Integral von kartesischen in Polarkoordinaten?

Aristo iV · Gast

Meine Frage:
In Theoretischer Physik haben wir die Aufgabe bekommen ein Integral von folgender Gleichung zu lösen:

Die Grenzen gehen von - bis + unendlich und es wird über x integriert. Außerdem sei a>0
Da es keine Triviale Lösung gäbe, soll man zunächst ein zweidimensionales Integral bilden und dann in Polarkoordinaten umformen.
Die Lösung, die zu zeigen ist, ist:

Meine Ideen:
Ein zweidimensionales Integral ist für mich gegeben wenn ich nach x und y integriere. Wie die Grenzen der jeweiligen Integrale sich verändern ist mir noch nicht klar. Grundsätzlich würde ich weiterhin von - bis + unendlich integrieren. Den Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten kenne ich bis dahin:
x= r*cos (phi)
y=r*sin (phi)
Auch geometrisch glaube ich zu verstehen warum es so ist. Wie ich allerdings die INtegralgrenzen anpasse, wie ich substituiere -falls überhaupt nötig/möglich- auch nicht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Zu berechnen:

Trick:

Aristo iV · Gast

Danke, wenn ich das richtig verstehe, birng mich das zu folgender "Idee":

Für x und y setze ich dann die Gleichungen ein. Anschließend muss ich die Integrationsvariable noch ändern. Das würde ich wie folgt machen, wobei ich mich da nich sicher fühle:

Analog würde ich dy ausrechnen. Ist das so korrekt? Falls ja, wieso wird aus dem r*cos ein cos dr? Es passt halt irgendwie aber rechnerisch klingt das ziemlich blöde
grübelnd

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Das Ändern der Integrationsvariablen ist im mehrdimensionalen etwas anders:
http://www.nibis.de/~lbs-gym/Verschiedenespdf/Koordinatensysteme.pdf

Aristo iV · Gast

Ich werde nicht ganz schlau aus der Jacobi Matrix. Ich erkenne, dass man ein Kreuzprodukt aus den Ableitungen zweier Funktionen macht. Wie bilde ich denn -gerade in meinem Beispiel, in dem eben keine Ableitung der Funktion zu erkennen ist- eine Funktion von x bzw y? Sprich F(x(u,v)y(u,v)).
Aus was bilde ich also meine Jacobi Matrix

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Siehe hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Funktionaldeterminante

Du nutzt einfach

Aristo iV · Gast

Ich versuche mal wiederzugeben wie ich beim Umwandeln vorgehen würde:

von dx dy nach dr dphi mache ich eine Matrix und bilde das Kreuzprodukt. Im Prinzip bilde ich die Matrix distributivähnlich. In den Zeilen sind die Zähler gleich. In den Spalten die Nenner.

x= rcos
y=rsin
Setze ich dies ein und bilde das Kreuzprodukt ergibt sich r
Dann habe ich die die Integrationsvariable geändert.
Mathematisch ist das wahrscheinlich nicht ganz optimal aber würde ich damit richtig fahren? Was passiert denn mit den Grenzen? Bleiben die einfach gleich?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18026

Was meinst du mit Kreuzprodukt?

Die Grenzen werden wie üblichen transformiert. Das zweidimensionale Integral erstreckt sich über die gesamte Ebene. Für die Grenzen sow die Transformation des Maßes gilt demnach