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buli
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 5
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 buli Verfasst am: 01. Sep 2018 09:45 Titel: Relativistische Massezunahme auch für schwere Masse? |
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Meine Frage:
In der speziellen Relativitätstheorie wird gezeigt, dass die Masse von der Geschwindigkeit des Beobachters abhängig ist. Ich kenne die Herleitung der relativistischen Masse darüber dass der Impuls eines Objekts in allen Inertialsystemen der selbe sein muss, woraus sich die relativistische Massezunahme ergibt. Da der Impuls ja eigentlich nur von der trägen Masse abhängig ist, sollte die Massezunahme ja eigentlich auch nur für träge Masse gelten. Also meine Frage: wird eine Masse die sich mit großer Geschwindigkeit an einer großen Masse vorbeibewegt stärker abgelenkt als eine mit geringer Geschwindigkeit?
Meine Ideen:
Nach dem Äquivalenzprinzip in der Allgemeinen Relativitätstheorie sollte die Massezunahme ja auch für die schwere Masse gelten. Ganz sicher bin ich mir dabei aber nicht.
(Antwortniveau: habe gerade das 2. Semester im Bachelor Physik beendet und fange gerade an mich in die ART einzulesen) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 01. Sep 2018 10:43 Titel: |
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Ich würde der Herleitung zunächst mal misstrauen!
Die Verwendung des Begriffs der „relativistischen Masse“ findet sich in kaum einem ernst zu nehmen Ansatz. Bereits Einstein hat dieses Konzept kritisiert.
Es gibt sinnvollerweise genau einen Massebegriff, den der (invarianten) Ruhemasse m.
Dann gibt es in einer lorentzinvarianten Theorie die geschwindigkeitsabhängigen Größen Energie sowie Impuls
^2 + (mc^2)^2)
Das ist ausreichend.
Eine weitere, geschwindigkeitsabhängige Masse
 = \frac{E(v)}{c^2})
einzuführen ist nutzlos, überflüssig und teilweise irreführend.
| Einstein hat Folgendes geschrieben: | | It is not good to introduce the concept of the mass M(v) ... of a moving body for which no clear definition can be given. It is better to introduce no other mass concept than the ’rest mass’ m. Instead of introducing M it is better to mention the expression for the momentum and energy of a body in motion. |
| Aron hat Folgendes geschrieben: | | For many years it was conventional to enter the discussion of dynamics through derivation of the relativistic mass, that is the mass–velocity relation, and this is probably still the dominant mode in textbooks. More recently, however, it has been increasingly recognized that relativistic mass is a troublesome and dubious concept ... The sound and rigorous approach to relativistic dynamics is through direct development of that expression for momentum that ensures conservation of momentum in all frames ... rather than through relativistic mass. |
| Tyler and Wheeler hat Folgendes geschrieben: | | The concept of "relativistic mass" is subject to misunderstanding. That's why we don't use it. First, it applies the name mass - belonging to the magnitude of a 4-vector - to a very different concept, the time component of a 4-vector. Second, it makes increase of energy of an object with velocity or momentum appear to be connected with some change in internal structure of the object. In reality, the increase of energy with velocity originates not in the object but in the geometric properties of spacetime itself. |
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 01. Sep 2018 11:05 Titel: Re: relativistische Massezunahme auch für schwere Masse? |
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Dann zu deinen weitern Punkten:
| buli hat Folgendes geschrieben: | | Ich kenne die Herleitung der relativistischen Masse darüber dass der Impuls eines Objekts in allen Inertialsystemen der selbe sein muss, woraus sich die relativistische Massezunahme ergibt. |
Das ist so schlicht falsch. Der Impuls ist natürlich geschwindigkeits- und somit system-abhängig
| buli hat Folgendes geschrieben: | | da der Impuls ja eigentlich nur von der trägen Masse abhängig ist, sollte die Massezunahme ja eigentlich auch nur für träge Masse gelten. |
Der Impuls hängt neben der Geschwindigkeit ausschließlich von der Ruhemasse ab. Erst in der ART versteht man dann die Identität von schwerer und Träger Masse.
| buli hat Folgendes geschrieben: | | wird eine Masse die sich mit großer Geschwindigkeit an einer großen Masse vorbeibewegt stärker abgelenkt als eine mit geringer Geschwindigkeit? |
Nein.
Bitte vergiss diese Massenzunahme. Es wird hier suggeriert, dass etwas mit dem Körper oder der Masse „passieren“ würde. Das ist falsch. Es passiert gar nichts, der Körper hat seine invariante Ruhemasse - end-of-story.
