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Schuss am Äquator (Differentialgleichungen)
 
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Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 03. Jun 2018 14:04    Titel: Schuss am Äquator (Differentialgleichungen) Antworten mit Zitat

Meine Frage:
Im Internet habe ich gerade die folgene Aufgabe zur Klausurvorbereitung gefunden. Ich komme bei Aufgabenteil a) nicht weiter, weshalb ich die anderen Aufgabenteile nicht weiter bearbeiten kann (Anfangswerte fehlen!) Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet.

Wir betrachten in dieser Aufgabe die Flugkurve einer am Äquator mit der Anfangsgeschwindigkeit senkrecht nach oben geschossenen Gewehrkugel aus der Sicht einer
am Gewehrort ruhenden Person (also aus einem mit der Erde mitrotierenden Nicht-Inertialsystem). Ziel ist es unter anderem, den Umgang mit einfachen Differentialgleichungen zu Üben. Benutzen Sie in dieser Aufgabe die folgenden Koordinatenachsen:
x-Achse nach Süden, y-Achse nach Osten, z-Achse nach oben. Berücksichtigen Sie die Zentrifugalkraft lediglich dadurch, dass Sie mit der am Äquator gemessen effektiven Erdbeschleunigung mit rechnen und diese als räumlich konstant annehmen. Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand und möglichen Wind.

a) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen für die Gewehrkugel im mitrotierenden Bezugssystem der Erde von der folgenden Form sind:
\
und bestimmen Sie die Konstanten .

b) Zeigen Sie, dass das obige Differentialgleichungssystem die gewo?hnliche Differentialgleichung
fu?r die Geschwindigkeit der Gewehrkugel in z-Richtung impliziert.

c) Gleichung (4) hat die Form der einer ungeda?mpften Schwingungsgleichung,

deren allgemeine Lo?sung von der Form

ist, wobei sich die Koeffzienten A und B aus den Anfangswerten , ergeben. Lo?sen Sie mit diesen Informationen die Differentialgleichung (4) fu?r die Anfangswerte und .

d) Bestimmen Sie durch Integration von . Die hierbei auftretende Integra- tionskonstante soll hierbei aus einer geeigneten Anfangsbedingung des Problems berechnet werden.

e) Zeigen Sie, dass der ho?chste Punkt der Flugbahn zur Zeit
erreicht wird und berechnen Sie diese Zeit fu?r die Anfangsgeschwindigkeit .

f) Vergleichen Sie das Ergebnis aus Teil e) mit der Umkehrzeit, die sich bei ansonsten gleichen Parametern ohne die Beru?cksichtigung der Corioliskraft erga?be und erkla?ren Sie die (kleine) Diskrepanz qualitativ.

g) Zeigen Sie

und bestimmen Sie aus durch Integration und die dabei auftretende Integrationskonstante aus dem Anfangswert .


Meine Ideen:
Relevant für die Aufgabe sind aus meiner Sicht nur die Gravitationskraft, die Corioleskraft und die Zentrifugalkraft. In diesem speziellen Fall gilt für die Beträge doch das folgende:

. Am Äquator müssen sich doch die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft aufheben?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4804

Beitrag Myon Verfasst am: 03. Jun 2018 15:32    Titel: Re: Schuss am Äquator (Differentialgleichungen) Antworten mit Zitat

Physik2018 hat Folgendes geschrieben:
Meine Ideen:
Relevant für die Aufgabe sind aus meiner Sicht nur die Gravitationskraft, die Corioleskraft und die Zentrifugalkraft. In diesem speziellen Fall gilt für die Beträge doch das folgende:

.

Du musst die Coriolis- und die Zentrifugalkraft vektoriell schreiben





Dann kannst Du die Kräfte und damit die Bewegungsgleichungen komponentenweise schreiben (die x-, y-, z-Richtung sind explizit vorgegeben) und damit zumindest einmal den Aufgabenteil a) lösen.

Zitat:
Am Äquator müssen sich doch die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft aufheben?

Nein, wieso sollten sie? Oder schwebst Du, wenn Du am Äquator stehst?
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 03. Jun 2018 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

Also ist die Gesamtkraft die Summe aus Gravitationskraft und Corioliskraft (Die Zentrifugalkraft soll nach Aufgabentext nicht beachtet werden):

.



Daraus folgt dann für die Gesamtbeschleuingung:



Doch wie komme ich an den Vektor der Winkelgeschwindigkeit?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4804

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Jun 2018 15:50    Titel: Antworten mit Zitat

Dass die Zentrifugalkraft nur durch eine effektive und konstante Erdbeschleunigung berücksichtigt werden soll, war mir entgangen. Da gemäss Aufgabentext die x-Richtung nach Süden zeigt, gilt für die Winkelgeschwindigkeit einfach



mit .
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 17:07    Titel: Antworten mit Zitat

Damit ich komme ich zu den Bewegungsgleichungen:





1. Frage: Ist das Richtig?
2. Frage: Falls ja, wie kann ich dann b) lösen? gilt, das ist aber nicht , oder mache ich da einen Denkfehler?
Myon



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Beiträge: 4804

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Jun 2018 18:03    Titel: Antworten mit Zitat

Physik2018 hat Folgendes geschrieben:
Damit ich komme ich zu den Bewegungsgleichungen:





1. Frage: Ist das Richtig?

Ja, das ist richtig.

