Masse am Seil

Baum03 · Anmeldungsdatum: 15.11.2023 Beiträge: 1

Meine Frage:
Eine Masse M ist uber einen Faden der Länge l, der über
eine (kleine) Rolle geführt wird, mit einer Masse m verbunden. Die Masse m wird im Schwerefeld fallen gelassen. Bestimmen Sie die Lagrangefunktion des Problems nach Wahl geeigneter Koordinaten und
Berücksichtigung von Zwangsbedingungen. (Es wird angenommen, dass der Faden zu jedem Zeitpunkt aus zwei
geraden Verbindungsstucken zwischen den Massen und der Rolle besteht. Außerdem ist die Aufhängung an der
Rolle so, dass die beiden Massen und die Fäden aneinander vorbei schwingen können, ohne sich zu berühren.

Meine Ideen:
Ich bin etwas überfordert, wie ich das machen soll, in der Vorlesung haben wir Abrutschendes Seil und Kugelpendel gemacht, ich bräuchte hilfe. Ich hätte jetzt Kugelkordinaten gewählt, aber ich weiß nicht wie lang die Seile sind,

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5044

microsoft_AI · Gast

Die Lagrange-Funktion ist ein nützliches Werkzeug in der klassischen Mechanik und ermöglicht es uns, die Bewegung eines Systems zu beschreiben. In diesem Fall haben wir ein System mit zwei Massen, die durch einen Faden verbunden sind.
Wir können die Höhe der M-Masse als y und die Höhe der m-Masse als x bezeichnen. Da der Faden eine konstante Länge hat, gilt: x + y = l.
Die kinetische Energie T des Systems ist die Summe der kinetischen Energien der beiden Massen:
T=21My˙2+21mx˙2
Die potentielle Energie V des Systems ist die Summe der potentiellen Energien der beiden Massen im Schwerefeld:
V=Mgy−mgx
Die Lagrange-Funktion L ist definiert als die Differenz zwischen der kinetischen und der potentiellen Energie:
L=T−V=21My˙2+21mx˙2−Mgy+mgx
Da die Länge des Fadens konstant ist, haben wir eine Zwangsbedingung, die wir berücksichtigen müssen. Diese kann durch die Verwendung der Methode der Lagrange-Multiplikatoren oder durch die Wahl geeigneter Koordinaten berücksichtigt werden.

izzy · Anmeldungsdatum: 28.10.2023 Beiträge: 18

Hallo, ich sitze gerade an einer ähnlichen Aufgabe und versuche die Antwort von microsoft_AI zu verstehen. Was meinst du mit 21( soll das ein halb sein)? soll das \frac{1}{2} sein?
T= \frac{1}{2} * M \dot{y} + \frac{1}{2} * M \dot{x}
(meinst du dass?)

Bei der Formel die microsoft_AI aufgestellt hat wird da überhaupt die Möglichkeit des Pendelns mit aufgenommen? ( das die Masse m x ja losgelassen werden kann ) und dann die Masse y (M) dann nach oben gezogen werden könnte.?
( und müsste es nicht V=Mgy+mgx sein?)

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Gehört eigentlich eine Skizze zur Aufgabe? Können beide Massen frei in alle Richtungen Schwingen, oder nur die Masse m?

Wenn nur die eine Masse schwingen kann und sie sich nur in einer Ebene bewegt, also keinen Drehimpuls mitbekommt, reichen z.B. die Länge des Seils zwischen der Rolle und m sowie der Auslenkungswinkel als generalisierte Koordinaten.

izzy · Anmeldungsdatum: 28.10.2023 Beiträge: 18

Ja es gehört ein Bild dazu, in diesem ist nichts von Rotation zu erkennen

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Dann versuch doch einmal, die Lagrangefunktion als Funktion der Länge l zwischen der Rolle und m und des Auslenkungswinkels phi aus der Vertikalen auszudrücken. Um einen Anfang zu machen: die kinetische Energie der Masse m wäre

Allerdings erhält man in den Bewegungsgleichungen auch eine Ableitung erster Ordnung nach der Zeit, und man kann nicht wie bei einem gekoppelten Pendel einfach Eigenfrequenzen berechnen.

izzy · Anmeldungsdatum: 28.10.2023 Beiträge: 18

Das ist leider meine aller erste Lagrange Aufgabe und wir haben es auch gestern erst eingeführt bekommen, deshalb bin ich noch sehr unbeholfen.
das Passende V von m wäre dann V_1=m*g*loder ?

so in dierichtung?

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 829

Am Besten zeichnest du dir in das Bild mal ein Koordinatensystem ein.

Da es sich um Bewegungen in einer Ebene handelt, hast du dann mit Polarkoordinaten 4 Variablen:

Dazu kommen dann 2 Zwangsbedingungen, also bleiben 2 (generalisierte) Koordinaten.

Für die potentielle Energie bietet sich hier an, das Nullpotential in den Koordinatenursprung zu legen, so dass du negative Potentiale bekommst:

((

müsst du dir hier für die beiden Massen überlegen))

Wenn das klar ist, kannst du die Langrangefunktion aufschreiben:

izzy · Anmeldungsdatum: 28.10.2023 Beiträge: 18

Ist das jetzt in die richtige Richtung gedacht?

Qubit · Anmeldungsdatum: 17.10.2019 Beiträge: 829

Nun, du solltest lernen, systematischer an solche Aufgaben ranzugehen. smile

In deinem Bild fehlt die Eintragung der Polarkoordinaten. (bitte nachholen)
Wenn du dies machst, dann stellen sich die beiden Zwangsbedingungen wie folgt dar:

Damit kannst du den kinetischen Energieterm formulieren.

Was dann die potentiellen Energien angeht, brauchen wir dann noch (allgemein unabhängig zur Wahl der y-Richtung formuliert):

Was ist dann hier

für die beiden Massen?

izzy · Anmeldungsdatum: 28.10.2023 Beiträge: 18

Es tut mir wirklich leid und ich stelle mich wirklich dumm an aber wie bekomme ich daraus die Kinetische energie? traurig

wäre also eine zyklische Variabel

Vom Verständnis her wäre dann
y=

,

wäre

Bitte verbessere mich wenn ich falsch liege, es tut mir wirklich leid.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5875

Zur kinetischen Energie: die Geschwindigkeit der Masse m hat eine Komponente in Richtung des Seils und eine Kompenente senkrecht dazu,

Für die Länge des Seils zwischen der Rolle und der Masse M gilt l2=L-l und damit

Damit wird die kinetische Energie

Wählt man h=0 für die jeweils tiefstmögliche Position, gilt für die Höhen der Massen m und M

Die Addition einer Konstanten zur Lagrangefunktion ändert die resultierenden Bewegungsgleichungen nicht, konstante Terme können also weggelassen werden. Damit wird die Lagrange-Funktion

phi ist keine zyklische Koordinate.

izzy · Anmeldungsdatum: 28.10.2023 Beiträge: 18

Vielen dank,