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Massenpunkt mit gegebener Lagrangefunktion
 
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doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 17. Jan 2017 20:11    Titel: Massenpunkt mit gegebener Lagrangefunktion Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo, mal wieder das TP-Übungsblatt. Diesmal hab ich aber schon eher angefangen Big Laugh

Zu Lösen ist die Aufgabe 11.1

Gegeben ist die Lagrangefunktion eines Massenpunktes, wir sollen:
1) die Euler-Lagrange-Gleichung aufstellen und sagen, welche Kraft auf den Massenpunkt wirkt und wie sie zu interpretieren wäre, wenn der Massenpunkt ein Ladungsträger wäre
2) kanonisch konjugierte Impulse berechnen, Zusammenhang mit dem "üblichen" Impuls aufzeigen
3) Symmetrien zur Lagrangefunktion finden und die Erhaltungsgrößen bestimmen
4) Hamiltonfunktion berechnen, die Hamiltongleichungen angeben und zeigen, dass sie äquivalent zur Euler-Lagrange-Gleichung sind

Meine Ideen:
1) Für die Euler-Lagrange-Gl. habe ich folgendes Endergebnis bekommen:




Bei der Kraft hatte ich erst gedacht, es könnte sich um die Reibungskraft durch ein umströmendes Medium handeln.
Allerdings finde ich es etwas seltsam, dass die Komponenten der Geschwindigkeit genau "vertauscht" sind, also die Beschleunigung in x-Richtung von der Geschwindigkeit in y-Richtung abhängt, und umgekehrt. Ich habe schon gefühlte zehnmal neu angefangen und komme immer wieder auf diese Gleichung.

Bei dem Massenpunkt als Ladungsträgerhatte ich wegen der Geschwindigkeit die Lorentzkraft im Sinne, bin da jedoch auch sehr unsicher, weil die Beschleunigung dann doch eigentlich senkrecht zur Bewegungsrichtung und nicht parallel bzw. antiparallel erfolgen sollte.

2) ;
Ich verstehe nicht ganz, wie das mit dem Zusammenhang gemeint ist. Ich würde jetzt einfach daraus schließen, dass es eine Abbildung geben muss


3) Habe ich wegen der Unklarheit zur ersten Teilaufgabe noch nicht begonnen, aber bei Einwirkung einer reibungskraft dürfte der Gesamtimpuls doch wohl nicht zu den Erhaltungsgrößen zählen oder?

ich bin auch über die Herangehensweise nicht ganz sicher: Wie finde ich eine solche Symmetrie zu einer gegebenen Lagrange-Funktion?

4) Leider auch noch nicht begonnen, bis auf den Beweis der Äquivalenz denke ich aber, dass ich weiß, was zu tun ist



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doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 19:47    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe nochmal nachgedacht.

Der Beschleunigungsvektor steht - sofern mir kein Fehler unterlaufen ist - senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor.

Könnte es sich also um die Radialkraft handeln?
Die Lorentzkraft wäre damit zumindest wieder im Spiel.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2017 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

doeka hat Folgendes geschrieben:

Der Beschleunigungsvektor steht - sofern mir kein Fehler unterlaufen ist - senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor.

Korrekt.
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 20:06    Titel: Antworten mit Zitat

so mittlerweile ist auch die Hamiltonfunktion fertig:

jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2017 20:14    Titel: Antworten mit Zitat

Die Hamiltonfunktion ist eine Funktion von und , nicht und .
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 18. Jan 2017 20:16    Titel: Antworten mit Zitat

gelöscht ...

Zuletzt bearbeitet von franz am 18. Jan 2017 20:26, insgesamt einmal bearbeitet
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 20:22    Titel: Antworten mit Zitat

das mit der Hamiltonfunktion weiß ich im Grunde, aber unser Prof hat die Hamiltongleichungen auch so komisch aufgeschrieben, also nach Komponenten unterteilt.

Und die Komponenten des Ortsvektors fallen bei mir komplett raus.

