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Nachricht |
PHBU
Anmeldungsdatum: 13.01.2017
Beiträge: 6
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 PHBU Verfasst am: 12. Aug 2017 10:45 Titel: physikalische Wirkung / Lagrange-Formalismus |
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Hallo Forumnutzer,
ich habe Probleme beim Integrieren der Langrange-Funktion L. Laut partieller Integration gilt ja:
\cdot g\left(x\right)\,\mathrm dx=F\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int F\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)\,\mathrm dx)
Die Integration der Langrange-Formel bereitet mir allerdings Probleme.
-mgxt=?)
Ich bin unfähig, den Term weiter zu vereinfachen. Wie müsste man nun weiter vorgehen? Oder ist partielle Integration gar der falsche Weg?
Danke im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
PHBU
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Aug 2017 11:09 Titel: Re: physikalische Wirkung / Lagrange-Formalismus |
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| PHBU hat Folgendes geschrieben: |
Die Integration der Langrange-Formel bereitet mir allerdings Probleme.
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Das ist bereits falsch. x ist ja normalerweise eine Funktion der Zeit. Also ist das Integral über x nicht einfach xt.
| Zitat: |
Ich bin unfähig, den Term weiter zu vereinfachen. Wie müsste man nun weiter vorgehen? Oder ist partielle Integration gar der falsche Weg?
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Das kommt darauf an, was du eigentlich vorhast. Das ist nicht so richtig ersichtlich.
Die Lagrangefunktion kann nicht nach t integriert werden, denn sie ist eine Funktion von Ort, Geschwindigkeit und Zeit. (In deinem konkreten Fall hat sie allerdings keine explizite Zeitabhängigkeit.) Du kannst natürlich die zusammengesetzte Funktion , \dot x(t), t)) nach t integrieren, aber dann benötigst du eine konkrete Lösung x(t) der Bewegungsgleichungen. Ansonsten ergibt deine Rechnung wenig Sinn.
Versuchst du vielleicht die Euler-Lagrange-Gleichungen abzuleiten? (Da kommt typischerweise eine partielle Integration vor.)
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PHBU
Anmeldungsdatum: 13.01.2017
Beiträge: 6
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| PHBU Verfasst am: 12. Aug 2017 11:29 Titel: Die Bewegung eines freien Teilchen |
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Hallo index_razor,
danke für Deine Antwort.
Die Konkretisierung des Falles ist hier tatsächlich sinnvoller -- mein Fehler.
Ich bin Neuling in Sachen Lagrange-Formalismus und, um ehrlich zu sein, verstehe ich noch nicht ganz den Sinn, die Idee hinter der physikalischen Wirkung S. Bezüglich der Einheiten integriere ich Energie E bzw. L nach einer Zeit t, also den Impuls p nach der Weglänge x. Doch was sagt mir diese Wirkung konkret?
Im Anhang kann man sich den Kontext erschließen. Es geht um ein massenbehaftetes bewegtes Teilchens im potenzialfreien Raum, d.h. g=0. Was sagt mir hier die Wirkung und wie rechnen ich für diesen konkreten Fall diese aus (s. Gleichung (1))?
Mit freundlichen Grüßen
PHBU
| Beschreibung: |
| Bewegung eines freien Teilchens im Raum |
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Download |
| Dateiname: |
freies_Teilchen.pdf |
| Dateigröße: |
33.1 KB |
| Heruntergeladen: |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18200
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| TomS Verfasst am: 12. Aug 2017 16:16 Titel: |
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Die Wirkung S ist ein Funktional, das der Funktion x(t) sowie deren Ableitung eine reelle Zahl zuordnet. D.h.
, \dot{x}(t) \to S[x(t), \dot{x}(t)])
Offensichtlich lassen sich alle bekannten Theorien so formulieren, dass die klassischen Bewegungsgleichungen aus der Variation der Wirkung S nach x(t) sowie der Ableitung folgen: die klassischen Trajektorien entsprechen gerade den Trajektorien minimaler Wirkung für die die Variation der Wirkung verschwindet
Die Berechnung der Variation führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 12. Aug 2017 16:18 Titel: Re: Die Bewegung eines freien Teilchen |
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| PHBU hat Folgendes geschrieben: | Doch was sagt mir diese Wirkung konkret?
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Den Zahlenwert dieser Wirkung auszurechnen ist m.E. nicht besonders relevant. Die für die Mechanik wichtigen Eigenschaften folgen eher aus der Änderungen der Wirkung in Bezug auf bestimmte Parameter. Zum Beispiel:
1) Sind die physikalischen Bahnkurven stationäre Punkte der Wirkung, d.h. ist ) eine Lösung der Bewegungsgleichungen mit vorgegebenen Randbedingungen , x(t_1)) für die Zeiten  , dann ist für jede Kurve  +\epsilon\eta(t)) , mit denselben Randbedingungen, die Änderung
von mindestens zweiter Ordnung in  . Wichtig ist das deshalb, weil du daraus die Bewegungsgleichungen, die x(t) erfüllen muß, aus der Bedingung
erhältst, d.h. du betrachtest die Änderung von S in um  und setzt den linearen Term gleich null.
2) Gehört zu jeder Symmetrie der Wirkung ein Erhaltungssatz. Hierzu geht man nicht von einer konkreten Lösung x(t) aus, sondern betrachtet allgemeine parametrisierte Transformationen ) des Ortes (und evtl. der Zeit) und untersucht, welchen Einfluß diese auf S[x] für beliebige Kurven x(t) haben. Wenn sich S gar nicht oder nur unwesentlich ändert, folgt daraus ein Erhaltungssatz. (Das ist im wesentlichen das Noether-Theorem.)
Offensichtlich geht es dir hier um diesen Fall, genauer gesagt um den Zusammenhang zwischen Symmetrie und Impulserhatung?
Diese folgt allgemein aus der Translationsinvarianz der Wirkung. Man betrachtet also die Transformation  , mit konstantem (d.h. nicht x- oder t-abhängigem)  . Wie ändert sich nun
\right))
unter dieser Transformation? Die Geschwindigkeit ändert sich nicht, also wird jede Änderung durch das Potential bewirkt, d.h.
\dd t + ... )
wobei ... Änderungen von mindestens zweiter Ordnung in bedeuten. Also gilt
\dd t )
Nun ist aber  = F(x)) genau die Kraft auf das Teilchen am Ort x. Also ändert sich die Wirkung nicht unter Ortstranslationen, wenn  = 0) . Damit folgt aber aus dem 2. Newtonschen Axiom
also die Impulserhaltung.
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