Massenpunkt auf senkrecht stehendem Halbkreis

HoSp · Anmeldungsdatum: 03.02.2024 Beiträge: 3

Meine Frage:

Folgende Aufgabe aus einem Lehrbuch der theoretischen Physik:

Ein Massenpunkt, der sich im homogenen Schwerefeld

auf der Kreisscheibe

bei

in Ruhe befindet (labiles Gleichgewicht), gleite ab der Zeit

auf dem Kreisumfang abwärts. Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen erster Art den Winkel, bei dem sich der Massenpunkt vom Kreis ablöst!

Meine Ideen:

Der Ausgangspunkt ist die allgemeine Bewegungsgleichung für die Masse m am Ort

unter dem Einfluß der Schwerkraft

und einer Zusatzkraft

,

wobei die Zusatzkraft gegeben ist durch

mit

als Zwangsbedingung.

ist der Lagrange-Multiplikator.

Für die beiden Komponenten x und z ergeben sich demnach folgende Gleichungen

und

Die Komponente y spielt keine Rolle:

Zweimalige Differentiation der Gleichung für die Zwangsbedingung nach der Zeit ergibt

und mit

und

aus den Bewegungsgleichungen ergibt sich

Nun ist

die Geschwindigkeit des Massenpunktes an der Stelle x,z auf der Kreisscheibe und

= const. der konstante Radius.

Also gilt

.

Zum Zeitpunkt

ruht der Punkt

noch oben auf der Kreisscheibe bei

, woraus sich der Lagrangemultiplikator zu

ergibt.

Mit Beginn der Abwärtsbewegung des Massenpunkts verringert sich z, während dessen die Geschwindigkeit v zunimmt.

Der Massenpunkt bleibt solange auf der Kreisscheibe, solange die Zentripetalkraft

, die senkrecht auf die Kreisscheibe in radialer Richtung nach innen wirkt, größer ist als die Zentrifugalkraft

, die in entgegengesetzter Richtung nach außen wirkt.

Daraus folgt

.

Laut Aufgabenstellung soll der "Ablösewinkel"

mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen erster Art berechnet werden. Ich benötige hierfür aber die Geschwindigkeit

an der "Ablösestelle".

Ohne den Energiesatz komme ich hier aber nicht weiter:

, woraus sich

ergibt.

Aus

ergibt sich schließlich der "Ablösewinkel" zu

und damit

.

Hat jemand eine Idee, ob und wenn ja, wie man hier auch ohne den Energiesatz die Lösung findet?