Berechnung der Bahngeschwindigkeit eines Satelliten

frro1 · Anmeldungsdatum: 12.02.2018 Beiträge: 1

Meine Frage:
Hallo,

Wie sieht der Ansatz/Lösung für dieses Problem aus?: Ein Satellit bewegt sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn über dem Äquator der Erde mit einer Umlaufdauer von 12 Stunden. Durch einen Impuls erfährt der Satellit senkrecht zur Äquatorialebene einen Schub mit einer zusätzlichen Geschwindigkeit von delta v=3.6*10^3 m/s, sodass er sich nunmehr auf einer Ellipsenbahn um die Erde bewegt.
Wie groß ist die Geschwindigkeit im Apogäum?

Ich weiß vorallem nicht in welche Richtung (von der Erde weg oder hin) der Schub ist.

Meine Ideen:
Man müsste irgendwie die große Halbachse berechnen, mit der dann wohl die kleine Halbachse, die Teilfläche für einen bestimmten Phasenwinkel (sehr kleiner) und dann den Bogen. Und den Bogen durch irgendeine Zeiteinheit teilen. Das wäre zwar nur näherungsweise aber ich weiß es im Moment nicht anders. Und wie genau die Gesamtenergie hier eingebunden werden soll, kann ich mir noch nicht so recht vorstellen.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Mit Deiner Idee weiss ich nicht genau, wie Du das meinst. Durch die angegebene, ursprüngliche Umlaufdauer hast Du ja den Radius, die Geschwindigkeit und Energie zu diesem Zeitpunkt vor dem Schub. Der Schub ist senkrecht zur Äquatorialebene, müsste also senkrecht zur Bahn am Anfang (aber nicht in radialer Richtung) sein. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher, ob mit „zusätzliche Geschwindigkeit“ die zusätzliche Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Äquatorialebene gemeint ist, oder der zusätzliche Geschwindigkeitsbetrag (das Delta v deutet auf das zweite hin). In beiden Fällen kann aber mit dieser Angabe die Energie und der Drehimpuls nach dem Schub berechnet werden.

Damit lässt sich auch der Bahnparameter

und die Exzentrizität

und schliesslich die gesuchte Geschwindigkeit am Apogäum bestimmen.

PS: Die Masse des Satelliten m ist ja nicht gegeben. Das ist hier aber weiter kein Problem, denn in den obigen Formeln hebt sich die Masse jeweils mit der Masse, die in der Energie und im Drehimpuls steckt, weg. Die reduzierte Masse

kann gleich der Satellitenmasse m gesetzt werden.

one · Gast

Was ich jetzt nicht verstehe ist, wie man auf den Radius kommen soll.
Die Umlaufdauer ist ja gegeben, aber der Umfang der Kreisbahn nicht,
der Satellit kann ja nicht direkt auf dem Äquator kreisen, also muss der Umfang ein Vielfaches vom Äquator sein, oder ist es doch anders?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Der Satellit kreist über dem Äquator. Die Winkelgeschwindigkeit

ist bekannt. Damit der Satellit auf seiner Kreisbahn bleibt, muss die gravitative Anziehungskraft gleich der nötigen Zentripetalkraft sein. Du kannst also eine Gleichung aufstellen und diese nach dem Radius auflösen.

PS: Zur Überprüfung: es sollte ein Radius von etwa 26610 km herauskommen, Rechenfehler vorbehalten.

reddit0000lll · Gast

Ja, aber wie wird hier reduzierte Masse berechnet?
Da ja die eigentliche Masse nicht gegeben ist, und diese reduzierte ja mit ihr gleichgesetzt werden kann und für die Berechnung der Energie ja nötig ist.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Da die Satellitenmasse nicht gegeben ist, können die Energie und der Drehimpuls nicht explizit berechnet werden. Das ist aber auch nicht nötig. Es reicht, die Grössen E/m und L/m zu berechnen. Diese gehen dann in den Bahnparameter und die Exzentrizität ein.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Leider habe ich bemerkt, dass in der obigen Formel für die Exzentrizität ein Fehler war. Er befand sich schon in meiner eigenen Vorlesungszusammenfassung. Ich habe ihn oben korrigiert, bitte entschuldige.

Zweitens: die Angabe mit der zusätzlichen Geschwindigkeit ist offenbar so zu verstehen, dass diese Geschwindigkeit die zusätzliche Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur bisherigen Geschwindigkeit ist. Addiert man nämlich einfach die beiden Geschwindigkeiten, so wird die Gesamtenergie positiv und das System ist nicht mehr gebunden.
Die Geschwindigkeit v1 nach dem Schub ist also

.

