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Kugelwellen und Maxwell-Gleichung
 
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Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 25. März 2020 16:33    Titel: Kugelwellen und Maxwell-Gleichung Antworten mit Zitat

Die homogene Wellengleichung für das Vierer-Potential lautet:



und ist offenbar Lorentz-kovariant.

Die Lösung für Kugelwellen lautet:


und ist aufgrund der 1/r-Abhängigkeit ja nicht mehr Lorentzkovariant.
Stellt die Kugelwelle dann überhaupt eine physikalische Lösung dar? Oder müssen spezielle Lösungen nicht mehr Lorentz-kovariant sein?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. März 2020 17:07    Titel: Re: Sind Kugelwellen physikalische Lösungen der Maxwell-Gl ? Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Die homogene Wellengleichung für das Vierer-Potential lautet:



und ist offenbar Lorentz-kovariant.

Die Lösung für Kugelwellen lautet:


und ist aufgrund der 1/r-Abhängigkeit ja nicht mehr Lorentzkovariant.
Stellt die Kugelwelle dann überhaupt eine physikalische Lösung dar? Oder müssen spezielle Lösungen nicht mehr Lorentz-kovariant sein?


Meinst du invariant? "Kovariant" in dem Sinne

sind sie ja trotzdem. Letzteres ist auch eine rein mathematische Identität ohne physikalischen Gehalt.

Invariant muß sie natürlich nicht sein, das ist nur .
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 25. März 2020 19:25    Titel: Antworten mit Zitat

Ich meine, dass die Lösung ja kein 4rer-Vektor mehr ist, da r kein 4rer-Skalar ist. Und deshalb gilt doch auch das von dir angeschriebene Transformationsgesetz nicht.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 25. März 2020 19:52    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Ich meine, dass die Lösung ja kein 4rer-Vektor mehr ist, da r kein 4rer-Skalar ist. Und deshalb gilt doch auch das von dir angeschriebene Transformationsgesetz nicht.


Doch natürlich gilt das Transformationsgesetz und A ist ein 4er-Vektor. Ob r ein Viererskalar ist hat doch damit nichts zu tun. Wenn r keiner ist, dann ist doch, z.B. auch keiner. Allerdings besitzt natürlich r auch eine geometrische Definition als 4er-Abstand zwischen raumartigen Ereignissen . In diesem Sinne ist es sogar ein 4er-Skalar.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 25. März 2020 21:01    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Doch natürlich gilt das Transformationsgesetz und A ist ein 4er-Vektor. Ob r ein Viererskalar ist hat doch damit nichts zu tun.

versteh ich nicht.
Seien z.b. x und k Vierervektoren, dann ist doch:

kein Vierer-Vektor mehr weil nicht das richtige Transformationsverhalten besitzt. Wenn jetzt r kein Vierer-Skalar ist, ist es doch das selbe.

Zitat:
Allerdings besitzt natürlich r auch eine geometrische Definition als 4er-Abstand zwischen raumartigen Ereignissen . In diesem Sinne ist es sogar ein 4er-Skalar

Versteh ich auch nicht. r ist doch einfach ein räumlicher Abstand und kann daher auch Längenkontrahiert werden, oder?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 26. März 2020 08:59    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Doch natürlich gilt das Transformationsgesetz und A ist ein 4er-Vektor. Ob r ein Viererskalar ist hat doch damit nichts zu tun.

versteh ich nicht.
Seien z.b. x und k Vierervektoren, dann ist doch:

kein Vierer-Vektor mehr weil nicht das richtige Transformationsverhalten besitzt.


Doch natürlich kann das ein Vektor sein. Sei u der zeitartige Einheitsvektor, so daß , dann hast du . Warum ist das kein Vektor?

