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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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 index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 19:35 Titel: |
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| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: | warum soll der Spaltenvektor nicht alle Informationen über die Wellenfunktionen enthalten?
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Weil er die Wellenfunktion offenbar nur an abzählbar vielen Stellen auswertet.
| Zitat: |
Jede Komponente des Vektors hat als Information doch die an einer bestimmten Stelle ausgewertete Funktion Psi?! Damit sind alle Informationen die Psi hat definiert darüber. |
Irgendwie drehst du dich im Kreis. Entweder strapazierst du den Begriff "Spaltenvektor" derart, daß er auch überabzählbar viele Komponenten haben kann. Die einzige Möglichkeit dies zu präzisieren, ist zu sagen, der Spaltenvektor ist identisch mit der Wellenfunktion. Also sind es nicht verschiedene Objekte. Es gibt nur die Funktion.
Oder der Spaltenvektor ist, so wie üblich, lediglich eine Folge von Zahlen , \psi(x_2), ...)) . Dann beinhaltet er natürlich nicht die gesamte Information über die Wellenfunktion.
(Selbstverständlich kann man die Wellenfunktion auch als eine bestimmte Folge von Zahlen repräsentieren. Das ist aber deutlich komplizierter, als einfach ein paar Funktionswerte zusammenzufassen. Es hat deshalb auch nichts mit dem "Diracprodukt"  zu tun.) |
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Markooooo7
Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35
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| Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 19:49 Titel: |
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Hallo Index_razor,
klar, ist es schwierig einen unendlich dimensionalen Spaltenvektor zu definieren. Aber man kann sich ja mal für den Moment denken, als wäre es ok. Sind das dann nicht genau die Spaltenvektoren aus der heisenbergschen Matrizenmechanik, die auf die Matrizen von Heisenberg losgelassen werden? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 19:54 Titel: |
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Du hast mehrere Probleme, und eines davon ist dieser komische Artikel.
Von vorne:
 = \langle x | \psi \rangle )
Dies besagt, dass das lineare Funktional, das durch den Bra  definiert wird, bei Anwendung auf das Objekt  ein Objekt ) liefert.
 \, |x\rangle)
Diese Operation besagt, wie du das ursprüngliche Objekt zurückerhältst.
Die Idee, das das ursprüngliche Objekt sei identisch mit dem Spaltenvektor ist dagegen schlicht falsch, der Artikel daher untauglich.
Das ist bis auf technische Feinheiten identisch zur linearen Algebra.
Gegeben sei ein Vektor  im 3-dim. Raum, der durch eine Basis  aufgespannt wird. Du erhältst die Komponenten bzgl. dieser Basis mittels Skalarprodukt
(was in der QM so nicht zutreffend ist - s.o. - jedoch nicht dein eigtl. Verständnisproblem darstellt). Den Vektor rekonstruierst du mittels Komponenten und Basis gemäß
Dagegen ist
gemäß
^t )
falsch, denn Spalten- oder Zeilenvektoren sind nicht identisch mit einem Vektor, sie repräsentieren diesen lediglich bzgl. einer bestimmten Basis. Eine andere Basis  liefert andere Komponenten
die den den selben Vektor repräsentieren.
Genauso ist der Ket nicht dieser Spaltenvektor. Vergiss das bitte, es ist Käse.
_________________
Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Nov 2021 20:03, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 19:55 Titel: |
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| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: |
klar, ist es schwierig einen unendlich dimensionalen Spaltenvektor zu definieren. Aber man kann sich ja mal für den Moment denken, als wäre es ok.
Sind das dann nicht genau die Spaltenvektoren aus der heisenbergschen Matrizenmechanik, die auf die Matrizen von Heisenberg losgelassen werden? |
Nein, das sind die Wellenfunktionen  der Wellenmechanik. Die Spaltenvektoren der Matrizenmechanik, sind nach meinem Dafürhalten die Folgen von Zahlen
\psi(x)\dd x,)
wobei ) eine Hilbertraumbasis (also auf jeden Fall eine abzählbare (!) Menge von Wellenfunktionen) ist. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 20:01 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: |
Das ist bis auf technische Feinheiten identisch zur linearen Algebra.
