Lagrangefunktion - Gewicht am Seil

merlot0001 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte die Lagrange-Funktion zu folgendem Problem aufstellen. Außerdem soll die L-Funktion nur von einer generalisierten Koordinate abhängen:

http://i.imgur.com/yE6pjCH.jpg?1

Zu der kinetischen Energie des Gewichts kommt außerdem noch die kinetische Energie

hinzu.

Meine Ideen:
Die Rotationsachse der Kugel lege ich in z-Richtung. Das Seil velräuft parallel zur y-Achse.
Also wäre die potentielle Energie des Gewichtes:
U = m g y

Da die Rotationsenergie den Winkel

enthält und die Aufgabe fordert, dass allein eine generalisierte Koordiante eingeführt wird, würde ich

des Gewichts irgendwie über den Winkel

ausdrücken.
Weiß aber nicht wie....

Danke!

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Eine andere Möglichkeit wäre die Höhe.
Vielleicht aber erstmal den Kugelradius r (über m und J).

Duncan · Gast

merlot0001 · Gast

Das verstehe ich nicht..

Der Kugelradius wird konstant sein.

Und ich will die Lagrange-Funktion zu diesem System aufstellen.

Und diese Lagrange-Funktion soll durch eine einzige generalisierte Koordinate ausgedrückt werden!
Ich hätte aber für die Masse m sowas wie

gewählt...
Und wie ich y über den Winkel (falls das überhaupt die generalisierte Koordinate sein soll) ausdrucken soll, ist mir schleierhaft.

Hättest du Lust deine Idee etwas auszuführen? Vielen Dank

merlot0001 · Gast

Es steht nichts näher dabei; aber ich denke, dass es die Winkelgeschwindigkeit ist.

Also passt das schon so..

merlot0001 · Gast

Hier nochmal die Aufgabe inklusive Aufgabenteile:
i.imgur.com/HflSCRa.jpg

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Für den Zusammenhang zwischen Höhe und Drehwinkel benötigst Du den Kugelradius r = r(m,J).

Duncan · Gast

merlot0001 · Gast

@Duncan: Sorry, die Kopie ist leider etwas schlecht; evtl. steht dort auch sowas wie

. Kann es leider nicht sehen

@franz: Kugel:

Aber wie soll ich denn so die Höhe des Gewichtes über den KUGELRADIUS r bestimmen und dessen Drehwinkel?

merlot0001 · Gast

Das Stück "y" das hinzukommt, ist genau die Länge des Kreisbogens b.

Also

somit wäre der Ortsvektor des MP

Macht das.. Sinn...?

Duncan · Gast

Du musst zuerst festlegen, was deine generalisierte Koordinate ist.
Es bietet sich an
entweder x, der Weg, den das Gewicht zurücklegt
oder

, der Winkel um den sich die Kugel dreht.

Dann stellst du kinetische und potentielle Energie als Funktion dieser Koordinate auf.

Duncan · Gast

merlot0001 · Gast

dann revidiere ich das von vorhin und definiere es jetzt so

Macht es dann so Sinn?
L würde dann nur noch von $\Phi$ bzw. $\dot{\Phi}$ abhängen

Duncan · Gast

merlot0001 · Gast

L soll die Lagrange-Funktion sein.

Hierbei ist T die kinetische Energie und U die potentielle Energie!

Könntest Du mir den Term für die kinetische Energie T aufschreiben? Du würdest mir damit wirklich gewaltig helfen. Da ich nicht weiß, wie ich dieses Problem soll.
Und danke auch, dass du wirklich jeden Fehler einzeln kommentierst und ihn mich korrigieren lässt. Nur so werde ich es wirklich lernen. Diese Hilfsbereitschaft ist nicht selbstverständlich.

merlot0001 · Gast

Ups! Wahrscheinlich zu ungenau :-).
Den Term für die kinetische Energie auf diese Aufgabe bezogen (s. 1. Posting bzw. weiter unten ein zweiter Upload der Aufgabenstellung).
Des Weiteren sollte die Funktion L (s. Posting 06. Feb 2016 18:56) nur von einer generalisierten Koordinate abhängen.
Wenn ich die Potentielle Energie U so definiere

(Ja, ich weiß: Ich habe es vorhin anders definiert, aber ab diesem Posting(!) liegt die x-Achse parallel zum Seil und zeigt in Richtung Gewicht m. Grund: Aufgabenteil c) suggeriert mir, dass es sich so ohne Änderung der Achsen weiterrechnen ließe.)

Du und franz hatten angedeutet, dass man das ganze Probleme auch über die generalisierte Koordinate "x" ausdrücken kann. Wie sähe die Funktion L (L=Lagrange-Fkt.) dann aus?

Duncan · Gast

Gewählte Koordinate = x, der Weg, den das Gewicht zurücklegt.
(positiv nach unten).

dann ist
Gewicht:

Kugel:
U = 0

wobei

r ist ja bekannt (Kugelradius)

merlot0001 · Gast

Habe in einem Lehrbuch eine vergleichbare Aufgabe gefunden.
Mit der Zwangsbedingung

kommt man schnell zur Lösung.
Damit folgt

Das eingesetzt in die Rotationsenergie liefert:

und

Danke für deine Mühe Duncan.. und.. ach, vergiss es.

btw: "Mal-Punkt": $\cdot$
oder: Leertaste "\," bzw. (größere) "\;"
(diese Trennungen mit . sehen ja doch etwas verwirrend aus - ich wusste anfangs überhaupt nicht, was du meinst Hammer

)
Und wieso jetzt plötzlich

? Ist das ein anderer Winkel? Aber ich bin (mit normalem Menschenverstand) davon ausgegangen, dass du

meintest! Einfach krass... diese... Transferleistung....