Es bringt m.E. überhaupt nichts, sich einzelne Terme ohne Kontext anzusehen und dann darüber herumzuphilosophieren, ob sie "das richtige" Transformationsverhalten haben. Du kannst jeden derartigen Ausdruck in kovariante From bringen, indem du einfach genügend viele geometrische Hilfskonstruktionen einführst. Zum Beispiel ist



einfach eine Funktion von drei Skalarprodukten. Einige würden nun sagen, daß das immer noch nicht kovariant ist, weil darin Basisvektoren vorkommen, die sich unter Lorentztransformationen ändern, während die Vektoren x,y,z invariant sind. Aber das ist ein Scheinargument. Wer sagt mir denn, daß das "richtige Transformationsgesetz"



ist, und nicht



Ich kann keine Sonderbehandlung nur für Basisvektoren einführen, denn jeder Vektor (außer 0) ist Element irgendeiner Basis.

Zitat:

Wenn jetzt r kein Vierer-Skalar ist, ist es doch das selbe.


Mag sein, aber der Punkt ist müßig. Erstens ist es ist kein Problem r als Viererskalar zu definieren. Zweitens hindert dich nichts daran, das Transformationsgesetz



anzuwenden, um A von einem System in ein anderes zu transformieren.

Zitat:

Zitat:
Allerdings besitzt natürlich r auch eine geometrische Definition als 4er-Abstand zwischen raumartigen Ereignissen . In diesem Sinne ist es sogar ein 4er-Skalar

Versteh ich auch nicht. r ist doch einfach ein räumlicher Abstand und kann daher auch Längenkontrahiert werden, oder?


Ein räumlicher Abstand ist nichts anderes als ein raumartiger Viererabstand zwischen zwei festen Ereignissen. Längenkontraktion bedeutet, daß zwei verschiedene raumartige Viererabstände unterschiedlich Länge haben.

Konkret geht es bei der Längenkontraktion um den Vergleich von



wobei für Beobachter 1 gleichzeitig zu ist, während für Beobachter 2 gleichzeitig zu ist und für einen der Beobachter am selben Ort stattfinden.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 26. März 2020 21:41    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Doch natürlich kann das ein Vektor sein. Sei u der zeitartige Einheitsvektor, so daß , dann hast du . Warum ist das kein Vektor?

Es bringt m.E. überhaupt nichts, sich einzelne Terme ohne Kontext anzusehen und dann darüber herumzuphilosophieren, ob sie "das richtige" Transformationsverhalten haben. Du kannst jeden derartigen Ausdruck in kovariante From bringen, indem du einfach genügend viele geometrische Hilfskonstruktionen einführst. Zum Beispiel ist



einfach eine Funktion von drei Skalarprodukten. Einige würden nun sagen, daß das immer noch nicht kovariant ist, weil darin Basisvektoren vorkommen, die sich unter Lorentztransformationen ändern, während die Vektoren x,y,z invariant sind. Aber das ist ein Scheinargument. Wer sagt mir denn, daß das "richtige Transformationsgesetz"



ist, und nicht



Ich kann keine Sonderbehandlung nur für Basisvektoren einführen, denn jeder Vektor (außer 0) ist Element irgendeiner Basis.


Natürlich kannst du beliebige Transformationen betrachten aber ein Basiswechsel (was die Lorentztransformation ja ist) ist sinnvollweise durch
definiert. Die andere Transformation würde ja bedeuten dass die Komponenten von x bezüglich allen Basen die selben sind.
Ich verstehe nicht wirklich worauf du hier hinaus willst. Oder führst du Lorentztransformationen etwas nach dieser:

Vorschrift durch ?

Die Begriffe Kovariant und Kontravariant beziehen sich ja genau auf das Transformationverhalten bezüglich der Basis. Die Komponenten heißen kontravariant weil sie sich gegen die Basis transformieren.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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Beitrag index_razor Verfasst am: 27. März 2020 08:22    Titel: Antworten mit Zitat

Also ich wollte mit meinen Bemerkungen nicht vom Thema ablenken. Ich finde es immer noch am wichtigsten zu klären, wieso du meinst



sei nicht das "richtige" Transformationsgesetz für das von dir definierte A und welches Transformationsgesetz du stattdessen für richtig hältst. Übrigens, welches geometrische Objekt wäre dann eigentlich A? Ein Vektor kann es ja nicht sein.