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Ja, abgesehen von den "Feinheiten", daß  keine Basis ist, ist die Beziehung
|x\rangle)
genau wie eine Basiszerlegung.
| Zitat: |
Gegeben sei ein Vektor im 3-dim. Raum, der durch eine Basis aufgespannt wird. Du erhältst die Komponenten bzgl. dieser Basis mittels Skalarprodukt
(was in der QM so nicht zutreffend ist - s.o. - jedoch nicht dein eigtl. Verständnisproblem darstellt).
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Wie kommst du darauf? Fast alles, was er schreibt wäre korrekt, wenn er tatsächlich von einer Hilbertraumbasis, und nicht von |x> reden würde. Das ist m.E. genau der Kern des Problems. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 20:05 Titel: |
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Nee, das erste Problem ist m.E., dass der Vektor mit den Komponenten identifiziert wird. Das steht so in dem Artikel, und das ist Schrott, schon in der linearen Algebra.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 30. Nov 2021 20:11, insgesamt einmal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 20:10 Titel: |
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Nein, das Problem ist, daß er Psi(x) für die "x-te Zeile" eines Spaltenvektors hält, die man völlig analog zur linearen Algebra aus dem "Hilbertraumprodukt" bzgl. der "Orthonormalbasis" |x> erhält. Das hat er selbst ungefähr so formuliert. Und du hast das gerade nochmal bekräftigt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 20:13 Titel: |
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Evtl. liegen auch zwei Probleme vor, kann schon sein. Aber wenn bereits die lineare Algebra nicht vollständig verstanden ist, dann kann man schlecht über Hilberträume reden. Deswegen ist das für mich das erste und wichtigste Problem.
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Markooooo7
Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35
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| Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 21:11 Titel: |
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Vielen Dank für eure Antworten!
Ja, mich hat das im Artikel auch gestört, dass der Vektor mit den Komponenten bzw. der Darstellung des Vektors im Koordinatenraum gleichgesetzt wird. Das stimmt natürlich nicht.
Mir ging es dabei nicht darum dass die Gleichung falsch ist, sondern um die Konstruktion des Spaltenvektors, der meiner Meinung nach die gleichen Informationen enthält wie Psi, also der Darstellung im Ortsraum (ich wollte jetzt nicht Psi(x) schreiben, denn das wäre ja bloß ein Wert, um präzise zu sein habe ich also Psi geschrieben).
Bei uns in der Vorlesung wurde zumindest im endlich dimensionalen Fall eines abstrakten Hilbertraums ein n-dimensionaler Spaltenvektor bezüglich der Entwicklungskoeffizienten gebildet und die Entwicklungskoeffizienten berechneten sich dabei genau wie ich es vorhin für den Spaltenvektor beschrieben habe.
Nun wurde bei uns in der Vorlesung gesagt, dass dieser Spaltenvektor und man kann auch noch aus dem Operator sich eine Matrix basteln, genau die Elemente der Matrizenmechanik von Heisenberg sind.
Ich frage mich ob das nun wirklich stimmt?
Liebe Grüße
Marko |
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Markooooo7
Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35
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| Markooooo7 Verfasst am: 30. Nov 2021 21:13 Titel: |
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P.s. Lineare Algebra habe ich gehört, auch Ana 1-4  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 30. Nov 2021 21:24 Titel: |
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Ok, das erste Problem ist also doch keines ;-)
| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: | | Bei uns in der Vorlesung wurde zumindest im endlich dimensionalen Fall eines abstrakten Hilbertraums ein n-dimensionaler Spaltenvektor bezüglich der Entwicklungskoeffizienten gebildet und die Entwicklungskoeffizienten berechneten sich dabei genau wie ich es vorhin für den Spaltenvektor beschrieben habe. |
Im endlich-dimensionalen Fall erhält man die Koeffizienten (Komponenten) bzgl. einer Basis tatsächlich durch Projektion.
| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: | Nun wurde bei uns in der Vorlesung gesagt, dass dieser Spaltenvektor … genau die Elemente der Matrizenmechanik von Heisenberg sind.
