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Lagrangefunktion - Gewicht am Seil
 
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merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 17:17    Titel: Lagrangefunktion - Gewicht am Seil Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte die Lagrange-Funktion zu folgendem Problem aufstellen. Außerdem soll die L-Funktion nur von einer generalisierten Koordinate abhängen:

http://i.imgur.com/yE6pjCH.jpg?1

Zu der kinetischen Energie des Gewichts kommt außerdem noch die kinetische Energie hinzu.


Meine Ideen:
Die Rotationsachse der Kugel lege ich in z-Richtung. Das Seil velräuft parallel zur y-Achse.
Also wäre die potentielle Energie des Gewichtes:
U = m g y

Da die Rotationsenergie den Winkel enthält und die Aufgabe fordert, dass allein eine generalisierte Koordiante eingeführt wird, würde ich des Gewichts irgendwie über den Winkel ausdrücken.
Weiß aber nicht wie....

Danke!
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. Feb 2016 17:28    Titel: Antworten mit Zitat

Eine andere Möglichkeit wäre die Höhe.
Vielleicht aber erstmal den Kugelradius r (über m und J).
Duncan
Gast





Beitrag Duncan Verfasst am: 06. Feb 2016 17:32    Titel: Re: Lagrangefunktion - Gewicht am Seil Antworten mit Zitat

merlot0001 hat Folgendes geschrieben:



Allein schon die Betrachtung der Einheiten zeigt, dass diese Gleichung keinen Sinn ergibt.
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 17:33    Titel: Antworten mit Zitat

Das verstehe ich nicht..

Der Kugelradius wird konstant sein.

Und ich will die Lagrange-Funktion zu diesem System aufstellen.



Und diese Lagrange-Funktion soll durch eine einzige generalisierte Koordinate ausgedrückt werden!
Ich hätte aber für die Masse m sowas wie gewählt...
Und wie ich y über den Winkel (falls das überhaupt die generalisierte Koordinate sein soll) ausdrucken soll, ist mir schleierhaft.

Hättest du Lust deine Idee etwas auszuführen? Vielen Dank
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Es steht nichts näher dabei; aber ich denke, dass es die Winkelgeschwindigkeit ist.


Also passt das schon so..
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 17:39    Titel: Antworten mit Zitat

Hier nochmal die Aufgabe inklusive Aufgabenteile:
i.imgur.com/HflSCRa.jpg
franz



Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11573

Beitrag franz Verfasst am: 06. Feb 2016 17:43    Titel: Antworten mit Zitat

Für den Zusammenhang zwischen Höhe und Drehwinkel benötigst Du den Kugelradius r = r(m,J).
Duncan
Gast





Beitrag Duncan Verfasst am: 06. Feb 2016 17:58    Titel: Antworten mit Zitat

merlot0001 hat Folgendes geschrieben:

Also passt das schon so..


Ja das ist richtig.
Aber ist dann aber kein Winkel, wie behauptet.
ist die Winkelgeschwindigkeit!

Üblich ist es, sie mit zu bezeichnen.
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

@Duncan: Sorry, die Kopie ist leider etwas schlecht; evtl. steht dort auch sowas wie . Kann es leider nicht sehen

@franz: Kugel:

Aber wie soll ich denn so die Höhe des Gewichtes über den KUGELRADIUS r bestimmen und dessen Drehwinkel?
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 18:10    Titel: Antworten mit Zitat



Das Stück "y" das hinzukommt, ist genau die Länge des Kreisbogens b.



Also


somit wäre der Ortsvektor des MP

Macht das.. Sinn...?
Duncan
Gast





Beitrag Duncan Verfasst am: 06. Feb 2016 18:13    Titel: Antworten mit Zitat

Du musst zuerst festlegen, was deine generalisierte Koordinate ist.
Es bietet sich an
entweder x, der Weg, den das Gewicht zurücklegt
oder , der Winkel um den sich die Kugel dreht.