Natürlich hat der relativ zu der großen, ablenkenden Masse (z.B. Sonne) bewegte Körper (z.B. Komet) bei größerer Geschwindigkeit auch einen größeren Impuls und eine größere Energie. Diese haben aber nichts mit der inneren Struktur des Körpers zu tun, sondern beziehen sich lediglich auf das zur Berechnung gewählte Inertialsystem = das Ruhesystem der großen, ablenkenden Masse. Und aufgrund der größeren Geschwindigkeit wird der Körper geringer abgelenkt.
Dabei folgen alle Körper gleicher Geschwindigkeit und unterschiedlicher Masse den selben Bahnen, d.h. diese Ablenkung hängt überhaupt nicht von der Masse m des abgelenkten Körpers ab.
| buli hat Folgendes geschrieben: | | Nach dem Äquivalenzprinzip in der Allgemeinen Relativitätstheorie sollte die Massezunahme ja auch für die schwere Masse gelten. Ganz sicher bin ich mir dabei aber nicht. |
Nach dem Äquivalenzprinzip in der Allgemeinen Relativitätstheorie folgen alle Körper gleicher Geschwindigkeit und unterschiedlicher Masse den selben Bahnen, d.h. die Bahnkurve ist unabhängig von der Masse m des abgelenkten Körpers.
Bitte versuche, zunächst mal diverse irrige Annahmen zu vergessen. Dann können wir uns im Detail die Bewegungsgleichung der ART und die Massenunabhängigkeit der Bahnkurve ansehen.
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buli
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 5
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| buli Verfasst am: 02. Sep 2018 17:51 Titel: |
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Mhm okay. also die relativistische Massezunahme wurde mir so erklärt, dass ich ein Objekt der Masse m betrachte, welches beispielsweise gegen eine Wand fliegt. Die Größe des Einschlagslochs is ja immer dassselbe und hängt lediglich vom Impuls des Objekts ab. Ich betrachte den Vorgang nun aus einem relativ zur Wand ruhenden System (K) und aus einem quer zur Bewegungsrichtung des Objekts bewegten System (K'). Der Impuls p in K und der Impuls p' in K' müssen gleich sein, da das Objekt ja immer mit der selben Wucht gegen die Wand schlägt. Es gilt also p=p' --> m' v' = m v --> m' (s'/t') = m (s/t). Da sich K' quer zu v bewegt gilt s=s'. Damit gilt m'/t'= m/t. und t=y t'. simit folgt:
m'= m/y. Anhand dieser Herleitung finde ich die Einführung einer Geschwindigkeitsabhängigen schon sinnvoll.
Heute Abend oder morgen werde ich mich aber nochmal genauer mit deiner Antwort befassen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 02. Sep 2018 18:13 Titel: |
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Das geht am Kern der Argumentation vorbei.
Klar, alles, was du schreibst, kann mittels Lorentztransformation detailliert berechnet werden. Es ist jedoch weder notwendig noch sinnvoll, dass du aus dem mathematischen Objekt γm mit der Ruhemasse m sowie mit dem Lorentzfaktor γ(v) ein neues Objekt M = γm bastelst und das irgendwie zu verstehen versuchst.
Natürlich ist γm geschwindigkeitsabhängig, das bestreitet niemand. Lass γm einfach so stehen, und alles ist gut.
Worin sich die meisten heute einig sind ist, dass die Einführung von M(v) didaktisch unnötig und meist irreführend ist. Dein erster Beitrag zeigt, dass auch dich dieses M(v) an mehreren Stellen verwirrt. Also vergiss es einfach, denke nie mehr daran und rechne mit γm.
Wenn du ART lernen willst, wirst du dieses M(v) ohnehin nie zu Gesicht bekommen.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 02. Sep 2018 21:03 Titel: Re: relativistische Massezunahme auch für schwere Masse? |
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| buli hat Folgendes geschrieben: | | Ich kenne die Herleitung der relativistischen Masse darüber dass der Impuls eines Objekts in allen Inertialsystemen der selbe sein muss, woraus sich die relativistische Massezunahme ergibt. |
Der Impuls eines Objekts ist nicht in allen Inertialsystemen derselbe. Zu den Grundlagen für die Herleitung der relativistischen Masse gehört nicht die Bezugssystemunabhängigkeit des Impulses sondern die seiner Definition.
| buli hat Folgendes geschrieben: | | Da der Impuls ja eigentlich nur von der trägen Masse abhängig ist [...] |
Der Impuls eines Objektes hängt nicht nur von der trägen Masse, sondern auch von der Geschwindigkeit ab.