Ich frage mich ob das nun wirklich stimmt? |
Ja, das stimmt.
Edit: Zum Basisbegriff auf dem  : die ebenen Wellen bilden keine solche Basis, da sie nicht quadratintegrierbar und somit nicht Elemente dieses Hilbertraumes sind. U.a. die hermiteschen Funktionen ) stellen jedoch eine solche dar, d.h. für beliebige quadratintegrierbare Funktionen f(x) gilt
 \, h_n(x) = \delta_{mn} )
 = \sum_{n=1}^\infty f_n \, h_n(x) )
 \, f(x) )
Dies definiert eine bijektive Abbildung
 \in L^2[\mathbb{R}] \to (f_n) \in \ell^2)
Edit 2: Natürlich verbietet niemand eine Darstellung mittels linearer Funktionale wie z.B.
 = \int_\mathbb{R} dx \, e^{-ipx} \, f(x) )
aber F(p) entspricht keinen durch Projektion auf eine Basis gewonnenen Komponenten, da die ebenen Wellen keine solche Basis darstellen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 01. Dez 2021 07:15, insgesamt 4-mal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 30. Nov 2021 22:45 Titel: |
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| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: |
Bei uns in der Vorlesung wurde zumindest im endlich dimensionalen Fall eines abstrakten Hilbertraums ein n-dimensionaler Spaltenvektor bezüglich der Entwicklungskoeffizienten gebildet und die Entwicklungskoeffizienten berechneten sich dabei genau wie ich es vorhin für den Spaltenvektor beschrieben habe. |
Nein, was du bisher hingeschrieben hast, waren die Funktionswerte der Wellenfunktion in Diracnotation, d.h. ) . Das ist etwas völlig anderes, als die Entwicklungskoeffizienten von bezüglich einer Orthonormalbasis, auch wenn du anscheinend nicht davon abzubringen bist, beides für dasselbe zu halten. (Und leider suggeriert dies ja die Diracnotation auch.) Daß es nicht dasselbe sein kann, müßtest du aber eigentlich schon daran erkennen, daß jeder Vektor höchstens abzählbar viele Entwicklungskoeffizienten hat. Aber eine Wellenfunktion hat natürlich im allgemeinen überabzählbar viele Funktionswerte. |
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Markooooo7
Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35
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| Markooooo7 Verfasst am: 01. Dez 2021 09:17 Titel: |
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Hallo TomS, hallo Index_razor,
vielen Dank euch nochmal für die gestrige Hilfe!
Um das von gestern nochmal abzurunden, will ich den abstrakten Vektor |Psi> einem Vergleich zur Linearen Algebra unterziehen und von den technischen Besonderheiten im Unterschied zur Funkana absehen, mir geht es also nur um Analogien:
Angenommen ich habe meinen Vektor (1,2,3) aus meinem dreidimensionalen (abstrakten) Vektorraum V.
Diesen kann ich nun durch eine Koordinatenabbildung in unterschiedlichen Basen darstellen: Beispielsweise wäre die Darstellung von (1,2,3) in der Basis B1 gegeben durch (4,5,6) aus K^3 und in der Basis B2 gegeben durch (7,8,9) aus K^3.
Frage1:
Kann ich dann sagen, dass mein |Psi> Vektor dann zu sehen ist, wie mein (1,2,3) Vektor aus der Linearen Algebra und meine Ortswellenfunktion Psi(x) dann zu sehen ist wie der Vektor (4,5,6) in Analogie. Genauso wäre dann die Wellenfunktion Psi_Tilde(p) gegeben durch (7,8,9) in der Impulsbasis?
Frage2:
In der Quantenmechanik hat man allerdings umgekehrt konstruiert, also erst mit den Orts- und Impulswellenfunktionen gearbeitet hat, die ja bloß die Darstellungen des abstrakten Vektors sind. Den abstrakten Vektor zu rekonstruieren interessiert dann in der QM nicht mehr, man arbeitet dann bloß mit dem Symbol und denkt sich, dass da ein abstrakter Vektor den man eigentlich rekonstruieren kann steht. Kann man das so sagen?