Richtigerweise müsste ich die Hamiltonfunktion dann wohl so aufschreiben



Hat das so hin?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2017 20:26    Titel: Antworten mit Zitat

doeka hat Folgendes geschrieben:
das mit der Hamiltonfunktion weiß ich im Grunde, aber unser Prof hat die Hamiltongleichungen auch so komisch aufgeschrieben, also nach Komponenten unterteilt.
Es geht nicht darum, ob Du das in Komponenten aufschreibst oder nicht, sondern darum, dass die Impulse da auftauchen muessen und nicht die Geschwindigkeiten.
Zitat:

Richtigerweise müsste ich die Hamiltonfunktion dann wohl so aufschreiben

Hat das so hin?

Nein, das ist nicht die Hamilton-Funktion für Deine Aufgabe, setz doch mal die von Dir errechneten Impuls da ein, dann siehst Du es.
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 20:33    Titel: Antworten mit Zitat

das war ein Missverständnis - ist aber meine Schuld: ich hab nämlich dummerweise mit

die "richtigen" Impulse, also nicht die kanonisch konjugierten eingesetzt. Das war blöd.

Also nochmal



mit

Stimmt es jetzt?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2017 20:35    Titel: Antworten mit Zitat

Sieht gut aus.
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 20:40    Titel: Antworten mit Zitat

hach supi smile


Das mit den Hamiltongleichungen bekomm ich hin.

Aber kannst du mir helfen, Symmetrien zu der Lagrangefunktion zu finden?
Das Hauptproblem ist wahrscheinlich, dass ich die Definition einer Symmetrie gar nicht so richtig geschnallt hab.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2017 20:45    Titel: Antworten mit Zitat

Versuch mal die Lagangefunktion nicht in Komponenten sondern mit den Vektoren und zu schreiben... dann sieht man es leichter.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 18. Jan 2017 20:52    Titel: Antworten mit Zitat

Vielleicht auch in Polarkoordinaten?
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 20:56    Titel: Antworten mit Zitat

okay, ich schreib das erstmal auf



definiert wie zuvor
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. Jan 2017 21:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ich seh da kein ...
(franzs Tipp war auch gut)
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 21:36    Titel: Antworten mit Zitat

ja das q bereitet mir noch Probleme.

darf ich einfach

schreiben?
Aber dann müsste ich bestimmt auch angeben, wie die Abbildung genau aussieht.
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. Jan 2017 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

okay, nun hab ich das mal in Polarkoordinaten versucht, also



Die Lagrangefunktion, die hoffentlich stimmt:




hmmm... ich werd das Gefühl nicht los, dass da was nicht hinhaut
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 19. Jan 2017 11:24    Titel: Antworten mit Zitat

doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 19. Jan 2017 18:43    Titel: Antworten mit Zitat

hach ja, ab 'ner bestimmten Uhrzeit sollte man wohl einfach aufhören...peinlich, peinlich...

Ich setz mich nochmal dran.
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 19. Jan 2017 20:07    Titel: Antworten mit Zitat

So geht halt Physik: Man muß wieder aufstehen.
Und da helfen keine zehn Nobelpreismedaillen auf dem Klo.
Thumbs up!
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 20. Jan 2017 17:33    Titel: Antworten mit Zitat

An sich wäre das sehr motivierend, wenn der Fehler nicht so blöd und peinlich gewesen wäre^^

Tut mir sehr leid, ich bin gestern nicht mehr dazu gekommen.
Hoffentlich ist es diesmal richtig

franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 20. Jan 2017 23:23    Titel: Antworten mit Zitat

Das Vorzeichen vor dem -Term würde ich nochmal prüfen.

Es soll es einen Schleifer bei der russischen Infanterie gegeben haben (1941?):
Was ihr bei bei mir jetzt an Schweiß vergießt, werdet ihr später an Blut sparen.
smile
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 21. Jan 2017 00:24    Titel: Antworten mit Zitat

jup, da muss ein Minus hin.
und mir ist grad glaub ich noch was aufgefallen



nun müsste es doch hinkommen. Danke für deine unendliche Geduld smile
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 21. Jan 2017 00:25    Titel: Antworten mit Zitat

Thumbs up!
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 21. Jan 2017 00:28    Titel: Antworten mit Zitat

Jippie!

Leider weiß ich noch nicht wie das mit den Symmetrien funktioniert, bzw. hab ich die Definition nicht verstanden.

