MarkkO.

Du meinst, er hätte da was falsch verstanden und argumentierst insbs. mit dem abstrakten Hilbertraum.


Nein, er selbst hat vom abstrakten Hilbertraum geschrieben. Ich habe das nur aufgegriffen.

Zitat:

Genauso haben Schrödinger und Heisenberg aber sicher nicht argumentiert, da das Konzept erst von Dirac in die Physik eingeführt wurde. Schrödinger hat zumindest bzgl. der Bewegungsgleichungen explizit auf Basis von Energie-Eigenfunktionen argumentiert.


Das ist doch vollkommen irrelevant. Ich versuche die Frage zu beantworten, nicht zu rekonstruieren wie Heisenberg oder Schrödinger argumentiert hätten. Wie kommst du auf sowas?

Zitat:

Im Endeffekt hat MarkkO die Argumentation von Schrödinger im Kern richtig verstanden, nicht jedoch den Bezug zum abstrakten Hilbertraum sowie die überflüssige Voraussetzungen und die notwendige Verallgemeinerung.


Was auch immer das bedeuten soll. Er hat ursprünglich von dem "Skalarprodukt" mit dem "Element |x>" einer Orthonormalbasis gesprochen. Das hat er also nicht richtig verstanden.
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 18:19    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

ich möchte eigentlich nur ein grundlegendes Verständnis bekommen:
Und zwar nochmal zum Darstellungsraum:
Auf der folgenden Seite:
https://de.universaldenker.org/lektionen/1126
wird ein Spaltenvektor eingeführt.
Meine Frage ist, ob der Spaltenvektor der dort eingeführt wird nun die DARSTELLUNG des abstrakten Vektors <Psi| ist ODER aber die Funktion Psi, nach Schrödinger die Darstellung des abstrakten Vektors, also bspw. Psi:R->R mit Psi(x)=...
Außerdem: was ist der Unterschied bei den beiden Möglichkeiten?


Ich glaube ich verstehe die Frage nicht. Was dort als "Spaltenvektor" eingeführt wird, ist vermutlich einfach die Wellenfunktion . Diese Wellenfunktion ist das Element eines "konkreten" Hilbertraums . Vom "abstrakten Hilbertraum" redet man nur, wenn es egal ist welchen konkreten Hilbertraum man meint. Was ist jetzt noch unklar?
Markooooo7



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Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 18:50    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index_razor,

das ist genau das, was ich schon ganz am Anfang geschrieben hatte:
Man kann sich mit Hilfe des abstrakten Vektors |Psi> zwei verschiedene Versionen von Objekten erzeugen, welche die gleiche Information enthalten:
Einmal einen Spaltenvektor der als Komponenten <x|Psi> enthält und eine Funktion Psi(x) nach Heisenberg, welche ausgewertet an der Stelle x definiert ist als Psi(x):=<x|Psi>.
Das sind doch zwei unterschiedliche Objekte oder nicht?
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 18:54    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Genauso haben Schrödinger und Heisenberg aber sicher nicht argumentiert, da das Konzept erst von Dirac in die Physik eingeführt wurde. Schrödinger hat zumindest bzgl. der Bewegungsgleichungen explizit auf Basis von Energie-Eigenfunktionen argumentiert.

Das ist doch vollkommen irrelevant. Ich versuche die Frage zu beantworten, nicht zu rekonstruieren wie Heisenberg oder Schrödinger argumentiert hätten.

Habe mir die beiden Originalarbeiten jetzt mal angesehen; sind sehr gut zu lesen und keineswegs irrelevant ;-)

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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 18:57    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

Einmal einen Spaltenvektor der als Komponenten <x|Psi> enthält und eine Funktion Psi(x) nach Heisenberg, welche ausgewertet an der Stelle x definiert ist als Psi(x):=<x|Psi>.
Das sind doch zwei unterschiedliche Objekte oder nicht?


Nein, ich sehe da nur eine einzige Funktion, nämlich . Der Rest ist nur Diracnotation: bedeutet nichts anderes als "der Wert von an der Stelle x". Das hat wie gesagt nichts mit einer Basizerlegung zu tun und es definiert auch keinen "Spaltenvektor". Das ist nur schlechte Terminologie.
Markooooo7



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Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 19:07    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Index_razor,

einmal wird ja ein Spaltenvektor definiert (siehe Universaldenker) und einmal eine Funktion Psi die kein Spaltenvektor ist, das sind doch zwei unterschiedliche Objekte?!
Markooooo7



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Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 19:10    Titel: Antworten mit Zitat

doch es definiert einen Spaltenvektor, wenn ich den Spaltenvektor wie folgt definiere:
(<x1|Psi>,<x2|Psi>,<x3|Psi>...)^T, wobei x1,x2,x3,..Basisvektoren.
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 19:17    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:

einmal wird ja ein Spaltenvektor definiert (siehe Universaldenker) und einmal eine Funktion Psi die kein Spaltenvektor ist, das sind doch zwei unterschiedliche Objekte?!


Da wird kein Spaltenvektor definiert. Es wird nur so genannt. Vielleicht denkt der Autor Funktionen sind zu kompliziert für seine Leser und deshalb betrachtet er nur einzelne Funktionswerte an den Stellen als Spaltenvektor zusammengefaßt. Aber das beinhaltet natürlich nicht die komplette "Information". Und was eigentlich gemeint ist, ist die Wellenfunktion.
TomS
Moderator


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Beitrag TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 19:19    Titel: Antworten mit Zitat

@Markooooo7 - vergiss diesen Spaltenvektor und am besten den ganzen Artikel; niemand denkt und arbeitet so in der Quantenmechanik.
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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 19:20    Titel: Antworten mit Zitat

Markooooo7 hat Folgendes geschrieben:
doch es definiert einen Spaltenvektor, wenn ich den Spaltenvektor wie folgt definiere:
(<x1|Psi>,<x2|Psi>,<x3|Psi>...)^T, wobei x1,x2,x3,..Basisvektoren.


Das sind keine Basisvektoren im Hilbertraum, sondern Punkte im . Natürlich kannst du dir ein paar Funktionswerte rauspicken und einen Vektor daraus basteln . Der beinhaltet aber selbstverständlich nicht "die gleiche Information" wie die komplette Wellenfunktion. Die ganze Konstruktion ist vollkommen irrelevant.
Markooooo7



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Beitrag Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

warum soll der Spaltenvektor nicht alle Informationen über die Wellenfunktionen enthalten? Jede Komponente des Vektors hat als Information doch die an einer bestimmten Stelle ausgewertete Funktion Psi?! Damit sind alle Informationen die Psi hat definiert darüber.
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