Zitat:
2. Frage: Falls ja, wie kann ich dann b) lösen? gilt, das ist aber nicht , oder mache ich da einen Denkfehler?

Die obigen Gleichungen mit Geschwindigkeiten lauten



Wenn Du nun die Gleichung für die z-Komponente ableitest und für die Gleichung für die y-Komponente benutzt, ergibt sich die zu zeigende Differentialgleichung

Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 18:04    Titel: Antworten mit Zitat

Weiterhin zu c) und d)

Die Geschwindigkeit in z-Richtung ergibt sich durch Lösen der Dgl. Das Ergebnis davon ist Wenn ich das integriere komme ich zu Was ist die Anfangsbedingung für das Problem?
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 18:06    Titel: Antworten mit Zitat

Zu e) Damit die Flugbahn (z(t)) am höchsten ist, muss die Geschwindigkeit in z-Richtung Null sein. Wenn ich das Null setze kommt da aber nicht das gesuchte Ergebnis heraus. Was mache ich falsch?
Myon



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Beiträge: 4804

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Jun 2018 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

Physik2018 hat Folgendes geschrieben:
Zu e) Damit die Flugbahn (z(t)) am höchsten ist, muss die Geschwindigkeit in z-Richtung Null sein. Wenn ich das Null setze kommt da aber nicht das gesuchte Ergebnis heraus. Was mache ich falsch?

Zuerst einmal: die obigen Gleichungen für z(t) und v_z(t) sollten richtig sein. Wenn Du v_z(t)=0 setzt, folgt



und damit



und daraus die gesuchte Zeit.

PS: Aus z(0)=0 folgt für die Integrationskonstante .
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 18:50    Titel: Antworten mit Zitat

Dann bleiben mir erstmal nur zwei Fragen:

1. Was ist die Anfangsbedingung für z(t)?
2. Bei g) habe ich im Nenner ein Minus-Zeichen, könnte es sein, dass der Vektor der Winkelgeschwindigkeit in x-Koordinate ein Minus hat?



Das umgeformt nach ergibt

P.S: Frage 1) hat sich erledigt, da warst du wohl schneller :-)


Zuletzt bearbeitet von Physik2018 am 04. Jun 2018 18:59, insgesamt einmal bearbeitet
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 18:56    Titel: Antworten mit Zitat

Außerdem komme ich bei h) auf ca. 400.000km, das kann doch gar nicht sein!
Was mache ich falsch?
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4804

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Jun 2018 19:46    Titel: Antworten mit Zitat

Physik2018 hat Folgendes geschrieben:
2. Bei g) habe ich im Nenner ein Minus-Zeichen, könnte es sein, dass der Vektor der Winkelgeschwindigkeit in x-Koordinate ein Minus hat?

Genau, ich Idiot. Für ist der Winkelgeschwindigkeitsvektor



denn die Erde dreht sich von Norden aus gesehen im Gegenuhrzeigersinn. Weiss nicht weshalb, aber dieser Fehler mit dem Drehsinn der Erde ist mir schon mehrfach passiert.

Damit wird auch , was richtig ist, da die Kugel durch die Corioliskraft nach Westen abgelenkt wird.

Wie lautet denn der Aufgabenteil h)?
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 19:56    Titel: Antworten mit Zitat

h) hatte ich vergessen smile
Berechnen Sie, wie weit westlich sich die Kugel am höchsten Punkt bereits vom Gewehr befindet sowie die Höhe über dem Erdboden.


Zuletzt bearbeitet von Physik2018 am 04. Jun 2018 21:08, insgesamt einmal bearbeitet
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 04. Jun 2018 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Und wie komme ich bei g) auf ? Ich stehe bei der Integration total auf dem Schlau.

Zu dem Vorzeichenfehler: Fehler passieren jedem, sprechen wir nicht mehr drüber
Myon



Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 4804

Beitrag Myon Verfasst am: 04. Jun 2018 23:26    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn Du die Gleichung für integrierst, erhältst Du doch



Da setzt Du nun ein (z(t) wurde ja schon bestimmt), C ergibt sich aus y(0)=0. Ich erhalte damit



Für die erreichte Höhe ergibt sich 4601.204 m (nur etwa 2 cm Abweichung aufgrund der Corioliskraft). Am höchsten Punkt beträgt y(t)=-13.69 m. Dies ist plausibel. Rechnet man zur Überprüfung ganz simpel die westliche Abweichung über die Geschwindigkeitsdifferenz durch die Erddrehung auf verschiedenen Höhen,



erhält man y'=-10.26 m, was zumindest von der gleichen Grössenordnung ist.
Physik2018



Anmeldungsdatum: 27.05.2018
Beiträge: 35

Beitrag Physik2018 Verfasst am: 05. Jun 2018 13:59    Titel: Antworten mit Zitat

Auf die Resultate komme ich auch. Vielen Dank für die Hilfe, das hatte ich vergessen zu schreiben :-) Es hat sehr viel Spaß gemacht, die Aufgabe zu lösen
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