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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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 Aristo Verfasst am: 09. Dez 2017 18:02 Titel: Elektron in unendlich hohem Potenzialtopf, Schrödinger |
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Meine Frage:
Aufgabenstellung lautet:
"a) Schreiben Sie die Randbedingung für die Wellenlänge des Elektrons und die Wellenfunktion in einem Potentialtopf der Breite a an. Zeichnen Sie schematisch die Wellenfunktionen der 4 niedrigsten Energieniveaus.
b) Lösen Sie die Schrödingergleichung und schreiben Sie die normalisierte Wellenfunktion für das erste angeregte Niveau an
c) Schreiben Sie eine allgemeine Formel für die die Energie das n-ten Niveaus an."
Meine Ideen:
a) Randbedingung wäre für mich dass die Welle in den Potenzialtopf (zwischen x=0 und x=a) passt. Die Wellenfunktion muss 0 sein außerhalb des Topfes und das Integral der Funktion von 0 bis a muss eins ergeben. Die energetisch niedrigste Lösung des Teilchens im Potenzialtopf ist bei
 =0 )
 =0 )
Was sind denn die vier niedrigsten Niveaus? Ist damit irgendwas bezüglich der Atomhüllen (n=1,2,3,..) gemeint? Wenn ja wie rechnet man das?
Deshalb:
b) ???
c) ??? |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 09. Dez 2017 19:19 Titel: Re: Elektron in unendlich hohem Potenzialtopf, Schrödinger |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | a) Randbedingung wäre für mich dass die Welle in den Potenzialtopf (zwischen x=0 und x=a) passt. |
Das wäre eine Randbedingung für die Wellenlänge. Was muss für die genau gelten, dass sie "reinpasst"?
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | Die Wellenfunktion muss 0 sein außerhalb des Topfes und das Integral der Funktion von 0 bis a muss eins ergeben. |
Etwas mathematischer:
=\psi(a)=0)
und
\psi(x)\,\mathrm{d}x\overset{!}{=}1)
Warum ist das so?
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Die energetisch niedrigste Lösung des Teilchens im Potenzialtopf ist bei
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"Das Teilchen" hat keine Lösung! wenn überhaupt, dann hat die Schrödingergleichung des Teilchens eine Lösung. Deine "Lösungen" können ja schonmal nicht stimmen, weil sie
verletzen würden. Außerdem ist eine Lösung (der Schrödingergleichung) eine Funktion und kein Funktionswert.
Ganz davon abgesehen sollen die Lösungen schematisch gezeichnet werden.
Lösungen der Schrödingergleichung sind Sinusfunktionen. Mit den Randbedingungen bleiben nicht mehr viele Optionen, wie sich die verschiedenen Funktionen unterscheiden können.
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Was sind denn die vier niedrigsten Niveaus? Ist damit irgendwas bezüglich der Atomhüllen (n=1,2,3,..) gemeint? Wenn ja wie rechnet man das?
Deshalb:
b) ???
c) ??? |
Ein quantenmechanisches System kann sich entweder im Grundzustand (niedrigstes Energbieniveau) oder in einem angeregten Zustand (Energie > Grundzustandsenergie) befinden. Der Grundzustand wird im Allgemeinen mit n=1, die angeregten Zustände mit n>1 bezeichnet. Mit Atomhüllen hat das in diesem Fall nichts zu tun, denn es geht um ein Elektron.
Das berechnet man durch Lösen der Schrödingergleichung. Fang doch mal damit an, die korrekt aufzustellen. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8578
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| jh8979 Verfasst am: 09. Dez 2017 19:22 Titel: Re: Elektron in unendlich hohem Potenzialtopf, Schrödinger |
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| Äther hat Folgendes geschrieben: |
Lösungen der Schrödingergleichung sind Sinusfunktionen. |
... sind in dieser Aufgabe Sinusfunktionen... |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 09. Dez 2017 19:24 Titel: Re: Elektron in unendlich hohem Potenzialtopf, Schrödinger |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | ... sind in dieser Aufgabe Sinusfunktionen... |
Ja, danke. Das ist natürlich nicht immer so. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 10. Dez 2017 16:24 Titel: Re: Elektron in unendlich hohem Potenzialtopf, Schrödinger |
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Die Randbedingung wäre für "reinpassen" also  ?
Warum verletzt die Aussage die Regel:
 \varphi (x) \, \dd x = 1 ) ?
An den Stellen a und 0 darf die Funktion doch trotzdem 0 sein oder? In der Vorlesung haben wir an einem Beispiel gezeigt, dass die energetisch niedrigsten Lösungswerte zu finden sind wenn die Grenzen des Potenzialtopfes = 0 sind.
Schrödinger Gleichung hier:
Für den Grundzustand hatten wir den Ansatz:
=A \cos(\frac{pi*x}{a} ) *exp(-\frac{iEt}{hquer} ) )
Eingesetzt und nach E aufgelöst:
Wie ich allerdings einen Ansatz finde für die anderen Energiezustände weiß ich nicht   |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 10. Dez 2017 17:09 Titel: Re: Elektron in unendlich hohem Potenzialtopf, Schrödinger |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | Die Randbedingung wäre für "reinpassen" also ? |
Das ist keine Bedingung, sondern mathematisch gesehen Unsinn.