Liebe Grüße
Marko |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Dez 2021 10:02 Titel: |
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| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: |
Frage1:
Kann ich dann sagen, dass mein |Psi> Vektor dann zu sehen ist, wie mein (1,2,3) Vektor aus der Linearen Algebra und meine Ortswellenfunktion Psi(x) dann zu sehen ist wie der Vektor (4,5,6) in Analogie. Genauso wäre dann die Wellenfunktion Psi_Tilde(p) gegeben durch (7,8,9) in der Impulsbasis?
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Nein, es gibt keine "Impulsbasis" und keine "Ortsbasis". Das ist genau der Punkt, an dem die Analogie zur linearen Algebra zusammenbricht. Deswegen habe ich ganz zu Anfang gesagt, daß dein Vergleich hinkt. In der linearen Algebra definiert jede Spektraldarstellung eines symmetrischen Operators eine Basis des Vektorraums aus Eigenvektoren; in der Quantenmechanik nicht. Orts- und Impulsoperator besitzen keinen einzigen Eigenvektor. Ihre jeweiligen Spektraldarstellungen definieren zwar Orts- und Impulswellenfunktion, aber keine Basiszerlegung.
Man kann mit etwas gutem Willen ein paar formale Ähnlichkeiten zwischen einer Hilbertraumbasis und einer Spektralschar feststellen, die in der Diracnotation gern mal mit folgender Gegenüberstellung ausgedrückt wird:
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{"Orthogonalität": }\langle e_i|e_k\rangle = \delta_{ik},\ \langle \lambda |\lambda'\rangle = \delta(\lambda-\lambda'))
![](https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\text{"Vollständigkeit": } \sum_i |e_i\rangle \langle e_i| = 1,\ \int \dd\lambda |\lambda\rangle\langle \lambda| = 1)
Daraus kann man dann durch rein formale Manipulation die üblichen Formeln aus den Quantenmechanik-Lehrbüchern ableiten, man darf nur nicht denken, daß man damit etwas sinnvolles tut. Und man tut sich m.E. keinen Gefallen, wenn man diese Analogie wörtlich nimmt und von einer "kontinuierlichen Eigenbasis  " redet.
| Zitat: |
Frage2:
In der Quantenmechanik hat man allerdings umgekehrt konstruiert, also erst mit den Orts- und Impulswellenfunktionen gearbeitet hat, die ja bloß die Darstellungen des abstrakten Vektors sind. Den abstrakten Vektor zu rekonstruieren interessiert dann in der QM nicht mehr, man arbeitet dann bloß mit dem Symbol und denkt sich, dass da ein abstrakter Vektor den man eigentlich rekonstruieren kann steht. Kann man das so sagen?
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Also so würde ich das nicht unterschreiben. Ich denke du hast immer noch nicht so ganz verstanden, was überhaupt mit einem "abstrakten Vektorraum" gemeint ist. Der einzige Unterschied zwischen einem "abstrakten Vektor" in der linearen Algebra und einem "abstrakten Vektor" in der Quantenmechanik ist die Dimension des Vektorraums. Es ist völlig egal, in welcher konkreten Form der Vektor zuerst auftaucht, ob als Ortswellenfunktion, als Impulswellenfunktion oder als Folge von Zahlen in einer Orthonormalbasis. Das einzige was interessiert, ist, daß man Linearkombinationen und hermitesche Produkte von Vektoren bilden kann. Nur diese beiden Eigenschaften definieren einen "Vektor im abstrakten Hilbertraum". |
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Markooooo7
Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35
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| Markooooo7 Verfasst am: 01. Dez 2021 10:36 Titel: |
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Hallo Index_razor,
mir geht es weniger um eine wirklich korrekt mathematische Beschreibung, als um eine für die Physik anschauliche Erklärung mit der man arbeiten kann, auch wenn es so vielleicht nicht ganz richtig ist. Aber so wird beispielsweise hier in einem Artikel der Tu München auch von einer Orts- und Impulsbasis gesprochen.
