Elastischer Stoß eines Stabes und Schallgeschwindigkeit

Manfred29 · Anmeldungsdatum: 31.10.2018 Beiträge: 8

Meine Frage:
Hallo Forum,

meine Frage bezieht sich auf die Schallgeschwindigkeit bzw. auf die Geschwindigkeit der Informationsübertragung im Festkörper. Angenommen man hat einen langen Stab der Länge L und dieser stößt mit einem Ende gegen eine Mauer, dann wird dieser natürlich abgebremst und zurückgestoßen, sofern der Stoß als elastisch angenommen wird. Zunächst -sofern mein Verständnis hier richtig ist- stößt das eine Ende gegen die Mauer und der Stab wird dann sukzessiv komprimiert bis auch das andere Ende zum Stillstand kommt. Das ist dann der Zeitpunkt, wo die gesamte kinetische Energie in potentielle umgewandelt wurde. Danach expandiert der Stab wieder in umgekehrter Reihenfolge und bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit wie vor dem Stoß allerdings in entgegengesetzter Richtung weiter. Nun kann man sich vorstellen, dass der Stab nur eine äußerst geringe kinetische Energie vor dem Stoß besitzt aufgrund sehr geringer Geschwindigkeit oder Masse. Demzufolge kann der Stab nur entsprechend minimal komprimiert werden, da ja maximal die vor dem Stoß enthaltene kinetische Energie in die Kompression also in potentielle Energie umgewandelt werden kann. Die Stoßinformation, die vom an die Mauer stoßenden Ende durch den Stab bis zum anderen Ende läuft müsste nun nach meiner bescheidenen Überlegung abhängig von der Länge des Stabes sein. Kann das sein? Denn ansonsten würde der Stab ja weiter und weiter komprimiert bis endlich auch das andere Ende anhält und dann wäre die potentielle Energie am Ende der Kompressionsphase größer als die zuvor enthaltene kinetische Energie und somit würde der Stab hinterher eine größere Geschwindigkeit besitzen als vor dem Stoß. Das aber widerspricht der Energie- und Impulserhaltung. Ich hoffe, jemand kann mir hier beim Auffinden meines Denkfehlers weiterhelfen. Ich komme hier nicht weiter.

Viele Grüße,
Manfred

Meine Ideen:
Näherungsweise kann man für die potentielle Energie das Hookesche Gesetz anwenden, so dass immer gelten muss 1/2 mv^2 = 1/2 kx^2, wobei x die Längendifferenz vor und nach der Kompression ist.

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 985

Der Stab bildet vereinfacht ein Feder-Massesystem.
Wie ein Pendel, ist ein solches System ein Schwingungssystem.

Solchen Systemen ist gemeinsam, dass sie eine (oder mehrere) Eigenfrequenzen haben.
Eine Eigenfrequenz ist dem System inhärent (wie z.B. auch die Masse) und deshalb unabhängig von der äußeren Anregung.

Beim Pendel ist deshalb die Schwingungsdauer unabhängig von der Auslenkung.

Bei einem Feder-Massesystem ist die (Eigen-)Schwingungsdauer ebenfalls unabhängig von der Auslenkung.
Das bedeutet, dass die Zeit für die Kompression (und Dekompression) die selbe ist, egal wie schnell der Stab auf die Wand trifft.

Wenn der Stab schnell ist, wird er mehr komprimiert, aber durch die höhere Auftreffgeschwindigkeit passiert das in der gleichen Zeit, wie wenn er langsam auftrifft und weniger komprimiert wird.

Daraus ergibt sich die konstante Geschwindigkeit des "Signales" unabhängig von der Auftreffgeschwindigkeit. Dies ist dann die Schallgeschwindigkeit im Stab.

Das ist zwar alles etwas vereinfacht dargestellt, aber so ungefähr kann man sich das vorstellen.

