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Lagrange Multiplikator für Masse auf Kugel
 
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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 28. Apr 2011 20:55    Titel: Lagrange Multiplikator für Masse auf Kugel Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo, ich hoffe mir kann jemand helfen, ich stehe vor folgender Aufgabe:
Ein Teilchen bewegt sich auf einer Kugeloberfäche mit Radius R um den Ursprung.
Von außen wirken keine Kräfte. (keine Gravitationskraft)
Ich soll nun den Konfigurationsraum und die Lagrange Multiplikatoren bestimmen, anschließend zeigen, dass der Drehimpuls erhalten bleibt und die Zentrifugalkraft der Zwangskraft entgegengesetzt ist.


Meine Ideen:
Meine Ansätze:
Kugelkoordinaten





Daraus folgt dann für die Lagrange-Funktion:


Nun soll ich über:

die lamdas bestimmen.

Den Drehimpuls kann man wohl über:
bzw.


bestimmen.


Zuletzt bearbeitet von Thomas89 am 29. Apr 2011 21:14, insgesamt einmal bearbeitet
Rmn



Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473

Beitrag Rmn Verfasst am: 28. Apr 2011 21:40    Titel: Antworten mit Zitat

Du scheinst allein klar zu kommen, was ist denn deine Frage?
Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 28. Apr 2011 21:46    Titel: Antworten mit Zitat

Meine Frage ist die, wie ich die Lambdas bestimmen soll. D.h. ich bin nur soweit gekommen wie ich es aufgeschrieben habe und jetzt weiß ich nicht was ich machen muss.
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18550

Beitrag TomS Verfasst am: 28. Apr 2011 21:51    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn du die Aufgabe direkt in Winkelkoordinaten formulierst, dann hast du die Zwangsbedingung bereits implementiert, es kommen nur noch physikalische Freiheitsgrade (2 an der Zahl) vor. Ich denke, du sollst die Aufgabe zunächst in kartesischen Koordinaten (x,y,z) formulieren und dann die Zwangsbedingung |r|²- R² = 0 mittels eines Lagrangemultiplikators einführen.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Apr 2011 22:02    Titel: Antworten mit Zitat

Ich denke, du sollst nicht die Lagrangefunktion bestimmen, sondern die Bewegung mittels Lagrange Multiplikatoren lösen. Dazu ist es notwendig, so zu tun, als ob der Massepunkt alle Freiheitsgrade hat (3), und die Zwangsbedingung extra einzuführen:



mit




Dann musst du den Multiplikator geschickt bestimmen smile

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Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)


Zuletzt bearbeitet von schnudl am 28. Apr 2011 22:04, insgesamt einmal bearbeitet
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Apr 2011 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Jaja, der TomS war wieder mal schneller ... Prost
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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 28. Apr 2011 22:06    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie genau muss ich dabei vorgehen? Habe die Lösung ohne Rechnung schon in nem anderen Forum gelesen, allerdings würde ich gerne Schritt für Schritt wissen was ich machen muss. Muss ich etwa




setzen?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 28. Apr 2011 22:13    Titel: Antworten mit Zitat

smile

Sieht gut aus. Da TomS schneller war, steht es aber ihm zu, dir zu helfen !

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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 28. Apr 2011 22:24    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, nur würde ich jetzt ganz naiv denken:

wobei das lambda beliebig ist und das teilchen exponentiell in alle richtungen läuft? Und was hat das ganze dann mit der Zentrifugalkraft zu tun? Oder muss ich nun evtl. die Parametrisierung einsetzen?
Vielen Dank im Vorraus!
TomS
Moderator


Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18550

Beitrag TomS Verfasst am: 28. Apr 2011 23:24    Titel: Antworten mit Zitat

Du bestimmst zunächst die normale Lagrangefunktion



Dann überlegst du dir die Zwangsbedingung



Als nächstes erweiterst du die Lagrangefunktion zu



Nun bestimmst du die modifizierten Euler-Lagrange-Gleichungen aus der erweiterten Lagrangedichte; dabei gibt es nun eine neue Gleichung, die durch Ableitung nach dem Lagrangemultiplikator resultiert und die natürlich genau die Zwangsbedingung reproduziert. Die Rechnung funktioniert im wesentlichen wie bei einer normalen Lagrangefunktion ohne Lagrangemultiplier, nur dass nun eben Zusatzterme durch den Lagrangemultiplikator entstehen.

