Massenpunkt gleitet reibungsfrei auf einer unbeweglichen Kug

Gizmo · Anmeldungsdatum: 28.11.2010 Beiträge: 3

Meine Frage:
Nen schönen Guten Abend wünsche ich,

Ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:

Ein Massenpunkt der Masse m gleitet reibungsfrei auf einer großen unbeweglichen Kugel mit Radius R. Seine Anfangsgeschwindgkeit am höchsten Punkt sei null.
a) Bei welchem Winkel

springt der Massenpunkt von der Kugel ab?
b) Wie groß ist der horizontale Abstand

des Aufschlagpunktes vom Kugelmittelpunkt?

Ich hoffe man kann sich einigermaßen vorstellen um was es hierbei geht.

Meine Ideen:
Klar ist, dass die Zentripetalkraft verschwindet, wenn der MP die Kugel verlässt. Also die Radialkomponente der Gesamtkraft, mit der der MP auf die Kugel geprässt wird gleich null ist. Ich habe dann versucht mir klar zu machen, welche Kräfte denn wirken. Natürlich die Gewichtskraft und eine Kraft die tangential zur Kugel liegt, oder? Dann wollte ich die Zentripetalkraft mit Hilfe dieser beiden anderen Kräfte ausdrücken, die Zentripetalkraft gleich null setzen und dann nach

umformen. Aber mir fehlt jegliche Idee eine Beziehung zwischen den wirkenden Kräften und dem Winkel

herzuleiten.
Eine zweite Idee wäre noch die Bewegungsgleichung zu betrachten in dem Moment in dem der MP die Kugel verlässt:

In ebenen Polarkoordinaten:

Mit dem Ansatz, dass die Zentripetalbeschl. gleich null ist folgt:

und außerdem gilt

und daraus ergibt sich ein System von zwei DGLen:

Beim Versuch diese zu lösen scheitere ich allerdings, ist vermutlich auch viel zu kompliziert, geht bestimmt sehr viel einfacher und schneller. Wäre um einen Denkanstoß froh =)

Liebe Grüße
Gizmo

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Diese Uraltfrage ging schon oft durch die Foren; vielleicht mal suchen (zum Bleistift oben mit "Massepunkt Kugel" / beide.) Ansonsten erstmal Skizze!
Die Idee zum Ablösepunkt: An welcher Stelle heben sich die Normalkomponente der Schwerkraft (nach innen quasi) und die Zentrifugalkraft (nach außen) gerade auf? (Resultierende Normalkraft = 0.) Die Geschwindigkeit für F_z ergibt sich aus dem Energieerhalt.

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Die Frage ist in der Tat schon oft gestellt worden. Ich habe innerhalb von ein paar Sekunden eine "Inspirationsquelle" gefunden:

http://www.wer-weiss-was.de/theme50/article1000852.html

Ist noch nicht ganz fertig und ich habe es auch noch nicht durchgeguckt, aber so findet man oft einen Anfang.

Gizmo · Anmeldungsdatum: 28.11.2010 Beiträge: 3

Danke für eure Hinweise.
Ich stand glaube ich einfach nur auf dem Schlauch. Habe den ersten Teil der Aufgabe jetzt recht schnell gelöst.
Beim zweiten Teil muss man ja einen schiefen Wurf betrachten. Über die Berechnungen aus Teil eins weiß man in welcher Höhe h der MP die Kugeloberfläche verlässt. Daraus kann man nun die Fallzeit berechnen. Diese nun in die Bewegungsgleichung in x-Richtung einsetzen und dann noch mit

addieren (das ist die Strecke parallel zur Unterlage, welche der MP zurückgelegt hat bis er abfliegt, da ja der Abstand D zum Mittelpunkt der Kugel gefragt war) und man erhält das gewünschte Ergebnis.
Nur erhalte ich nicht das Ergebnis, was ich in der Lösung vor mir liegen habe Big Laugh

Meine Zwischenergebnisse:

Denke bis dahin müsste alles passen.

dann hab ich:

und dann noch addiert mit

Aber dann komme ich auf ein Ergebnis von D=2,04 und nicht auf 1,46 wie es in der Lösung steht
Kann mir jemand meinen Denkfehler sagen?

Liebe Grüße
Gizmo

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519