| buli hat Folgendes geschrieben: | | sollte die Massezunahme ja eigentlich auch nur für träge Masse gelten |
Wenn die Massezunahme für die träge Masse hergeleitet wird, dann heißt das nicht, dass sie nur für die träge Masse gilt.
| buli hat Folgendes geschrieben: | | Also meine Frage: wird eine Masse die sich mit großer Geschwindigkeit an einer großen Masse vorbeibewegt stärker abgelenkt als eine mit geringer Geschwindigkeit? |
Nein, die schnellere Masse wird weniger stark abgelenkt als die langsamere. Allerdings wird sie stärker beschleunigt.
| buli hat Folgendes geschrieben: | | Nach dem Äquivalenzprinzip in der Allgemeinen Relativitätstheorie sollte die Massezunahme ja auch für die schwere Masse gelten. |
In der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es gar keine schwere Masse. Die taucht nur im Newtonschen Gravitationsgesetz auf und das hat in der Relativitätstheorie nichts zu suchen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 02. Sep 2018 21:26 Titel: Re: relativistische Massezunahme auch für schwere Masse? |
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| buli hat Folgendes geschrieben: | | Also meine Frage: wird eine Masse die sich mit großer Geschwindigkeit an einer großen Masse vorbeibewegt stärker abgelenkt als eine mit geringer Geschwindigkeit? |
Um auf diese Frage zurückzukommen: Massenpunkte in der ART folgen im Newtonschen Grenzfall den aus der Newtonschen Mechanik bekannten Orbits, d.h. z.B. für ein Planetensystem den elliptischen bzw. im Falle ungebundener Körpern hyperbolischen Bahnen. Die Form des Orbits hängt ausschließlich von der Geschwindigkeit und nicht von der Ruhemasse m ab.
Korrekturen der ART führen für genügend kleine Geschwindigkeiten zu der bekannten Periheldrehung:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/File:Newton_versus_Schwarzschild_trajectories.gif
Ganz allgemein entspricht die Weltlinie eines im Gravitationsfeld frei fallendes Körpers einer Geodäte:
tau steht für die Eigenzeit des Körpers entlang seiner Weltlinie.
Die Geodätengleichung folgt aus dem Prinzip der minimalen Wirkung für die Wirkung S[C] entlang der Weltlinie C. S[C] ist identisch mit der Länge der Weltlinie.
Man erkennt, dass die Geodätengleichung unabhängig von der Ruhemasse des Körpers ist. Körper beliebiger Masse folgen bei identischen Anfangsbedingungen auch identischen Geodäten.
Zunächst sieht es so aus, als ob die Geodätengleichung zusätzlich zu den Feldgleichungen gefordert werden müsste. Tatsächlich folgt die Geodätengleichung für den Spezialfall einer Raumzeit, die mit nicht-wechselwirkendem drucklosem Staub gefüllt ist aus der kovarianten Erhaltung des Energie-Impuls-Tensors; kurz: jedes Staubteilchen folgt einer Geodäte. Für einen Beweis siehe z.B. hier:
http://physicspages.com/pdf/Moore/Moore%20Problems%2022.01%20Box.pdf
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Zuletzt bearbeitet von TomS am 05. Sep 2018 23:15, insgesamt einmal bearbeitet |
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buli
Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 5
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| buli Verfasst am: 05. Sep 2018 22:15 Titel: |
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okay ich denke ich hab es soweit verstanden warum die Einführung dieses Begriffs überflüssig ist.
Ich habe aber noch eine weitere Frage:
Verstehe ich es richtig, dass die Trägheit in der ART angibt wie stark ein Objekt dazu bestrebt ist seiner Raum-Zeit-Geodäte zu folgen?
Und wenn ja, von welchen Größen ist die stärke der Trägheit in der ART abhängig ? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 05. Sep 2018 23:00 Titel: |
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| buli hat Folgendes geschrieben: | okay ich denke ich hab es soweit verstanden warum die Einführung dieses Begriffs überflüssig ist.
Ich habe aber noch eine weitere Frage:
Verstehe ich es richtig, dass die Trägheit in der ART angibt wie stark ein Objekt dazu bestrebt ist seiner Raum-Zeit-Geodäte zu folgen?
Und wenn ja, von welchen Größen ist die stärke der Trägheit in der ART abhängig ? |
Die Trägheit hat ihren Ursprung in der Masse, wobei in der ART träge und schwere Masse nicht nur numerisch sondern konzeptionell identisch sind.