Corbi hat Folgendes geschrieben:

Natürlich kannst du beliebige Transformationen betrachten aber ein Basiswechsel (was die Lorentztransformation ja ist) ist sinnvollweise durch
definiert. Die andere Transformation würde ja bedeuten dass die Komponenten von x bezüglich allen Basen die selben sind.


Es hilft vielleicht, wenn wir zunächst mal die Grundbegriffe präzisieren. Eine Lorentztransformation ist nicht einfach eine Basistransformation, sondern eine lineare Selbstabbildung des Minkowskiraums mit der Eigenschaft



Erst aus dieser Eigenschaft folgt, daß wenn , dann auch eine Basis ist. Dieser sekundären Tatsache scheinst du irgendeine Bedeutung beizumessen, die ihr nicht zukommt.

Außerdem, wie kommst du darauf mit sei die Komponente von in Richtung gemeint? Warum nicht die Komponente von in Richtung ? kann zwar Element einer Basis sein, aber dasselbe gilt für .

Wie lautete das Transformationsgesetz, wenn da gestanden hätte oder ? Hängt es davon ab, daß du zufälligerweise weißt, ob ? Dann hinge das "richtige" Transformationsgesetz ja von den verwendeten Symbolen für denselben Vektor ab.

Zitat:

Ich verstehe nicht wirklich worauf du hier hinaus willst.


Ich will dich nur darauf hinweisen, daß das "richtige" Transformationsgesetz von einem beliebigen Term mit Indizes abzulesen ein schlecht definiertes Problem ist. Jede vermeintlich eindeutige Lösung beruht auf Scheinargumenten. Genau diese Scheinargumente führen dich in Bezug auf das Vektorpotential, welches du betrachtest, hier m.E. in die Irre.

Zitat:

Oder führst du Lorentztransformationen etwas nach dieser:

Vorschrift durch ?


So definiere ich sogar Lorentztransformationen. (Siehe Gl. (LT) oben.)

Zitat:

Die Begriffe Kovariant und Kontravariant beziehen sich ja genau auf das Transformationverhalten bezüglich der Basis. Die Komponenten heißen kontravariant weil sie sich gegen die Basis transformieren.


Das ist zwar richtig, nur hilft dir das ja nicht, herauszufinden, ob kontravariant sind. Du behauptest ja anscheinend unabhängig von dieser Definition zu erkennen, daß sie es nicht sind.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 27. März 2020 16:56    Titel: Antworten mit Zitat

Erst mal Vielen Dank, dass du dir die Zeit nimmst mir das so ausführlich zu erklären!

index_razor hat Folgendes geschrieben:
Also ich wollte mit meinen Bemerkungen nicht vom Thema ablenken. Ich finde es immer noch am wichtigsten zu klären, wieso du meinst



sei nicht das "richtige" Transformationsgesetz für das von dir definierte A und welches Transformationsgesetz du stattdessen für richtig hältst. Übrigens, welches geometrische Objekt wäre dann eigentlich A? Ein Vektor kann es ja nicht sein.

Ich hab mir die Begründung warum man r als 4rer-Skalar definieren/betrachten kann noch nicht genau angeschaut. Werde ich mir aber heute noch vornehmen. Was mein ursprünglicher Gedanke war, wie sich A zu transformieren hat ist folgender:
Und wenn wäre, würde ich A' nicht aus obiger Transformation erhalten.

Über die Phase hab ich mir an der Stelle noch keine weiteren Gedanken gemacht. Aber aus physikalischer Sicht wäre es irgendwie sinnvoll sie als invariant zu betrachten, da sie proportional zur Anzahl der ausgesendeten Wellenberge ist, was sich durch Wechsel des Bezugssystem ja nicht ändern kann.

Zitat:


Es hilft vielleicht, wenn wir zunächst mal die Grundbegriffe präzisieren. Eine Lorentztransformation ist nicht einfach eine Basistransformation, sondern eine lineare Selbstabbildung des Minkowskiraums mit der Eigenschaft



Erst aus dieser Eigenschaft folgt, daß wenn , dann auch eine Basis ist. Dieser sekundären Tatsache scheinst du irgendeine Bedeutung beizumessen, die ihr nicht zukommt.