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schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 08:25    Titel: Antworten mit Zitat

Thomas89:
Um noch ein wenig konkreter zu werden (man muss hier nicht notwendigerweise "formal" werden und erst eine "Lagrangefunktion" einführen - ich vermute das Beispiel ist didaktisch auch so gedacht):

* Leite die Zwangsfunktion 2x nach der Zeit ab
* Ersetze die zweiten Ortsableitungen durch die Bewegungsgleichungen
* Berücksichtige die Zwangsbedingung
* Rechne daraus Lambda aus
* Leite Lambda nach der Zeit ab. Was folgt daraus (Erhaltungsgröße)?

Hier muss man nicht raten - du hast ja schon ganz gut begonnen...

Die Sache mit der Erhaltung des Drehimpulses:



Wenn du nun die x, y und z konkret einsetzt und die Bewegungsgleichungen verwendest, wirst du unmittelbar sehen, dass alle Komponenten verschwinden und L konstant ist - wieder völlig "unformal".

TomS:
Natürlich ist alles was du schreibst (wie immer) zu 100% richtig. Ich vermute jedoch, dass an dieser Stelle "T" noch nicht eingeführt wurde, und man mit den Lagrange-Gleichungen erster Art rechnen soll. Die von dir angegebene Mischform verwendet man ja vorteilshaft eher in jenen Fällen, wo die Zwangsbedingungen nicht holonomer Natur sind. In unserem Fall kännte man ja aber gleich die Lagrange-Gleichungen 2. Art hinschreiben, und dafür bräuchte man keine Lagrange-Multiplikatoren...Sollte es nicht so gedacht sein, bitte alles vergessen!

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franz



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Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 29. Apr 2011 09:44    Titel: Antworten mit Zitat

Mit der Nebenbedingung hat man die LAGRANGE Gleichung I für die (radiale) Zwangskraft und damit zum Beispiel den Drehimpulssatz , also Bewegung auf einer Geodäte (Großkreis).
Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 29. Apr 2011 11:24    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen Dank!
Also:



Dann setze ich ein:



Nun ist r ja konstant R aufgrund der Zwangsbedingung.
Einsetzen in die Bewegungsgleichung liefert:



Für den Drehimpuls:


Bin ich auf dem richtigen Weg?
Dies ist offensichtlich der Zentrifugalkraft entgegengesetzt.(Woher kommt die Zentrifugalkraft eigentlich wenn die Kugel doch ruht?) Doch wie löse ich nun die Bewegungsgleichung und wie sieht die Bewegung aus?


Zuletzt bearbeitet von Thomas89 am 29. Apr 2011 15:14, insgesamt einmal bearbeitet
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 13:42    Titel: Antworten mit Zitat

ich denke das passt smile
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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 29. Apr 2011 15:10    Titel: Antworten mit Zitat

schön vielen Dank für die Hilfe =) Ist ja im nachinein doch nicht so schwer.
Nur frage ich mich jetzt wie ich die Bewegungsgleichungen lösen soll, da ich nach einsetzen der Kugelkoordinaten 3 gekoppelte gleichungen mit sin cos und den ableitungen der winkel habe... Und warum gibt es überhaupt eine Zentrifugalkraft ohne Drehung der Kugel? Wie sieht denn eine Bewegung der Masse aus? Ohne Gravitationskraft dürfte doch eigentlich gar nix passieren oder?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583

Beitrag franz Verfasst am: 29. Apr 2011 15:30    Titel: Antworten mit Zitat

Thomas89 hat Folgendes geschrieben:
Wie sieht denn eine Bewegung der Masse aus?

Wie oft ist das Stichwort "Drehimpulserhalt " hier schon gefallen? smile
(Wobei Du vielleicht erstmal Deine Aufgabe abarbeiten solltest?)
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
Beiträge: 6979
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 16:11    Titel: Antworten mit Zitat

Thomas89 hat Folgendes geschrieben:
... Und warum gibt es überhaupt eine Zentrifugalkraft ohne Drehung der Kugel? Wie sieht denn eine Bewegung der Masse aus? Ohne Gravitationskraft dürfte doch eigentlich gar nix passieren oder?