Newton:
Einstein:
 = qf^\mu_\nu u^\nu )
Feldgleichungen ...
q bzw. f steht exemplarisch für die el. Ladung sowie eine Kraft elektromagn. Ursprungs; die Indizes t und s stehen für die träge bzw. schwere Masse; M steht für die gravitierende Masse als Quelle des Gravitationsfeldes; auf die Einsteinschen Feldgleichungen verzichte ich, sie enthalten jedenfalls keine Masse, sondern den Energie-Impuls-Tensor; aus diesem eine „Masse“ abzuleiten ist konzeptionell extrem schwierig, das ist in unserem Kontext aber auch nicht notwendig
Vergleicht man die Newtonsche Bewegungsgleichung sowie die Geodätengleichung, so fällt - abgesehen von den Unterschieden im Detail - auf, dass sie bzgl. der allgemeinen Struktur identisch sind - bis auf die Tatsache,
1) dass bei Newton zwei unterschiedliche Massen - nämlich die träge sowie die schwere Masse - auftreten, die theoretisch voneinander unabhängig sind, deren numerischen Werte lediglich experimentell übereinstimmen, ohne dass Newton dafür eine Erklärung hätte
2) dass bei Newton rechts die Gravitationskraft auftritt, wobei die schwere Masse hier die Rolle einer Ladung im Feld spielt, während bei Einstein links ein Term auftritt, der nicht als separater Kraftterm interpretiert werden kann, sondern der Bestandteil der Definition der Geodäte und damit rein geometrischen Ursprungs ist
Nach Einstein müssen träge und schwere Masse identisch sein, denn die Geodätengleichung folgt aus
wobei nur ein Term vorliegt und man mathematisch keine zwei unterschiedlichen Massenparameter einführen kann.
In beiden Theorien ist Masse also Ursache für das Beharrungsvermögen bzgl. Abweichungen von der geradlinig gleichförmigen bzw. geodätischen Bewegung.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 06. Sep 2018 18:46 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nach Einstein müssen träge und schwere Masse identisch sein |
Wie sind diese beiden Größen bei Einstein definiert? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 06. Sep 2018 18:49 Titel: |
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siehe oben die Geodätengleichung
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 06. Sep 2018 19:18 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | siehe oben die Geodätengleichung |
Da sehe ich keine Definition für die Masse - weder für die schwere noch für die träge. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2018 06:55 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Nach Einstein müssen träge und schwere Masse identisch sein |
Wie sind diese beiden Größen bei Einstein definiert? |
Zur Definition der trägen Masse:
| TomS hat Folgendes geschrieben: | | In beiden Theorien ist Masse also Ursache für das Beharrungsvermögen bzgl. Abweichungen von der geradlinig gleichförmigen bzw. geodätischen Bewegung. |
Die träge Masse wird also analog zu Newton definiert. Evtl. ist es aber sinnvoll, auf den Begriff der schweren Masse im Kontext der ART zunächst zu verzichten; man benötigt sie im relativistischen Kontext alleine nicht, es gibt nur eine Masse. Allerdings möchte man den Bezug zu Newton bzw. der post-Newtonschen Approximation wie z.B. für Periheldrehung haben. Hier taucht die schwere Masse dann als abgeleitetes Konzept wieder auf und ist trivialerweise identisch mit der Masse m aus der Geodätengleichung.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 07. Sep 2018 17:45 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Allerdings möchte man den Bezug zu Newton bzw. der post-Newtonschen Approximation wie z.B. für Periheldrehung haben. Hier taucht die schwere Masse dann als abgeleitetes Konzept wieder auf und ist trivialerweise identisch mit der Masse m aus der Geodätengleichung. |
Wie sieht dieses "abgeleitete Konzept" konkret aus? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 07. Sep 2018 18:31 Titel: |
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Nimm als Beispiel die Periheldrehung des Merkur.
Man setzt eine Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen voraus, z.B. die Schwarzschildmetrik. Dann setzt man für kleine Massen die o.g. Geodätengleichung (1) an, entwickelt in Potenzen von v/c, und formt die resultierenden Gleichungen so um, dass sie formal den Newtonschen Gleichungen plus Zusatztermen entsprechen (2).
In (1) steht m als einziger Parameter, wir können ihn mit der trägen Masse identifizieren. In (2) tritt m außerdem in einer Form auf, die der Newtonschen schweren Masse entspricht. Damit hat man gezeigt, dass letztere in einem speziellen Grenzfall aus der vollen Theorie hervorgeht.