Schliesslich hat mich eine andere Aufgabe, die kürzlich hier gestellt wurde, darauf gebracht, dass die vorliegende Aufgabe auch noch anderes gelöst werden könnte: sind nämlich

die Abstände und Geschwindigkeiten im Perigäum und Apogäum, so gelten die Gleichungen

Der Punkt ist nun bei dieser Aufgabe, dass der Ort, wo der Satellit beschleunigt wird, dem Perigäum entspricht. Dies deshalb, da die Geschwindigkeit auch nach der Beschleunigung senkrecht auf dem Strahl Erde-Satellit steht. Man hat also 2 Unbekannte und 2 Gleichungen, sodass auch damit die Aufgabe gelöst werden könnte.

Zur Überprüfung: ich erhalte einen Bahnparameter von etwa 49633km, eine Exzentrizität von etwa 0.865 und einen Abstand und eine Geschwindigkeit beim Apogäum von rund 368‘300km bzw. 381.9m/s.

Sdf342 · Gast

Wie berechnet man die zwei Bekannten genau, und was muss man für ein Verfahren benutzen, um die Gleichung nach der Geschwindigkeit im Apogäum aufzulösen?

*Fehler passieren nun mal jedem.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Situation vor dem Schub: der Satellit befindet sich auf einer Kreisbahn, die Zentripetalkraft muss gleich der Gravitationskraft zwischen Satellit und Erde sein. Also

.

Dies führt auf den Abstand

und die Geschwindigkeit

vor dem Schub.

Der Schub führt zur neuen Geschwindigkeit

.

Ab jetzt sind die Gesamtenergie und der Drehimpuls erhalten. Beide lassen sich (bis auf die nicht bekannte Satellitenmasse) einfach berechnen, da die Geschwindigkeit v1 am Ort des Schubs senkrecht steht auf der Verbindung Erde-Satellit. Es gilt

und

Berechnen kann man die Grössen E/m und L/m. Diese eingesetzt in die obigen Formeln ergeben den Bahnparameter und die Exzentrizität. Der Abstand beim Apogäum ist einfach

. Über die Drehimpulserhaltung ergibt sich die Geschwindigkeit beim Apogäum (dort ist ja der Drehimpuls auch einfach

)

Beim zweiten Weg benutzt man, dass der Ort des Schubs gleich dem Perigäum der eliptischen Bahn nach dem Schub ist. D.h. es gilt

und

.

Jetzt hast Du noch 2 Unbekannte bei 2 relativ einfachen Gleichungen. Das solltest Du auflösen können.

Empfehlen würde ich eher den ersten Weg. Beim zweiten müsstest Du eigentlich zuerst zeigen, dass wieso diese Gleichungen überhaupt gelten (die erste ist klar, die zweite ist weniger offensichtlich).

loki76799 · Gast

Danke für die ausführliche Hilfe!

Jjjjä · Gast

Aber eine Frage habe ich, was ist mit der Gesamtenergie? Die hat doch eine andere Formel?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

D09 · Gast

Die anderen Fragen haben sich geklärt.
Hier noch zwei: ist die Einheit von p m und die der numerischen Exzentrizität gar keine?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Zu den Einheiten: Ja. Der (Halb-)Parameter einer Ellipse hat auch eine anschauliche Bedeutung (siehe z.B. hier), und es gilt

.

jlkggk76533 · Gast

Ich hätte eine Frage, könntest Du oder könnten Sie die Geschwindigkeit zwecks Überprüfung nachrechnen? Diesmal mit 8h Umlaufdauer und 2,5×10^3 Schubgeschwindigkeit, ich habe da betragsmäßig 28 m/s erhalten. Ich hatte das zum trainieren gemacht.

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Hmm.. ich erhalte bei diesen Daten Geschwindigkeiten von 5087 m/s und 2630 m/s am Perigäum bzw. Apogäum.

hkbkitgh900 · Gast

Ja, das ist richtig, ich habe meinen Fehler erkannt, ich hatte v1 falsch ausgerechnet, vergessen die wurzel zu ziehen.

Danke für die Hilfe!

jooj Klo i Ion · Gast

Ich komm im Apogäum auf 2596 m/s. Sind die 2630 fürs Perigäum?

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5870

Nein, ich erhalte für die Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Schub 5087 m/s, und diese ist ja gleich der Geschwindigkeit im Perigäum. Für das Apogäum erhalte ich wie erwähnt 2630 m/s. Für den Abstand Erde-Satellit erhalte ich im Perigäum 20306 km, im Apogäum 39281 km.

jkkm · Gast

Ja, danke sehr für die Hilfe!