Warum wird dann hier davon gesprochen, wenn es diese eigentlich nicht gibt?
Ich kann mir vorstellen, dass es falsch ist, wie du es gesagt hast und es sowas nicht gibt, aber vielleicht reicht diese Vorstellung ja für Physikerzwecke aus, da der Physiker ja die Lineare Algebra kennt, um so mit den Formalismen der QM zurechtzukommen.
Hier der Artikel auf S.15 ganz unten auf der Seite:
https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2015s/fk_PH0007_01_course.pdf
Den abstrakten Vekotrraum stelle ich mir so vor, dass ich durch eine Koordinatenabbildung aus diesem in eine konkrete Darstellung komme, zum Beispiel in Psi(x) oder Psi_tilde(p).
So wie ich dich aber auch verstanden habe, kann der abstrakte Vektorraum entweder aus Elementen von Psi(x) oder Psi_Tilde(p) bspw. bestehen.
Da dieser abstrakt ist, ist das dann quasi egal, was die Elemente konkret sind. Mir fehlt aber bei der zweiten Erklärung eine Idee, wie ich mir das besser mathematisch vorstellen kann und einen Bezug herstellen kann zu der Formel <x|Psi>, dabei würde ich gerne auf eine Funkana Erklärung verzichten, da ich hier noch nicht so viel Ahnung habe von und lieber im Bilde der LA arbeiten, auch wenn es in Wirklichkeit falsch ist, aber wiegesagt bloß um den Formalismus der QM anwenden zu können.
Liebe Grüße
Marko
Liebe Grüße
Marko |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18067
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| TomS Verfasst am: 01. Dez 2021 12:04 Titel: |
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| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: | Angenommen ich habe meinen Vektor (1,2,3) aus meinem dreidimensionalen (abstrakten) Vektorraum V.
Diesen kann ich nun durch eine Koordinatenabbildung in unterschiedlichen Basen darstellen: Beispielsweise wäre die Darstellung von (1,2,3) in der Basis B1 gegeben durch (4,5,6) aus K^3 und in der Basis B2 gegeben durch (7,8,9) aus K^3. |
Das Tripel (1,2,3) ist kein Vektor, es sind die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis. Und da es konkret angegeben ist, ist es auch nicht abstrakt.
(ob deine anderen Tripel bzgl. anderer Basen wirklich zum selben Vektor gehören können, sei mal dahingestellt).
Ich versuch's nochmal anders.
Gegeben seien Koordinaten
(mit n = 1..N, ggf. auch unendlich) als Koeffizienten eines Vektors
bzgl. einer speziellen Basis.
Natürlich kann man unendlich viele weitere Basen durch orthogonale Transformationen O einführen, d.h.
} = O \hat{e}_n)
} = \hat{e}_n^{(O)} \cdot \vec{r})
} \, \hat{e}_n^{(O)})
wobei das hochgestellte (O) die Abhängigkeit der Basis und der Koeffizienten von O darstellt.
Außerdem sei gegeben die Funktionen
 = \sum_{n=1}^N r_n \, T_n(x))
wobei T_n für die Tschebyschow-Polynome steht. Für die Koeffizienten gilt
 \, r(x))
Desweiteren gibt es Darstellungen mittels Fourierreihen auf endlichen Intervallen ... und viele weitere Beispiele ...
Der abstrakte Vektor steht dann für die Äquivalenzklasse all dieser Darstellungen.
D.h. zunächst
} \right) \sim \vec{r} \sim r(x) \sim\ldots)
im Sinne von Isomorphismen.