Ich suche noch entsprechende Links oder Literatur.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 07. Sep 2018 19:16 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Damit hat man gezeigt, dass letztere in einem speziellen Grenzfall aus der vollen Theorie hervorgeht. |
Wenn es hier nur um diesen speziellen Grenzfall ginge, dann hätte als Antwort auf die ursprüngliche Frage die Auskunft genügt, dass die relativistische Masse bei hinreichend kleinen Geschwindigkeiten in die invariante Masse übergeht. Es geht hier aber offensichtlich um relativistische Bedingungen, unter denen dann auch träge und schwere Masse definiert werden müssen, wenn Aussagen wie die, dass "in der ART träge und schwere Masse nicht nur numerisch sondern konzeptionell identisch sind" in diesem Kontext einen konkreten Sinn haben sollen. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 08. Sep 2018 00:03 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | TomS hat Folgendes geschrieben: | | Damit hat man gezeigt, dass letztere in einem speziellen Grenzfall aus der vollen Theorie hervorgeht. |
... Es geht hier aber offensichtlich um relativistische Bedingungen, unter denen dann auch träge und schwere Masse definiert werden müssen ... |
Das hat nichts mit der relativistischen Masse zu tun; diese ist für die ART völlig irrelevant.
Es geht um die Geodätengleichung, in der der Parameter m die Rolle der trägen Masse spielt. Und es geht um Näherungen für die Geodätengleichung, in der der Parameter m die Rolle der schweren Masse spielt.
D.h. man muss träge Masse definieren, und stellt dann fest, dass die Definition im Wesentlichen zu der Newtonschen passt. Man muss schwere Masse nicht definieren, da es sich um ein abgeleitetes und m.E. nicht um ein fundamentales Konzept handelt.
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 08. Sep 2018 13:37 Titel: |
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Hier
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem_in_general_relativity
werden die Gleichungen für das relativistische Keplerproblem aus der Geodätengleichung in der Schwarzschildmetrik berechnet. Man erkennt, dass die Masse m zuletzt wie in der Newtonschen Mechanik sozusagen als “schwere Masse” erscheint. Ausgangspunkt war jedoch die Geodätengleichung, in der ausschließlich die träge Masse vorkommt.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 08. Sep 2018 18:48 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | Man erkennt, dass die Masse m zuletzt wie in der Newtonschen Mechanik sozusagen als “schwere Masse” erscheint. |
Soweit ich das sehe, wird das einfach so festgelegt. Der Term
wird als "Newtonian gravitational potential energy" bezeichnet. Das setzt aber voraus, dass die invariante Masse m identisch mit der schweren Masse ist. Wenn ich nichts übersehen habe, dann fehlt der Nachweis, dass diese Voraussetzung erfüllt ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18182
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| TomS Verfasst am: 08. Sep 2018 23:41 Titel: |
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| DrStupid hat Folgendes geschrieben: | | Das setzt aber voraus, dass die invariante Masse m identisch mit der schweren Masse ist. Wenn ich nichts übersehen habe, dann fehlt der Nachweis, dass diese Voraussetzung erfüllt ist. |
m ist einfach ein einziger und eindeutiger Parameter, die invariante bzw. Ruhemasse, die in der Geodätengleichung als träge und im Kontext des Keplerproblems als schwere Masse erscheint. Was soll es sonst sein? Du kannst die Herleitung in jedem Lehrbuch zur ART nachlesen, z.B. MTW, Kap. 5.
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DrStupid
Anmeldungsdatum: 07.10.2009
Beiträge: 5059
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| DrStupid Verfasst am: 09. Sep 2018 14:08 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | m ist einfach ein einziger und eindeutiger Parameter, die invariante bzw. Ruhemasse, die in der Geodätengleichung als träge und im Kontext des Keplerproblems als schwere Masse erscheint. Was soll es sonst sein? |
Die invariante Masse natürlich. Ich kann noch immer nicht erkennen, warum sie in der ART identisch mit der schweren Masse sein soll. Die Rechnung zeigt lediglich, dass schwere und träge Masse in der klassischen Mechanik innerhalb ihres Gültigkeitsbereiches gleich sind (was wenig überraschend ist). Das beantwortet weder die Frage des OP, in der es ausdrücklich um relativistische Bedingungen geht, noch rechtfertigt es die Aussage, dass "in der ART träge und schwere Masse nicht nur numerisch sondern konzeptionell identisch sind". Dazu muss erst einmal geklärt werden, was man in der ART unter träger und schwerer Masse versteht - und zwar in der gesamten ART und nicht nur in einem speziellen Grenzfall. |
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