Dann stellst du kinetische und potentielle Energie als Funktion dieser Koordinate auf.
Duncan
Gast





Beitrag Duncan Verfasst am: 06. Feb 2016 18:16    Titel: Antworten mit Zitat

merlot0001 hat Folgendes geschrieben:

Macht das.. Sinn...?


Nein.
ist doch die Winkelgeschwindigkeit.
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 18:20    Titel: Antworten mit Zitat

dann revidiere ich das von vorhin und definiere es jetzt so




Macht es dann so Sinn?
L würde dann nur noch von $\Phi$ bzw. $\dot{\Phi}$ abhängen
Duncan
Gast





Beitrag Duncan Verfasst am: 06. Feb 2016 18:38    Titel: Antworten mit Zitat

merlot0001 hat Folgendes geschrieben:


Macht es dann so Sinn?
L würde dann nur noch von $\Phi$ bzw. $\dot{\Phi}$ abhängen


Also für mich ergibt dies keinen Sinn.
Was ist L ?
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 18:56    Titel: Antworten mit Zitat



L soll die Lagrange-Funktion sein.

Hierbei ist T die kinetische Energie und U die potentielle Energie!

Könntest Du mir den Term für die kinetische Energie T aufschreiben? Du würdest mir damit wirklich gewaltig helfen. Da ich nicht weiß, wie ich dieses Problem soll.
Und danke auch, dass du wirklich jeden Fehler einzeln kommentierst und ihn mich korrigieren lässt. Nur so werde ich es wirklich lernen. Diese Hilfsbereitschaft ist nicht selbstverständlich.
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 19:04    Titel: Antworten mit Zitat

Ups! Wahrscheinlich zu ungenau :-).
Den Term für die kinetische Energie auf diese Aufgabe bezogen (s. 1. Posting bzw. weiter unten ein zweiter Upload der Aufgabenstellung).
Des Weiteren sollte die Funktion L (s. Posting 06. Feb 2016 18:56) nur von einer generalisierten Koordinate abhängen.
Wenn ich die Potentielle Energie U so definiere
(Ja, ich weiß: Ich habe es vorhin anders definiert, aber ab diesem Posting(!) liegt die x-Achse parallel zum Seil und zeigt in Richtung Gewicht m. Grund: Aufgabenteil c) suggeriert mir, dass es sich so ohne Änderung der Achsen weiterrechnen ließe.)

Du und franz hatten angedeutet, dass man das ganze Probleme auch über die generalisierte Koordinate "x" ausdrücken kann. Wie sähe die Funktion L (L=Lagrange-Fkt.) dann aus?
Duncan
Gast





Beitrag Duncan Verfasst am: 06. Feb 2016 19:27    Titel: Antworten mit Zitat

Gewählte Koordinate = x, der Weg, den das Gewicht zurücklegt.
(positiv nach unten).

dann ist
Gewicht:




Kugel:
U = 0


wobei

r ist ja bekannt (Kugelradius)
merlot0001
Gast





Beitrag merlot0001 Verfasst am: 06. Feb 2016 19:43    Titel: Antworten mit Zitat

Habe in einem Lehrbuch eine vergleichbare Aufgabe gefunden.
Mit der Zwangsbedingung kommt man schnell zur Lösung.
Damit folgt
Das eingesetzt in die Rotationsenergie liefert:




und

Danke für deine Mühe Duncan.. und.. ach, vergiss es.

btw: "Mal-Punkt": $\cdot$
oder: Leertaste "\," bzw. (größere) "\;"
(diese Trennungen mit . sehen ja doch etwas verwirrend aus - ich wusste anfangs überhaupt nicht, was du meinst Hammer)
Und wieso jetzt plötzlich ? Ist das ein anderer Winkel? Aber ich bin (mit normalem Menschenverstand) davon ausgegangen, dass du meintest! Einfach krass... diese... Transferleistung....
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