Geschwindigkeit der Wärmeleitung

Mogician · Anmeldungsdatum: 30.11.2018 Beiträge: 5

Hallo!

Ich habe ein Problem bei der Berechnung der Geschwindigkeit der Wärmeleitung über die Zeit.

Die Skizze soll das Schema des Wärmetransports beschreiben.
Es handelt sich hierbei um die Draufsicht eines Plattenwärmetauschers.
Grau ist die Wand aus Aluminium.
Diese Wand hat eine bestimmte Temperatur beim Start und wird dann über die blau dargestellte Passage abgekühlt.

Nun ist das Messinstrument (in Dunkelgrau dargestellt) aber aus Edelstahl.
Aluminium hat circa 200 W/m*K und Edelstahl 15 W/m*K Wärmeleitungskoeffizient.

Ich möchte nun berechnen, wie schnell die Temperatur im Fall von Aluminium nd im Fall von Edelstahl sinkt, also nach Ort und Zeit.
Die graue Wand ist 15mm stark, das Messinstrument in einer Edelstahlkapillare mit einer Wandstärke von 0,25mm.

Ist die Wärmeleitungsgleichung https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rmeleitungsgleichung dafür der richtige Ansatz oder geht es einfacher über die Enthalpien, oder gibt es noch einen mir unbekannten Ansatz?

Meine Annahme ist, dass die Umgebungstemperatur in der Aluwand schneller fällt als die Temperatur der Kapillare. So ergeben sich die roten Pfeile, die den erwarteten Wärmetransport anzeigen sollen.

Bin für jeden Hinweis dankbar.

Willkommen im Physikerboard!
Ich habe das (ziemlich kleine) Bild aus dem externen Link als Anhang eingefügt. Bitte verwende keine solchen Links, die sind irgendwann kaputt.
Viele Grüße
Steffen

Duke711 · Anmeldungsdatum: 26.01.2017 Beiträge: 434

Das geht exakt nur über die Wärmeleitungsgleichung:

https://de.wikipedia.org/wiki/Temperaturleitf%C3%A4higkeit

Mogician · Anmeldungsdatum: 30.11.2018 Beiträge: 5

Duke711 · Anmeldungsdatum: 26.01.2017 Beiträge: 434

PDGLs zählen zu den höchsten Disziplinen der Mathematik und sind auch bereits bis heute noch nicht vollständig verstanden.

Darum löst man solche Problemfälle auch numerisch anstatt analytisch.

Mogician · Anmeldungsdatum: 30.11.2018 Beiträge: 5

Okay, also packt man das irgendwie in den Computer und lässt das lösen?
Oder gibt es vereinfachte formen oder gibt es diese Gleichung mal irgendwo gelöst?

Merci

Duke711 · Anmeldungsdatum: 26.01.2017 Beiträge: 434

Hier mal ein Skript zum Lösen der PDGLs und deren Formen:

https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~haller/Skripten/skript_pdgl_sose11.pdf

Ansonsten löst man das numerisch über Simulationen, die Wärmegleichung kann man wunderbar per FEM lösen.

Mogician · Anmeldungsdatum: 30.11.2018 Beiträge: 5

Danke!