Könntest du mir erklären, was eine Symmetrie ist?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 21. Jan 2017 00:40    Titel: Antworten mit Zitat

Welche (zyklische) Variable q kommt in L nicht vor? Was sagt die entsprechende DGL?
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 21. Jan 2017 20:04    Titel: Antworten mit Zitat

oha, da musste ich erstmal schauen, was eine zyklische Koordinate ist Big Laugh

ich bin nicht sicher, ob ich verstanden habe, worauf du hinausmöchtest, aber was in L nicht vorkommt ist

dementsprechend ist

also wenn ich das richtig verstanden habe, ist eine zyklische Variable eine, von der L nicht abhängt.

Ist das die richtige Richtung, oder hattest du was anderes im Sinn?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Jan 2017 20:06    Titel: Antworten mit Zitat

Richtig:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Formalismus#Zyklische_Variablen_und_Symmetrie
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 21. Jan 2017 20:11    Titel: Antworten mit Zitat

sind Symmetrien also Transformationen dieser Variablen, die die Lagrange-Funktion unverändert lassen?
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 21. Jan 2017 22:05    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo doeka,
hast Du die Variable q gefunden, die in L nicht auftaucht, also und damit auch die Konsequenz für

Wenn nicht: bitte mal im Vorlesungsskript, irgendeinem Mechanikbuch oder im internet nachgucken. Selbst bei meinen ein oder zwei Physikbüchern findet sich das Thema in Dutzenden Schwarten.
Kleiner Tip, nur unter uns: Flächengeschwindigkeit / Kepler ... smile
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 21. Jan 2017 22:21    Titel: Antworten mit Zitat

ähm... naja ich dachte wärs gewesen.

nun gut, ich schau mal was so in meinen Büchern rumschwirrt.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Jan 2017 00:22    Titel: Antworten mit Zitat

doeka hat Folgendes geschrieben:
sind Symmetrien also Transformationen dieser Variablen, die die Lagrange-Funktion unverändert lassen?
ja. Da steht ja sogar ein Beispiel in dem Link...
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. März 2017 14:58    Titel: Antworten mit Zitat

Ich weiß, das ist jetzt schon eine Weile her, aaaaaber...

1. Fühl ich mich immernoch schlecht, weil ich auf den letzten Beitrag nicht mehr geantwortet habe,
2. Bin ich mir gerade nicht mehr so sicher, ob ich das wirklich richtig verstanden habe mit der Symmetrie.

Also, nach meinem Verständnis:

Die zyklische Variable kommt in der Lagrange-Fktn. nicht vor, die Fkt. ist daher von ihr nicht abhängig, und wird durch eine Transformation, die nur die zyklische Variable betrifft, nicht verändert.
So eine Transformation ist dann also eine Symmetrie?

In diesem Beispiel wäre die zyklische Variable, demnach würde eine Rotation des Bezugssystems die Lagrange-Fkn. nicht verändern. Also ist das Problem rotationssymmetrisch.

Habe ich das diesmal alles richtig verstanden?

Ps.: Tut mir leid jh8979, aber ich komme mit den meisten wikipedia-Artikeln irgendwie einfach nicht zurecht, ich habe keine Ahnung, woran das liegt.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8061

Beitrag jh8979 Verfasst am: 18. März 2017 15:19    Titel: Antworten mit Zitat

doeka hat Folgendes geschrieben:

Die zyklische Variable kommt in der Lagrange-Fktn. nicht vor, die Fkt. ist daher von ihr nicht abhängig, und wird durch eine Transformation, die nur die zyklische Variable betrifft, nicht verändert.
So eine Transformation ist dann also eine Symmetrie?

In diesem Beispiel wäre die zyklische Variable, demnach würde eine Rotation des Bezugssystems die Lagrange-Fkn. nicht verändern. Also ist das Problem rotationssymmetrisch.

Habe ich das diesmal alles richtig verstanden?

Genau. Das ist richtig.
doeka



Anmeldungsdatum: 10.11.2016
Beiträge: 58

Beitrag doeka Verfasst am: 18. März 2017 16:37    Titel: Antworten mit Zitat

Toll, ein herzliches Dankeschön an alle Helfer smile
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