Außerdem, wie kommst du darauf mit sei die Komponente von in Richtung gemeint? Warum nicht die Komponente von in Richtung ? kann zwar Element einer Basis sein, aber dasselbe gilt für .


Wie lautete das Transformationsgesetz, wenn da gestanden hätte oder ? Hängt es davon ab, daß du zufälligerweise weißt, ob ? Dann hinge das "richtige" Transformationsgesetz ja von den verwendeten Symbolen für denselben Vektor ab.
ich hätte jetzt gesagt, dass es eben darauf ankommt mit welcher Basis man arbeitet. Wenn meine Basis ist
dann ist doch klar, dass die i-Komponente von x
ist.


Zitat:


Ich will dich nur darauf hinweisen, daß das "richtige" Transformationsgesetz von einem beliebigen Term mit Indizes abzulesen ein schlecht definiertes Problem ist. Jede vermeintlich eindeutige Lösung beruht auf Scheinargumenten. Genau diese Scheinargumente führen dich in Bezug auf das Vektorpotential, welches du betrachtest, hier m.E. in die Irre.

Zitat:

Oder führst du Lorentztransformationen etwas nach dieser:

Vorschrift durch ?


So definiere ich sogar Lorentztransformationen. (Siehe Gl. (LT) oben.)

Das ist zwar richtig, nur hilft dir das ja nicht, herauszufinden, ob kontravariant sind. Du behauptest ja anscheinend unabhängig von dieser Definition zu erkennen, daß sie es nicht sind.

Ich kann alles was du schreibst nachvollziehen aber so ein richtiges Licht aufgeganen ist mir immernoch nicht. Wie finde ich denn dann heraus ob die Komponenten kontravariant sind ? Legt man das einfach fest und transformiert sie dann entsprechend?

Oben schreibst du ja selbst noch, dass
mit deiner Definition der Lorentztransformation erhält man dann doch
was ja im allgemeinen offenbar nicht zutrifft
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 28. März 2020 10:25    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:

Ich hab mir die Begründung warum man r als 4rer-Skalar definieren/betrachten kann noch nicht genau angeschaut. Werde ich mir aber heute noch vornehmen. Was mein ursprünglicher Gedanke war, wie sich A zu transformieren hat ist folgender:
Und wenn wäre, würde ich A' nicht aus obiger Transformation erhalten.


Wieso denn das nicht?  Du gehst anscheinend von irgendwelchen impliziten Annahmen aus, wie A' auszusehen hat.

An jeder Stelle wo die alten Koordinaten x,y,z,t vorkommen -- also insbesondere in -- setzt du die Transformation ein.  Dann multiplizierst du was auch immer dabei rauskommt mit (auch hier mußt du am Ende einsetzen) und fertig.  Das Ergebnis sind definitionsgemäß die kontravarianten Komponenten desselbe Vektors in den neuen Koordinaten x', y', z', t'.

Zitat:

Zitat:

Es hilft vielleicht, wenn wir zunächst mal die Grundbegriffe präzisieren.  Eine Lorentztransformation ist nicht einfach eine Basistransformation, sondern eine lineare Selbstabbildung des Minkowskiraums mit der Eigenschaft

 

Erst aus dieser Eigenschaft folgt, daß wenn , dann auch eine Basis ist.  Dieser sekundären Tatsache scheinst du irgendeine Bedeutung beizumessen, die ihr nicht zukommt.  

Außerdem, wie kommst du darauf mit sei die Komponente von in Richtung gemeint?  Warum nicht die Komponente von in Richtung ?   kann zwar Element einer Basis sein, aber dasselbe gilt für .


Wie lautete das Transformationsgesetz, wenn da gestanden hätte oder ?  Hängt es davon ab, daß du zufälligerweise weißt, ob ?  Dann hinge das "richtige" Transformationsgesetz ja von den verwendeten Symbolen für denselben Vektor ab.
ich hätte jetzt gesagt, dass es eben darauf ankommt mit welcher Basis man arbeitet.

