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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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 Markus2309 Verfasst am: 14. Aug 2023 11:56 Titel: Gamma Matrizen - Forminvarianz |
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Meine Frage:
Hallo zusammen,
kurze Frage dieses mal. Warum sind die Gamma Matrizne (bei der Dirac-GLeichung) forminvariant?
Die Frage tauch bei mir auf, weil ich die Bestimmungsgleichung für die lineare Abbildung des Spinors zum gestrichenen Spinor bestimmen möchte. Was sich hier auch nichr verstehe (siehe Bild: https://ibb.co/FXSvYfz ), wieso die Viererdivergenz hier auch nicht mit S und S-^1 transformiert wird.
Meine Ideen:
Was ich bisher rausgefunden habe (im schwabl und internetrecherche), dass das irgendwie Voraussetzung sei. Aber das hilft mir nicht viel weiter, weil ich nicht weiß, warum das Voraussetzung sein sollte.
Die andere Sache wäre ja, das explizit nachzurechnen. Nur weiß ich nicht, wie ich das Transformationsverhalten von den Gamma Matrizen untersuchen soll, weil ja die der Gamma-4-komponenten Vektor kein Vierervektor ist oder? Da stehen ja in jeder Komponente eine 4x4 Matrix... |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 14. Aug 2023 17:18 Titel: |
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1. Die Viererdivergenz transformiert (wegen der Kettenregel) so wie angegeben mit der Lorentzmatrix.
2. Der Spinor transformiert auch mit einer Tranformationsmatrix (S^-11, man könnte sie auch S nennen, wenn man möchte). Diese hängt von der Repräsentation des Spinors ab. Ist im diesem Fall allerdings auch eine 4x4-Matrix. Wie sich rausstellt, aber nicht die Lorentzmatrix.
3. Wenn die Gleichung (6.2.7) gilt, dann ist die Dirac-Gleichung forminvariant unter Lorentztransformationen. Daher verlangen wir, dass dies für die Gamma-Matrizen gelten soll. Das führt uns dann auf die (bzw. eine) Form der Gamma.Matrizen. |
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 15. Aug 2023 17:28 Titel: |
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Hmm so ganz habe ich das noch nicht verstanden.
1. Bei 6.2.6 steht S^-1 noch rechts von der Vierer-Divergenz, bei 6.2.6' aber links davon, wieso kann ich das daran vorbeiziehen? (natürlich wirkt die Vierer Divergenz nicht S^-1 aber S^-1 ist ja immernoch eine 4x4 Matrix, die kann ich ja nicht so einfach mit nem Vektor vertaucshen?
2. Wenn wir aus 6.2.7 fordern, dass gamma invariant ist, können wir diese Gleichung dann noch verwenden um S zu bestimmen? Ich dachte es wäre anders rum. Wir wissen, dass gamma Forminvariant ist, jetzt können wir daraus mit 6.2.7 S bestimmen |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Aug 2023 17:58 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: |
1. Bei 6.2.6 steht S^-1 noch rechts von der Vierer-Divergenz, bei 6.2.6' aber links davon, wieso kann ich das daran vorbeiziehen? (natürlich wirkt die Vierer Divergenz nicht S^-1 aber S^-1 ist ja immernoch eine 4x4 Matrix, die kann ich ja nicht so einfach mit nem Vektor vertaucshen?
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Doch. Die Viererdivergenz und S (oder S^-1) vertauschen. Du kannst Dir ja mal überlegen, wo da Indices stehen müssten und was da eigentlich worauf wirkt.
| Zitat: |
2. Wenn wir aus 6.2.7 fordern, dass gamma invariant ist, können wir diese Gleichung dann noch verwenden um S zu bestimmen? Ich dachte es wäre anders rum. Wir wissen, dass gamma Forminvariant ist, jetzt können wir daraus mit 6.2.7 S bestimmen |
Nein. S ist bekannt (S ist eine Räpresentation der Lorentzsymmetrie, die auf Psi wirkt). Die Frage ist, ob wir Gamma-Matrizen finden können, die die Gleichung erfüllen. |
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 15. Aug 2023 18:01 Titel: |
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Hm okay. Wir haben unterschiedliche Chronologien:
Bei mir bzw im Schwabl geht es so rum:
1. Gammas sind Forminvariant
2. wie transformiert sich psi?
3. Bestimmungsgleichung für S finden
4. Bestimmungsgleichung benutzen um S rauszufinden
Da ich S noch nicht kenne, nur als linear in LT, kann ich auch noch nicht begründen, dass das mit der Vierer Divergenz kommutiert oder?
Du nimmst ja S schon als bekannt an? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 15. Aug 2023 23:04 Titel: |
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| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: |
Da ich S noch nicht kenne, nur als linear in LT, kann ich auch noch nicht begründen, dass das mit der Vierer Divergenz kommutiert oder?
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Doch. | Zitat: |
Du nimmst ja S schon als bekannt an? |
Ja. Die Existenz der Repräsentationen der Lorentzgruppe scheint mir logischer vor der Existenz der möglichen invarianten Gamma-Matrizen. Denn die möglichen Repräsentationen der Loretzgruppe sind bekannt und somit von einem Symmetrystandpunkt fundamentaler als die Gamma-Matrizen.
Der Sinn ist doch mit der Dirac-Gleichung eine Loretzn-invariante Gleichung für Spinoren zu finden. D.h. Die Lorentzsymmetrie ist vorgegben und die Frage ist, gibt es Gamma-Matritzen, so dass diese Gleichung erfüllt ist. |
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Markus2309
Anmeldungsdatum: 01.09.2022
Beiträge: 48
Wohnort: Karlsruhe
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| Markus2309 Verfasst am: 16. Aug 2023 10:46 Titel: |
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Okay, dann vielen Dank dir, jetzt bin ich da ein bisschen aufgeklärter. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 16. Aug 2023 19:24 Titel: |
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Ich hab mir gerade mal das entsprechende Kapitel im Schwabl durchlesen können. Dort wird tatsächlich dieser (wohl historische geprägte) Weg gegangen:
| Markus2309 hat Folgendes geschrieben: |
Bei mir bzw im Schwabl geht es so rum:
1. Gammas sind Forminvariant
2. wie transformiert sich psi?
3. Bestimmungsgleichung für S finden
4. Bestimmungsgleichung benutzen um S rauszufinden
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Es ist mMn nicht der Weg, den man aus einer modernen Sicht gehen würde, aber ich finde ihn in der Hinsicht nicht schlecht, das man sieht, wieso man auf diese Form der Dirac-Gleichung und die Spinor-Repräsentationen kommt.
Allerdings sind diese beiden Kapitel (5&6) für "Anfänger" gar nicht so leichte Kost, weil es einige Einschübe/Exkurse zu benötigten Themen gibt. |
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