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ObiAida
Anmeldungsdatum: 20.06.2018
Beiträge: 2
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 ObiAida Verfasst am: 20. Jun 2018 12:08 Titel: Längenänderung senkrecht aufgestellte Eisenstange |
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Meine Frage:
Hallo,
Ich sitze an folgender Aufgabe.
a)Berechnen Sie die Längenänderung einer senkrecht aufgestellten Eisenstange aufgrund ihres Gewichts.
b)Berechnen Sie die potentielle Energie dieser Verformung.
Gegeben habe ich die Länge, die Querschnittsfläche, die Dichte und das Elastizitätsmodul E.
Meine Ideen:
Ich denke, dass ich bei der Aufgabe a) Das Integral bezüglich der Länge bilden muss, da auf das unterste Teilelement der Stange ja ein anderes Gewicht wirkt, als auf das oberste. Allerdings komme ich nicht drauf, inwiefern ich das da bilden soll.
Bei der Aufgabe b) hätte ich die potentielle Energie so berechnet, wie es bei Federn üblich ist, sprich:
 , wobei  gilt. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 20. Jun 2018 13:07 Titel: |
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Hallo,
die Idee mit dem Integral ist doch schon mal richtig.
Du musst gedanklich die Stange in kleine Abschnitte unterteilen und für jeden kleinen Abschnitt die Dehnung berechnen.
Die Längenänderung der Stange ist dann die Dehnung über die Länge der Stange integriert.
Versuch doch mal, das Integral aufzustellen.
Gruß |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 20. Jun 2018 13:24 Titel: |
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Wollte gerade auf einen Post hier im Forum verweisen, wo die Längenänderung schön durchgerechnet wurde (siehe sonst Beitrag von ML hier), aber das solltest Du auch alleine hinbekommen.
Auch bei der Energie zuerst die Energie eines Elements ) an der Stelle x betrachten (aufzuwendende Arbeit = Kraft mal Weg), und dann über die Länge integrieren. |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 20. Jun 2018 13:56 Titel: |
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Hallo Myon,
bei der Energie muss man nicht unbedingt nochmal ein Intrgral lösen.
Man hat ja die Gesamtlängenänderung des Stabes schon berechnet. Da der Stab auch nur eine Feder ist mit Federkonstante EA/L, kann man die Energie auch direkt berechnen.
Gruß |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 20. Jun 2018 14:22 Titel: |
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@hansguckindieluft: täusche ich mich, aber da kommt doch nicht dasselbe heraus? Einmal etwas proportional zu L, mit dem Integrieren etwas proportional zu L^3. Es würde mich auch etwas wundern, denn die prozentuale Längenänderung nimmt ja nach unten zu.
Edit: die relative Änderung nimmt natürlich nach oben hin zu.
Zuletzt bearbeitet von Myon am 20. Jun 2018 16:00, insgesamt einmal bearbeitet |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 20. Jun 2018 14:38 Titel: |
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@Myon,
da könntest Du evenutell recht haben. Bin mir jetzt auch nicht mehr sicher. Muss ich heute Abend mal durchrechnen. In der Längenänderung ist ja das L auch schon im Quadrat enthalten, daher dachte ich, es könnte das selbe herauskommen.
Gruß |
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hansguckindieluft
Anmeldungsdatum: 23.12.2014
Beiträge: 1212
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| hansguckindieluft Verfasst am: 22. Jun 2018 11:56 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Einmal etwas proportional zu L, mit dem Integrieren etwas proportional zu L^3.. |
Hm, das kann ja nicht sein. Denn die Einheit muss ja beide male gleich sein (eine Energie eben). Da kann ja in einem Fall nicht ein L^3 und im anderen Fall ein L vorkommen.
Ich habe jetzt mal beide Versionen durchgerechnet. Die Ergebnisse unterscheiden sich im Vorfaktor. Einmal bekomme ich ein 1/4 und einmal ein 1/6 als Vorfaktor (wenn ich mich nicht noch irgendwo verrechnet habe).
Rein intuitiv ist mir aber noch nicht ganz klar, warum sich die Verformungsenergie ändert. Denn die Energie bei einer linearen Feder hängt ja linear vom Federweg ab. Bei Eigengewicht wird zwar der Stab weiter unten stärker gedehnt, dafür oben aber auch weniger, als wenn ich nur eine zentral angreifende Kraft hätte. Und insgesamt ist ja die Verformung gleich. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Jun 2018 14:41 Titel: |
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zu b)
Formänderungsarbeit bei Normalspannung:
)
)
)
^{2} )
Mit  aus a)
Zuletzt bearbeitet von Mathefix am 22. Jun 2018 15:49, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 22. Jun 2018 15:16 Titel: |
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| hansguckindieluft hat Folgendes geschrieben: | | Myon hat Folgendes geschrieben: | | Einmal etwas proportional zu L, mit dem Integrieren etwas proportional zu L^3.. |
Hm, das kann ja nicht sein. Denn die Einheit muss ja beide male gleich sein (eine Energie eben). Da kann ja in einem Fall nicht ein L^3 und im anderen Fall ein L vorkommen. |
Stimmt, sorry. Die Energie ist beides mal proportional zu L^3. Du hast weiter oben geschrieben, die Federkonstante sei EA/L, und ich hatte die Längenänderung ohne viel zu Überlegen damit multipliziert.