Insbs. gilt für die Skalarprodukte auf diesen (unendlich vielen) konkreten Hilberträumen mit ihren (überabzählbar unendlich vielen) Basen (sowie die dadurch induzierte Normen)
} \, s_n^{(O)} = \vec{r} \cdot \vec{s} = \int_{-1}^{+1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \, r(x) \, s(x) = \ldots )
Damit entsprechen die abstrakten Vektoren letztlich diesen Äquivalenzklassen
D.h. der abstrakte Vektor steht für die Gesamtheit aller Eigenschaften des Vektors, die unabhängig von konkreten Darstellungen auf konkreten Hilberträumen und unabhängig von der Wahl konkreter Basen gültig sind; diese Gesamtheit aller Eigenschaften sind im wesentlichen die Längen sowie die Winkel zu anderen Vektoren.
Aus dem verlinkten Artikel:
| Zitat: | | Der wesentliche Punkt hierbei ist, dass diese Darstellung unabhängig von einer gewählten Basis des Vektorraums ist. |
Sie ist sogar unabhängig vom gewählten konkreten Hilbertraum, denn im o.g. Sinne gilt eine Äquivalenz
 \in \ell^2 \sim r(x) \in L^2[-1,+1])
| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: | | Den abstrakten Vekotrraum stelle ich mir so vor, dass ich durch eine Koordinatenabbildung aus diesem in eine konkrete Darstellung komme, zum Beispiel in Psi(x) oder Psi_tilde(p). |
Ich weiß nicht, was du mit Koordinatenabbildung meinst.
| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: | | So wie ich dich aber auch verstanden habe, kann der abstrakte Vektorraum entweder aus Elementen von Psi(x) oder Psi_Tilde(p) bspw. bestehen. |
So sehe ich das nicht.
Betrachte den harmonischen Oszillator. Es kann z.B. ein Zustand
vorliegen.
Dann ist
 \in \ell^2)
und
 = \sum_n \psi_n \, h_n(x) \in L^2[-\infty, +\infty])
 = \int_\mathbb{R}dx \, e^{-ipx} \, \psi(x) \in L^2[-\infty, +\infty])
Es ist weder notwendig noch sinnvoll, den abstrakten Ket mit genau einer dieser drei konkreten Darstellungen zu assoziieren; insbs. sind die letzten beiden Hilberträume mathematisch natürlich exakt identisch, ihre physikalische Bedeutung ist jedoch unterschiedlich.
Der abstrakte Hilbertraum abstrahiert genau davon. Es handelt sich zunächst um eine rein symbolische Notation.
Ich denke, der einzige Fall, wo diese Abstraktion nicht vollständig durchzuhalten ist, ist genau die hier relevante Unterscheidung
vs.
 = \langle x | \psi \rangle)
denn hier steht <x| mathematisch für etwas völlig anders als <n|; bzw. analog für die Kets.
Wir haben also letztlich zwei Fälle:
1) der Ket steht für einen Vektor endlicher Norm in einem nicht näher spezifizierten, separablen Hilbertraum
2) der Ket steht für einen Vektor im Abschluss eines solchen Hilbertraums, d.h. er ist nicht mehr normiert, kann nur als Funktional auf Vektoren im Sinne von (1) verstanden werden u.ä.
Die Physiker gehen schlampigerweise meist davon aus, auch diesbezüglich noch abstrahieren zu können, aber das führt in diverse mathematische Fallen.
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 01. Dez 2021 18:29, insgesamt 10-mal bearbeitet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 01. Dez 2021 12:19 Titel: |
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| Markooooo7 hat Folgendes geschrieben: |
mir geht es weniger um eine wirklich korrekt mathematische Beschreibung, als um eine für die Physik anschauliche Erklärung mit der man arbeiten kann, auch wenn es so vielleicht nicht ganz richtig ist.
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Was genau möchtest du eigentlich erklärt haben? Bis jetzt hast du nur gefragt, ob bestimmte Analogien zur linearen Algebra zutreffen. Ich halte sie zwar nicht für zutreffend. Aber ob sie für dich "anschaulich" sind, kannst du nur selbst beantworten, wenn Korrektheit sowieso egal ist.
