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Nachricht |
Natheres
Gast
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 Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 12:30 Titel: Lineare Kette (Lagrange) |
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Meine Frage:
Guten Tag,
Ich soll zeigen, dass bei einer Linearen Kette mit N gekoppelten Federpendeln mit identischen Massen und Federkonstanten D die folgede Bewegungsgleichung gilt:
=0)
Es gilt die periodische Randbedingung, also das quasi die erste und letzte Masse ebenfalls mit einer Feder verbunden sind.
Meine Ideen:
Meine Idee war nun die passende Lagrange Funktion zu finden:
^{2} -\frac{1}{2}D (x_{n} -x_{n-1})^{2})
Stimmt die Lagrange-Funktion oder müssen auch die Geschwindigkeiten von  und  berücksichtigt werden? Wenn ich nun Bewegungsgleichungen für die Koordinate x aufstelle komme ich genau auf die gesuchte Bewegungsgleichung. Aber ich müsste doch eigentlich ebenso die Gleichungen für und aufstellen, oder? |
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Natheres
Gast
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| Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 12:32 Titel: Zusatz |
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Ich habe vergessen zu erwähnen, dass x die Auslenkung der Massen angibt. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2019 12:38 Titel: |
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So wie du es jetzt aufgeschrieben hast, hängt L nur von drei Massen ab, nämlich n, n-1 und n+1. D.h. L beschreibt nicht alle Massenpunkte, sondern nur drei, und diese auch nicht konsistent, da z.B. die kinetischen Term für n-1 und n+1 fehlen.
Du musst im kinetischen Term über n sowie im Potentialterm über Paare (n, n+1) summieren.
Zur Ableitung der Bewegungsgleichungen für das k-te Teilchen musst du dann diese Summe nach dem k-ten Ort bzw. der k-ten Geschwindigkeit ableiten, d.h. du erhältst für jedes k eine Euler-Lagrange-Gleichung.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Natheres
Gast
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| Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 13:37 Titel: |
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Danke für die Antwort!
Ich hatte angenommen, dass ich das Summenzeichen wegen der Einsteinschen Summenkonvention weglassen kann.
Ich habe jetzt die kinetischen Energien ergänzt:
 -\frac{1}{2}D (x_{n+1} -x_{n})^{2} -\frac{1}{2}D (x_{n} -x_{n-1})^{2}))
Nun komme ich auf die Gleichungen:
 =0)
Durch m geteilt:
 =0)
Ist das richtig, oder habe ich was vergessen?
LG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2019 14:11 Titel: |
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Dass du die Summenkonvention verwenden wolltest, war nicht klar. Außerdem funktioniert das ja nur für doppelt auftretende, gleiche Indizes.
Wenn du über k summierst, dann müssen deine Indizes auch k und nicht n enthalten. Und es sind N Massen, nicht n.
Ohne Summenkonvention lautet das zunächst einfach
^2 )
Dabei ist jeder Index modulo N zu lesen, d.h. wenn für n=N-1 folgt, dass n+1=N, dann entspricht dies wieder n=0.
Als nächstes musst du die Euler-Lagrange-Gleichung für die k-te Masse berechnen:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Zur Ableitung der Bewegungsgleichungen für das k-te Teilchen musst du dann diese Summe nach dem k-ten Ort bzw. der k-ten Geschwindigkeit ableiten, d.h. du erhältst für jedes k eine Euler-Lagrange-Gleichung. |
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Natheres
Gast
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| Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 15:23 Titel: |
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Okay, das ist einleuchtend. Was ich nicht ganz verstehe ist, wieso mein zweiter Term im Potential verschwindet.
Dieser Term:
^2)
LG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2019 16:01 Titel: |
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Warum sollte er da stehen?
Schreib doch die Summe aus, z.B. für N = 3 mit den Paaren
 = (1,0); (2,1); (3=0,2))
Alle Paare stehen da.
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Natheres
Gast
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| Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 18:39 Titel: |
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Dann kommt bei mir aber nicht die gesuchte Gleichung nach dem Ableiten raus. Ich habe die Gleichung nach  aufgestellt.
 \neq \sum\limits_{n=0}^{N-1}\ddot{x}_{n}- \sum\limits_{n=0}^{N-1}\omega_0(x_{n+1} -2x_{n}+x_{n-1}))
Was habe ich beim ableiten falsche gemacht? |
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Natheres
Gast
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| Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 20:48 Titel: |
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Ich habs gerafft, wegen der Summe gibt es einen zweiten Term den ich noch ableiten muss...
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!
LG |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 20. Jun 2019 21:25 Titel: |
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Zeig mir mal deine Ableitung der Bewegungsgleichung.
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Natheres
Gast
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| Natheres Verfasst am: 20. Jun 2019 23:59 Titel: |
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Das ist die Gleichung nach dem Ableiten:
+D(x_{k}- x_{k+1})=0) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18073
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| TomS Verfasst am: 21. Jun 2019 06:51 Titel: |
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Sieht doch gut aus.
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