| Zitat: | | Ich habe jetzt mal beide Versionen durchgerechnet. Die Ergebnisse unterscheiden sich im Vorfaktor. Einmal bekomme ich ein 1/4 und einmal ein 1/6 als Vorfaktor (wenn ich mich nicht noch irgendwo verrechnet habe). |
Ich erhalte als Vorfaktor 1/3:
=F(x)\frac{1}{E}\sigma dx=A(L-x)^2\rho^2g^2\frac{1}{E}dx)
^2\rho^2g^2\frac{1}{E}dx=A(L^3+\frac{1}{3}L^3-L^3)\rho^2g^2\frac{1}{E}=\frac{A\rho^2g^2L^3}{3E})
Zuletzt bearbeitet von Myon am 22. Jun 2018 15:44, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Jun 2018 15:40 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Einmal etwas proportional zu L, mit dem Integrieren etwas proportional zu L^3.. |
^2\rho^2g^2\frac{1}{E}dx=(L^3+\frac{1}{3}L^3-L^3)\rho^2g^2\frac{1}{E}=\frac{L^3\rho^2g^2}{3E})
Ist die Einheit korrekt?
Mein Ergebnis:
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 22. Jun 2018 15:47 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | ...Ist die Einheit korrekt? |
Ja, ich hatte einen Faktor A „vergessen“... Jetzt sollte es einheitenmässig aufgehen. Was den Vorfaktor betrifft, schon möglich, dass da ein Fehler ist. Wie kommst Du auf 1/8? |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Jun 2018 15:51 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | | ...Ist die Einheit korrekt? |
Ja, ich hatte einen Faktor A „vergessen“... Jetzt sollte es einheitenmässig aufgehen. Was den Vorfaktor betrifft, schon möglich, dass da ein Fehler ist. Wie kommst Du auf 1/8? |
Wg. Vorfaktor schau Dir bitte meine Herleitung an. |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5888
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| Myon Verfasst am: 22. Jun 2018 16:03 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Du musst die Energie berechnen, die in der Längenänderung eines kleinen Elements mit der Länge dx steckt. Die Längenänderung eines solchen Elements ist  . Dann nicht von 0 bis integrieren, sondern über die ganze Länge. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 22. Jun 2018 16:18 Titel: |
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| Myon hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: | |
Du musst die Energie berechnen, die in der Längenänderung eines kleinen Elements mit der Länge dx steckt. Die Längenänderung eines solchen Elements ist . Dann nicht von 0 bis integrieren, sondern über die ganze Länge. |
Alles klar. Danke! |
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Azkaenion
Anmeldungsdatum: 21.06.2020
Beiträge: 301
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| Azkaenion Verfasst am: 09. Dez 2020 21:34 Titel: |
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Von den Formeln verstehe ich leider nichts.
was kommt den dabei heraus?
In cm, mm oder wie auch immer?
Die Verformung müßte ja rein elastisch sein. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5868
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 10. Dez 2020 08:44 Titel: |
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| Azkaenion hat Folgendes geschrieben: | Von den Formeln verstehe ich leider nichts.
was kommt den dabei heraus?
In cm, mm oder wie auch immer?
Die Verformung müßte ja rein elastisch sein. |
Setz doch einfach die gegebenen Werte in die Formel ein |
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Azkaenion
Anmeldungsdatum: 21.06.2020
Beiträge: 301
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| Azkaenion Verfasst am: 10. Dez 2020 09:22 Titel: |
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Das würde ich gerne, kenne aber teilweise nicht einmal die Formelzeichen.
Mich würde einfach interessieren von welchen Größenordnungen man hier spricht.
Viel kann es ja nicht sein.
Als Beispiel: Durch die Belastung / Eigengewicht verkürzt sich die Stange.
Das ist eine elastische Verformung die nach Ende der Belastung völlig reversibel ist
Der unterste Teil der Stange, also die Stellfläche zwischen Stange und Boden, müßte sich ja dann vomumenmäßig vergrößern.
Aber halt nicht so, das es für das menschliche Auge sichtbar ist.
Nur, redet man hier von Nanometern, oder 1 - 10 Mikrometern.
Als Beispiel:
Eine Skulptur ist lackiert.
Die Lackdicke beträgt 100 Mikrometer.
In diesem Beispiel würde sich unten an den Füssen der Skulptur durch die Stauchung die Dicke der Farbschicht vergrößern.
Was aber nicht passiert, da diese Verkürzung, gleichzeitig in einer Volumenzunahme resultiert.
Also bleibt die Farbdicke überall gleich.
Würde ich die Statue hingegen aufblasen können, also reine Volumenzunahme, dann wäre die Schicht inrgendwann so gestreckt, das das unlackierte Grundmaterial durch kommen würde.
Da ja vieles beschichtet, Nitriert, verchromt etc. ist, kann diese Veränderung wenn Gegenstände, Anlagenteile usw. abgestellt werden, aber keine Rolle spielen.
Und wegen diesen Überlegungen würde mich interessieren, von welchen Größenordnungen man hier spricht. |
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