Damit sich im Potentialtopf stehende Wellen ausbilden muss die Breite einem Vielfachen der halben Wellenlänge entsprechen:
mit 
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Warum verletzt die Aussage die Regel:
? |
Wie soll denn die Nullfunktion einen Flächeninhalt von 1 haben?
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | An den Stellen a und 0 darf die Funktion doch trotzdem 0 sein oder? In der Vorlesung haben wir an einem Beispiel gezeigt, dass die energetisch niedrigsten Lösungswerte zu finden sind wenn die Grenzen des Potenzialtopfes = 0 sind. |
Die Wellenfunktion darf an den Stellen 0 und a nicht nur 0 sein, sie muss es sogar.
| Aristo hat Folgendes geschrieben: |
Schrödinger Gleichung hier:
=A \cos(\frac{pi*x}{a} ) *exp(-\frac{iEt}{hquer} ) )
Eingesetzt und nach E aufgelöst:
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Die stationäre Schrödingergleichung reicht hier
=E\psi(x))
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | Wie ich allerdings einen Ansatz finde für die anderen Energiezustände weiß ich nicht |
Der Ansatz den ihr da gewählt habt ist schon ziemlich speziell und erfordert Vorwissen. Versuchs mal mit dem Ansatz
=A\sin(kx)+B\cos(kx))
Auf den kann man auch mit ein wenig Überlegen und ohne Vorwissen über QM kommen und damit bekommst du alle Lösungen raus.
PS: Hier gibt es eine Vorschau-Funktion, dann siehst du vor dem Absenden wie dein Beitrag aussieht
PPS: In der Mathematik und Physik ist es wichtig sich präzise auszudrücken. Daran solltest du noch arbeiten |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 10. Dez 2017 19:03 Titel: |
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Danke für die Tipps, habe es sofort editiert
Ich habe die Wellenfunktion in die Schrödinger Gleichung eingesetzt und für "kx" "pi" eingesetzt weil der erste angeregte Zustand meiner Meinung nach bei Lambda/2 ist. Eine hlabe Wellenlänge haben sowohl Cosinus als auch Sinus bei pi.
Heraus kommt nun folgender Ausdruck
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 10. Dez 2017 19:22 Titel: |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | Ich habe die Wellenfunktion in die Schrödinger Gleichung eingesetzt und für "kx" "pi" eingesetzt weil der erste angeregte Zustand meiner Meinung nach bei Lambda/2 ist. Eine hlabe Wellenlänge haben sowohl Cosinus als auch Sinus bei pi. |
Das verstehe ich nicht.
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Heraus kommt nun folgender Ausdruck
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Wenn du deine Rechnung nicht zeigst, kann ich nicht sagen, was schief gelaufen ist.
Betrachte die Ansatzfunktion die ich dir vorgeschlagen habe und fange mit den Randbedingungen an um Konstanten zu bestimmen.
Es gilt
=0) und
=0)
Daraus kannst du B und k bestimmen.
Für A kannst du die Normierungsbedingung verwenden. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 10. Dez 2017 20:54 Titel: |
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Meine Rechnung zuvor:
 )
in die vorgeschlagene Schrödinger Gleichung eingesetzt, abgeleitet und folgenden Ausdruck erhalten:
 -cos(kx)) = EA sin (kx) +EB cos(kx) )
für "kx" habe ich  eingesetzt mit der Begründung, dass die Funktionen eine halbe vollständige Welle durchlaufen haben. Weil ich denke,
dass der erste angeregte Zustand bei
ist. Falsche Annahme?
Dadurch bekomme ich konkrete Werte für cos und sin und erhalte nach einsetzen den oben genannten Ausdruck.
Außerdem habe ich jetzt versucht B und k auszurechnen.
B: 0 eingesetzt, =0 gesetzt und B=0 erhalten
k: a eingesetzt, =0 gesetzt und aufgeöst nach k
 }{A} ) }{a} )
Ich hab keinen blassen Schimmer was mir die Ausdrücke sagen sollen oder wie ich anders vorgehen soll.
Normierungsbedingung bedeutet:
 \, \dd t =1 )
von "- unendlich" ist gemeint.
Aber was mir das über A sagt weiß ich auch nicht. |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 10. Dez 2017 21:24 Titel: |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Meine Rechnung zuvor:
in die vorgeschlagene Schrödinger Gleichung eingesetzt, abgeleitet und folgenden Ausdruck erhalten:
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Das ist falsch. Es gilt
=-k^{2}\psi(x))
eingesetzt in die Schrödingergleichung ergibt
=E\psi(x))
Damit hast du schonmal die Energie in Abhängigkeit der Wellenzahl k.
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | für "kx" habe ich eingesetzt mit der Begründung, dass die Funktionen eine halbe vollständige Welle durchlaufen haben. Weil ich denke,
dass der erste angeregte Zustand bei
ist. Falsche Annahme? |
Die Aussage macht physikalisch keinen Sinn. Der erste angeregte Zustand ist nicht an irgendeinem Ort. Der erste angeregte Zustand hat eine gewisse Energie und eine zugehörige Wellenfunktion.