Wenn meine Basis ist
dann ist doch klar, dass die i-Komponente von x
  ist.


Aber die Antwort bestätigt doch genau was ich sage. "Es kommt drauf an..." heißt, daß man eben nicht ansehen kann, wie sein "richtiges" Trasformationsgesetz lautet.

Mal ganz ohne suggestive Indexnotation, da von der Symbolik ohnehin nichts wesentliches abhängen kann: ist sowohl die Komponente von bzgl. des Basisvektors , als auch die Komponente von bzgl. des Basisvektors . (Falls einer der Vektoren null ist, erübrigt sich die Diskussion.) Wie lautet nun das richtige Transformationsgesetz für ,

oder

Und warum nicht ?

Zitat:

Ich kann alles was du schreibst nachvollziehen aber so ein richtiges Licht aufgeganen ist mir immernoch nicht. Wie finde ich denn dann heraus ob die Komponenten kontravariant sind ? Legt man das einfach fest und transformiert sie dann entsprechend?


Ja, man legt das einfach fest.  Und zwar dadurch, daß man sagt, mit welcher Art geometrischem Objekt man es zu tun hat, z.B. mit einem Vektor, einer 1-Form oder irgendwas anderem. So folgt das Transformationsgesetz von eindeutig daraus, daß es sich um die Komponenten des Vektorfeldes



bzgl. der Basis handelt. 

Mehr steckt nicht dahinter. Es ist dafür völlig egal, wie die von den Koordinaten x abhängen. Wenn man aber sagt A sei die 1-Form



(Indizes absichtlich verkehrtherum), dann haben dieselben Komponenten plötzlich ein anderes Transformationsgesetz.

Zitat:

Oben schreibst du ja selbst noch, dass
mit deiner Definition der Lorentztransformation erhält man dann doch
was ja im allgemeinen offenbar nicht zutrifft


Nein, nach konsequenter Anwendung der Definition gilt nur



Also die Nullkomponente von in der neuen Basis entspricht der Nullkomponente von k in der alten Basis.  Die Nullkomponente von k in der neuen Basis kommt da nirgendwo vor.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 29. März 2020 20:33    Titel: Antworten mit Zitat

ok sowiet einigermaßen klar. Aber betrachtet man im Fall der Kugelwelle r jetzt als Viererskalar oder als
?

Im zweiten Fall wäre ja r bei einem Lorentzboost nicht invariant.
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. März 2020 11:39    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
ok sowiet einigermaßen klar. Aber betrachtet man im Fall der Kugelwelle r jetzt als Viererskalar oder als
?

Im zweiten Fall wäre ja r bei einem Lorentzboost nicht invariant.


Du betrachtest die Komponenten als Funktion der Koordinaten x,y,z,t. Das Problem ist nun bzgl. der neuen Koordinaten x', y', z', t' zu finden. Dabei setzt du ein



und machst dasselbe für y, z, t. Also wird



zu



Ist dies gleich ? Nein. Spielt das eine Rolle? Nein, überhaupt keine.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
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Beitrag Corbi Verfasst am: 30. März 2020 14:30    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ich glaube jetzt hab ichs gerafft.

Ich glaube was mich verwirrt hat, ist, dass man immer wieder liest, dass die Kovarianz der Gleichungen bedeutet, dass die Gleichungen in allen Bezugssystemen die selbe "Form" haben. Das habe ich bisher so verstanden, dass


zu



Wird.
Aber wenn man kurz darüber nachdenkt, macht das überhaupt keinen Sinn. Der Ursprung von K' könnte ja sonst wo liegen. Also wäre das Einsetzen von r' ziemlich unsinnig
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. März 2020 15:46    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Ok ich glaube jetzt hab ichs gerafft.

Ich glaube was mich verwirrt hat, ist, dass man immer wieder liest, dass die Kovarianz der Gleichungen bedeutet, dass die Gleichungen in allen Bezugssystemen die selbe "Form" haben.


