Vektorfunktion als Gradient schreiben

einstein00 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes Feld gegeben:

.

Die Frage ist, ob man dieses Feld als Gradientenfeld schreiben kann?

Meine Ideen:
Leider bin ich mir nicht sicher wie ich herangehen soll.
Mir ist klar, dass man von diesem Feld nicht den Gradienten bilden kann, da es keine Skalarefunktion ist. Aber eigentlich beantwortet das ja nicht die Frage ob ich das Feld selber als Gradientenfeld schreiben kann.

Bin dankbar für jede Hilfe smile

einstein00 · Gast

Die Funktion soll ein Kreuzprodukt darstellen, noch zur Ergänzung, weil ich kein besseres Zeichen gefunden habe Augenzwinkern

korrigiert - Gruß, Tom

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Wäre

ein Gradientenfeld, müsste gelten

, denn allgemein gilt für ein Skalarfeld f rot(grad(f))=0. Das kannst Du also nachprüfen.

PS: Das Kreuzprodukt lässt sich schreiben mit \times Augenzwinkern

einstein00 · Gast

Also wenn als Rotation nicht der Nullvektor rauskommt, dann kann man das Feld nicht als Gradient schreiben?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18067

Es gilt allgemein

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Vector_calculus_identities#Second_derivatives

Bei dir ist gegeben

wobei ich davon ausgehe, dass w ein konstanter Vektor ist, keine vektorwertige Funktion w(x).

Gesucht ist eine skalaren Funktion f, so dass für F die Darstellung als Gradientenfeld gilt:

Ich sehe zwei Möglichkeiten, einen Beweis zu führen:

1. die o.g. Identitäten.

2. ein Ansatz

zur expliziten Konstruktion von f - oder zum Beweis, dass kein derartiges f existieren kann.