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Außerdem habe ich jetzt versucht B und k auszurechnen.
B: 0 eingesetzt, =0 gesetzt und B=0 erhalten
k: a eingesetzt, =0 gesetzt und aufgeöst nach k
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Wenn B=0 ist, wieso taucht es dann noch in deinem Term auf?
Ok zum Mitschreiben:
=0\Rightarrow B=0) soweit warst du auch schon
=0\Rightarrow A\sin(ka)=0\Rightarrow ka=n\pi\quad \forall n\in\mathbb{N})
Wenn du dieses k jetzt in die Formel oben für die Energie einsetzt bekommst du die Energie in Abhängigkeit von n. Welche ist dann die Grundzustandsenergie bzw. die des ersten angeregten Zustands?
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Ich hab keinen blassen Schimmer was mir die Ausdrücke sagen sollen oder wie ich anders vorgehen soll.
Normierungsbedingung bedeutet:
von "- unendlich" ist gemeint.
Aber was mir das über A sagt weiß ich auch nicht. |
Nein, das ist eben nicht die Normierungsbedingun. Was soll denn f(x,t) sein? und wieso wird nach t (Zeit) integriert? Und die Grenzen hatten wir (ich) weiter oben auch schon mal mal an die Aufgabe angepasst.
Das A ist die Amplitude der Wellenfunktion, das musst du ausrechnen um sie aufzuschreiben. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 10. Dez 2017 22:55 Titel: |
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k eingesetzt in die SGleichung ergibt für mich:
Da sich die Wellenfunktionen sozusagen rauskürzen?
Nun kann ich für n jede natürliche Zahl einsetzen für den gewünschten Energiezustand?
Ganz richtig kann meine Begründung nicht sein, denn wozu dann die Amplitude berechnen? Es ist zum Mäuse melken...... |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 11. Dez 2017 03:34 Titel: |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | k eingesetzt in die SGleichung ergibt für mich: |
In welche Gleichung setzt du das ein?
| Aristo hat Folgendes geschrieben: |
Da sich die Wellenfunktionen sozusagen rauskürzen?
Nun kann ich für n jede natürliche Zahl einsetzen für den gewünschten Energiezustand?
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Ganz genau. Welche Energie hat nun der erste angeregte Zustand?
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | Ganz richtig kann meine Begründung nicht sein, denn wozu dann die Amplitude berechnen? Es ist zum Mäuse melken...... |
weil in der Aufgabenstellung steht:
"Lösen Sie die Schrödingergleichung und schreiben Sie die normalisierte Wellenfunktion für das erste angeregte Niveau an " |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 11. Dez 2017 14:48 Titel: |
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die Schroedinger Gleichung war gemeint
Der Erste angeregte Zustand ist meiner Meinung nach einer 'ueber' dem Grundzustand und deshalb bei n=2
der Rest ist bekannt und kann eingesetzt werden aber muss die Amplitude an dem Punkt noch nicht beruecksichtigt werden?
Zur Amplitude:
Vorgehensweise:
 \right |^2 \, \dd x =1 )
Ich habe das Integral gebildet durch partielle Integration. Nach dem 2. mal partieller Integration bekam ich folgenden Ausdruck
 sin (kx) -sin(kx) cos(kx) \int_0^a \! -sin(kx)sin(kx) \, \dd x )
Das Integral war bis auf das VOrzeichen genau wie das Integral am Anfang:
sin(kx) \, \dd x )
mehr erkenne ich allerdings nicht.. |
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Äther
Anmeldungsdatum: 22.12.2011
Beiträge: 387
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| Äther Verfasst am: 11. Dez 2017 14:57 Titel: |
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| Aristo hat Folgendes geschrieben: | | die Schroedinger Gleichung war gemeint |
Ich würde sagen du hast es in die Gleichung für die Energie eingesetzt. Die resultiert aus der Schrödingergleichung ist aber nicht mit ihr identisch.
| Aristo hat Folgendes geschrieben: | Der Erste angeregte Zustand ist meiner Meinung nach einer 'ueber' dem Grundzustand und deshalb bei n=2
der Rest ist bekannt und kann eingesetzt werden aber muss die Amplitude an dem Punkt noch nicht beruecksichtigt werden? |
Richtig, n=2 ist der erste angeregte Zustand. Um die Energie anzugeben brauchst du A nicht.
Zum Integral:
Einmal partielle Integration reicht. Dann solltest du auf der rechten Seite cos^2 im Integral stehen haben. Ersetze das durch 1-sin^2 und schaufel das sin^2 nach links.
Dann steht da sowas wie
\,\mathrm{d}x=...)
Also noch durch 2 teilen und das Integral ist gelöst. |
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Aristo
Anmeldungsdatum: 24.11.2017
Beiträge: 105
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| Aristo Verfasst am: 15. Dez 2017 15:00 Titel: |
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Vielen Dank für die Geduld und die ausführliche Hilfe! |
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