Zum Arbeiten reicht es übrigens die Regeln des Diracformalismus auswendig zu lernen. Die einzelnen Zwischenschritte in den formalen Manipulationen sind zwar nicht immer sinnvoll, aber die Ergebnisse lassen sich eigentlich immer korrekt interpretieren.
| Zitat: |
Aber so wird beispielsweise hier in einem Artikel der Tu München auch von einer Orts- und Impulsbasis gesprochen.
Warum wird dann hier davon gesprochen, wenn es diese eigentlich nicht gibt?
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Das kann ich nicht wissen. Vielleicht wissen sie nicht, daß keine solche Basis existiert oder sie verwenden den Begriff "Basis" nicht korrekt oder sie halten das alles für unwichtige "Feinheiten".
| Zitat: |
Ich kann mir vorstellen, dass es falsch ist, wie du es gesagt hast und es sowas nicht gibt, aber vielleicht reicht diese Vorstellung ja für Physikerzwecke aus, da der Physiker ja die Lineare Algebra kennt, um so mit den Formalismen der QM zurechtzukommen.
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Gerade mit dem Vorwissen aus der linearen Algebra bekommst du ja Probleme, wenn du von einer "Ortseigenbasis" sprichst. Eine Eigenfunktion des Ortsoperators muß nach gewöhnlicher Algebra-Definition die Beziehung
\psi(x) = 0)
erfüllen. Es ist offensichtlich, daß das einzige Element aus dem Hilbertraum ) , welches diese Eigenschaft hat, der Nullvektor ist. An welche Art von Objekt denkst du also, wenn du von der "Orthonormalbasis" |x> redest? Die einzige Möglichkeit das ohne Widersprüche zu definieren, erfordert die Betrachtung stetiger linearer Funktionale auf einer Teilmenge des Hilbertraums, die zumindest auch Deltadistributionen enthalten. Das geht schon über lineare Algebra hinaus.
| Zitat: |
Den abstrakten Vekotrraum stelle ich mir so vor, dass ich durch eine Koordinatenabbildung aus diesem in eine konkrete Darstellung komme, zum Beispiel in Psi(x) oder Psi_tilde(p).
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Was ist eine "Koordinatenabbildung"? Was spricht gegen den Begriff "unitäre Abbildung"? Der Begriff ist erstens in diesem Zusammenhang korrekt und sinnvoll und wird zweitens auch von Physikern regelmäßig verwendet.
| Zitat: |
So wie ich dich aber auch verstanden habe, kann der abstrakte Vektorraum entweder aus Elementen von Psi(x) oder Psi_Tilde(p) bspw. bestehen.
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Das ist nichtmal eine echte Alternative. und  sind erstmal nur Namen für Funktionen ohne tiefere Bedeutung und x und p sind nur Dummyvariablen für die Argumente dieser Funktionen.
| Zitat: |
Da dieser abstrakt ist, ist das dann quasi egal, was die Elemente konkret sind. Mir fehlt aber bei der zweiten Erklärung eine Idee, wie ich mir das besser mathematisch vorstellen kann und einen Bezug herstellen kann zu der Formel <x|Psi>, dabei würde ich gerne auf eine Funkana Erklärung verzichten, da ich hier noch nicht so viel Ahnung habe von und lieber im Bilde der LA arbeiten, auch wenn es in Wirklichkeit falsch ist, aber wiegesagt bloß um den Formalismus der QM anwenden zu können.
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Betrachte ) als Definition der linken Seite, bzw. als Definition von . Es handelt sich also praktisch um die Deltadistribution an der Stelle x. Mehr gibt es da eigentlich wirklich nicht zu verstehen. |
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Markooooo7
Anmeldungsdatum: 20.07.2021
Beiträge: 35
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| Markooooo7 Verfasst am: 02. Dez 2021 17:57 Titel: |
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Hallo TomS, hallo Index_razor,
das Beispiel von TomS hat mir nochmal die Idee von Index_razor sehr gut verdeutlicht! Vielen Dank dafür, zu hundert Prozent kann ich es aber noch nicht nachvollziehen, aber die Idee habe ich schon mal!
Schönen Abend und nochmal vielen vielen Dank!
Liebe Grüße
Marko |
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