Das finde ich verständlich. Diese "Forminvarianz" von Gleichungen ist ein furchtbar vages Konzept. Der präzise Kerngedanke dahinter ist einfach "Symmetrie". Unter der Symmetrie einer Differentialgleichung wie kann man dabei einfach jede Transformation



der abhängigen und unabhängigen Variablen verstehen, welche Lösungen wieder auf Lösungen abbildet. Die Lösungen müssen keinswegs dieselbe "Form" haben (was auch immer genau das heißt), wie . Es muß nur gelten



was im allgemeinen eine nichttriviale Forderung an T ist. Die letzte Gl. kann man natürlich als "Forminvarianz" der Wellengleichung bezeichnen, aber es klingt nach einer Eigenschaft der Gleichung und nicht nach einer Forderung an T.

Hinzu kommt noch, daß man anscheinend manchmal auch die "allgemeine Kovarianz", also sowas die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem, als "Forminvarianz" bezeichnet, was etwas völlig anderes ist und überhaupt nichts mit Symmetrien zu tun hat.

Zitat:

Das habe ich bisher so verstanden, dass


zu



Wird


Ob das stimmt, hängt eben vom "richtigen" Transformationsgesetz ab. Es hindert dich ja nichts daran zu definieren



Das ist immer noch derselbe raumartige Abstand, zwischen denselben Ereignissen, wie vorher. Alles was sich geändert hat, ist der Name (die Koordinaten) eines dieser Ereignisse. Insbesondere sind sie nicht mehr "gleichzeitig" in dem Sinne, daß sie beide dasselbe t' haben.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 16. Apr 2020 17:01    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Hinzu kommt noch, daß man anscheinend manchmal auch die "allgemeine Kovarianz", also sowas die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem, als "Forminvarianz" bezeichnet, was etwas völlig anderes ist und überhaupt nichts mit Symmetrien zu tun hat.


weißt du ein gutes Buch, indem erklärt wird was es genau mit der allgemeinen Kovarianz auf sich hat und wie das genau mit dem Äquivalenzprinzip zusammenhängt ?
Im Fließbach wird suggeriert, dass die Rolle der Lorentz-Transformationen in der SRT von den allgemeinen Koordinatentransformationen in der ART übernommen wird und das Äquivalenzprinzip dabei die zugrundeliegende Symmetrie ist.
(habe dazu was in den Anhang gepackt).

Was mich daran verwirrt ist, dass Unabhängigkeit der physikalischen Gesetze vom Koordinatensystem ja auch ohne Äquivalenzprinzip gültig sein sollte. Und warum ist die Lorentz-Transformation richtig und die Galilei-Transformation falsch wenn man sowieso Kovarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen hat ?



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Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 17. Apr 2020 13:24    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Zitat:

Hinzu kommt noch, daß man anscheinend manchmal auch die "allgemeine Kovarianz", also sowas die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem, als "Forminvarianz" bezeichnet, was etwas völlig anderes ist und überhaupt nichts mit Symmetrien zu tun hat.


weißt du ein gutes Buch, indem erklärt wird was es genau mit der allgemeinen Kovarianz auf sich hat und wie das genau mit dem Äquivalenzprinzip zusammenhängt ?


Am aufschlußreichsten fand ich die Diskussion der allgemeinen Kovarianz in Wald, "General Relativity", Kap.4.1 und 4.3.  Dort wird auch der Zusammenhang zum Äquivalenzprinzip geknüpft.  Die Bemerkungen sind aber recht knapp, ich weiß nicht ob das alle deine Fragen beantwortet.  Viel über allgemeine Kovarianz und über das Äquivalenzprinzip findet man natürlich auch im MTW.

Zitat:

Im Fließbach wird suggeriert, dass die Rolle der Lorentz-Transformationen in der SRT von den allgemeinen Koordinatentransformationen in der ART übernommen wird und das Äquivalenzprinzip dabei die zugrundeliegende Symmetrie ist.


Ich glaube dies war mehr oder weniger einer von Einsteins Leitgedanken.  Allerdings habe ich meine Zweifel, daß diese Analogie vollkommen stimmt.  Wenn ich mich nicht irre hat Einstein auch seine Vorstellung von der Bedeutung des Begriffes "allgemeine Kovarianz" im Laufe der Zeit geändert.  Der Begriff bleibt m.E. ein bißchen vage (siehe aber unten).