?? Bei dieser Frage steige ich aus...


grübelnd

Wieso soll sich die Kugel drehen? Auf der Kugel sitzt eine Masse m, und die kann sich eben bewegen. -> Zentrifugalkraft

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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 29. Apr 2011 16:35    Titel: Antworten mit Zitat

Achso ist das gemeint. Also bewegt sich die Masse in erstmal beliebiger Form, woraus die Zentrifugalkraft entsteht. Nach den Rechnungen sieht man dass der Drehimpuls erhalten bleibt, also beschreibt die Masse Kreisbahnen auf der Kugeloberfläche. Ich dachte irrtümlicherweise dass die Masse erstmal ruht und dann von einer anderen Kraft in Bewegung gesetzt wird...
Also kann man die Bewegung mit:
x = R*sin(theta)*cos(phy)
y = R*sin(theta)*sin(phy)
z = R*cos(theta)
beschreiben, wobei theta konstant sein muss? Und kann man die Bewegungsgleichungen auch herleiten oder wäre das zu lang und umständlich?
Das Koordinatensystem könnte man dann ja beliebig drehen und bekommt so alle möglichen Kreisbahnen auf der Oberfläche. Oder gibt es noch andere Lösungen der Bewegungsgleichungen? Tut mir leid, manchmal stehe ich einfach auf dem Schlauch...
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

Thomas89 hat Folgendes geschrieben:

Also kann man die Bewegung mit:
x = R*sin(theta)*cos(phy)
y = R*sin(theta)*sin(phy)
z = R*cos(theta)

beschreiben, wobei theta konstant sein muss?

Nein, Theta=const ist kein Großkreis.


...


Oder gibt es noch andere Lösungen der Bewegungsgleichungen?

Die Lösung zeigt ja, dass es Großkreise sein müssen. Bei einer gegebenen Anfangsrichtung ist der Großkreis eindeutig festgelegt.

Tut mir leid, manchmal stehe ich einfach auf dem Schlauch...

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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
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Beitrag Thomas89 Verfasst am: 29. Apr 2011 18:04    Titel: Antworten mit Zitat

Also theta = PI/2 ?
Dann wäre es ja x = R cos(phy)
y = R sin(phy)
z = R
wobei das Koordinatensystem entsprechend gedreht werden muss. Weiterhin muss (d^2/dt^2)(phy) = 0 sein, da sonst der Drehimpuls nicht mehr konstant ist. Sprich r x v wäre nicht konstant.
Also lässt sich die Bewegungsgleichung nur durch Überlegung bestimmen? Oder auch als Lösung mit Hilfe der Lagrange Gleichung?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 18:42    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Also lässt sich die Bewegungsgleichung nur durch Überlegung bestimmen?


Wieso?

Die allgemeine Lösung ist wegen der entkoppelten Differenzialgleichungen:



mit



und zunächst beliebigen Vektoren A, B.


Es folgt aufgrund der Zwangsbedingung:



Da dieser Ausdruck für beliebige t gelten muss, haben wir



und



Alle Vektoren A, B, welche diese letzten beiden Gleichungen simultan erfüllen, ergeben zulässige Lösungen ! Jeder Großkreis wird auf diese Weise beschrieben...

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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
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Beitrag Thomas89 Verfasst am: 29. Apr 2011 19:42    Titel: Antworten mit Zitat

Bezieht sich das mit den enkoppelten DGLs auf diese Gleichung?

oder auf die in kartesichen Koordinaten? Diese sind doch dann über die Geschwindigkeit (dr/dt)^2 gekoppelt oder?
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 19:55    Titel: Antworten mit Zitat

Das Geschwindigkeitsquadrat



ist doch konstant. Damit hat die Dg für x die Form



ebenso





Hier gibt es keine Kopplung !

Das kann man "eleganter" (koordinatensystemunabhängig) anschreiben als



Du machst es dir schwerer als notwendig. Die Lösung ist sehr einfach - nicht komplex !

smile

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Thomas89



Anmeldungsdatum: 28.04.2011
Beiträge: 10

Beitrag Thomas89 Verfasst am: 29. Apr 2011 20:16    Titel: Antworten mit Zitat

ok vielen dank! v^2 ist konstant, weil r konstant ist und L = mrxv = const. ?
endlich habe ich das verstanden:P ich wollte schon die beschleunigung in kugelkoordinaten angeben...
Mal ein großes lob an euch, dass einem hier so schnell so gut geholfen wird =)
schnudl
Moderator


Anmeldungsdatum: 15.11.2005
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Beitrag schnudl Verfasst am: 29. Apr 2011 21:14    Titel: Antworten mit Zitat






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