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Manfred30 · Gast

Danke, Frankx, für die sehr anschauliche und ausführliche Antwort.
Die Eigenfrequenz ist hier sicher der richtige Lösungsansatz und ist für mir auch so wie du es beschrieben hast völlig einleuchtend und logisch. Solange die Schallgeschwindigkeit größer ist als die Geschwindigkeit des Stabes passt das. Aber was ist, wenn die Geschwindigkeit größer als die Schallgeschwindigkeit im Stab ist? Man kann ja annehmen, dass der Stab idealisiert vollelastisch ist und beim Stoß nicht kaputt geht. Dann weiß das hintere Ende ja im Zweifel erst, dass es auch anhalten muss, wenn es selbst auch gegen die Mauer prallt. Dann wäre der Stab ja quasi auf eine Länge von Null komprimiert, oder? Dann wäre viel mehr potentielle Energie vorhanden als vorher kinetische drinsteckte. Kann man das theoretisch betrachten oder mach ich da gedanklich was, das gegen irgendein Naturgesetz verstößt?
Also das grundsätzliche Problem, was ich noch nicht so ganz verstehe, ist wohl die endliche Signalgeschwindigkeit im Stab. Wenn v größer ist als die Signalgeschwindigkeit ist so ein Spezialfall.
Ein anderer wäre, wenn man sich anhand der Eigenfrequenz Omega = sqrt(k/m) überlegt, wie das aussieht, wenn m sehr sehr klein ist, sodass sich eine hohe Eigenfrequenz ergibt (wahlweise auch k sehr groß). Jetzt hat der Stab ja eine gewisse Länge und das Signal muss es ja nun auch während der Kompressions/Dekompressionsphase von einem Ende zum anderen schaffen. Das heißt in meiner bescheidenen Vorstellung, dass sich bei gegebener Federkonstante k und Masse m eine theoretisch maximale Länge ergibt!? Es ist vielleicht sehr theoretisch, aber prinzipiell könnte man sich einen sehr langen, sehr starren (großes k) und sehr leichten Stab konstruieren und dann sogar rein rechnerisch auf Signalgeschwindigkeiten größer als Lichtgeschwindigkeit kommen...ist dann vielleicht keine klassische Physik mehr, keine Ahnung...
Würde mich freuen, wenn du auf diese beiden Grenzfälle einmal eingehen könntest.

Beste Grüße,
Manfred29

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 985

Manfred31 · Gast

Ja, so seh ich das ja auch. Aber ist der Stab dann nach "Reflexion" nicht schneller als vorher? Woher soll diese sicher irre hohe Kompressionsenergie kommen? Die kann ja nur aus der zuvor enthaltenen kinetischen Energie kommen. Ich sehe da jetzt keine Korrelation bei der Umwandlung von kinetischen Energie in potentielle, wenn die Geschwindigkeit des Stabes die Schallgeschwindigkeit im Stab übertrifft.

Beste Grüße,
Manfred29

Frankx · Anmeldungsdatum: 04.03.2015 Beiträge: 985

Manfred32 · Gast

Na, ok. Ich versuche dir zu folgen. Nehmen wir 2 Atome aus dem Kristallgitter . Ich bewege nun das eine mit Überschallgeschwindigkeit auf das andere zu. In diesem einfachen Modell erhält das 2. Atom die Information, dass das erste sich auf dieses zubewegt hat, erst, wenn es schon da ist. Die nun enthaltene potentielle Energie wäre dann höher als die zuvor enthaltene kinetische Energie war, wenn wir jetzt mal wieder schnell zum Beispiel des sich komprimierenden Stabes switchen, sofern man annimmt, dass die Schallgeschwindigkeit näherungsweise gleich bleibt. Nun kann bzw. muss sich die Kennlinie aufgrund der Komprimierung ändern, wenn ich dich richtig verstehe, und die Schallgeschwindigkeit erhöht sich dann. Dann ergibt sich kein Widerspruch.Gut, das wäre eine logische Erklärung. Hab ich das so richtig wiedergegeben? Ich muss nochmal in Ruhe drüber nachdenken.
Beste Grüße,
Manfred

Manfred33 · Gast

Also so richtig hab ich es wohl doch nicht verstanden. Schau mal, wenn der Stab doch schneller ist als die Schallgeschwindigkeit, sagst du ja selbst, dass der Stab solange komprimiert wird bis das hintere Ende auf das vordere trifft, also auf null quasi. Das spiegelt doch wider, dass weder Masse noch Federkonstante für dieses kleine Gedankenexperiment relevant sein können. In jedem Fall hab ich nachher mehr potentielle Energie am Ende der Kompressionsphase als vorher kinetische vorhanden war. Ich denke eher, dass irgendwie das Modell von Masse und Feder nicht passt. Aber keine Ahnung wie man das richtig betrachten muss...?

Beste Grüße,
Manfred