Zitat:

Was mich daran verwirrt ist, dass Unabhängigkeit der physikalischen Gesetze vom Koordinatensystem ja auch ohne Äquivalenzprinzip gültig sein sollte. Und warum ist die Lorentz-Transformation richtig und die Galilei-Transformation falsch wenn man sowieso Kovarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen hat ?


Ich denke mit diesen Fragen bist du schon auf der richtigen Spur.  Du hast Recht: die Naturgesetze sind unabhängig von den Koordinatensystemen.  Dies gilt sowohl für die Newtonsche Mechanik, als auch für die Elektrodynamik, die die relativistische Mechanik einschließt, als auch für die Allgemeine Relativitätstheorie.  Für alle diese Theorien sind allgemein kovariante Formulierungen bekannt, in dem Sinne, daß man mit koordinatenunabhängigen Formulierungen der Grundgesetze (Bewegungsgleichungen, Feldgleichungen) startet.  Diese Gesetze  lassen sich in beliebigen Bezugs- oder Koordinatensytemen -- kartesisch, krummlinig, beschleunigt etc. -- auswerten, so daß sie in einer Klasse bevorzugter Koordinaten ihre allgemein bekannte Form annehmen.  Aber in jedem beliebigen Systeme beschreiben sie natürlich dieselben Gesetzmäßigkeiten.  

Lorentz-Transformation und Galilei-Transformation spielen völlig unabhängig von der Wahl der Koordinatensysteme die Rolle von Symmetrien der Bewegungsgleichungen.  Hierbei fragt man nicht, "wie lautet die Transformation der Gesetze in ein anderes Koordinatensystem?", sondern "welche Transformation der abhängigen und unabhängigen Größen in den Bewegungsgleichungen bilden Lösungen wieder auf Lösungen ab?" *)  Das ist der physikalisch relevante Unterschied zwischen der relativistischen und der nichtrelativistischen Dynamik, der auch besteht, obwohl beide Theorien allgemein kovariante Formulierungen haben.  Für die Feldgleichungen der ART sind, soweit ich weiß, überhaupt keine allgemeinen Symmetrien bekannt.  Nur für spezielle Lösungen kennt man welche.  Diese haben im allgemeinen mit der Lorentzgruppe gar nichts zu tun und können natürlich auch kleiner sein.   In diesem Sinne sind also nicht mehr Transformationen "zulässig", sondern weniger. 
________
*)  Wenn für die Bewegungsgleichungen ein Prinzip der stationären Wirkung gilt, dann fragt man "Welche Transformationen lassen die Wirkung bis auf Randterme invariant?".  Diese Invarianz ist eine stärkere Forderung und führt auf den Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen, der für Symmetrien von Bewegungsgleichungen im allgemeinen nicht gilt.

***

Die Überlegungen oben führen zu der Vermutung, daß das Prinzip der "allgemeinen Kovarianz" trivial ist ohne jeglichen physikalischen oder mathematischen Inhalt.  Jede Theorie ist allgemein kovariant, in dem Sinne von "in jedem Koordinaten- oder Bezugssystem gültig".  Die ART ist da überhaupt keine Ausnahme.  Dieser Standpunkt wurde offenbar von Kretschmann in einigen Arbeiten vertreten. Einige Aspekte hierzu werden (bezugnehmend auf Kretschmann) auch in MTW, Gravitation diskutiert.  Dort findet sich auch eine allgemein kovariante Formulierung der Newtonschen Gravitationstheorie. (Die Reaktion von Einstein auf Kretschmanns Argumente, nachzulesen in dem Wikipedia-Artikel, ist auch recht interessant.)

Wald, General Relativity, benutzt eine interessante Variante des "Prinzips der Allgemeinen Kovarianz" als die Forderung, daß lediglich die Metrik und "aus ihr abgeleitete Größen" sich in den Naturgesetzen explizit auf die Struktur der Raumzeit beziehen dürfen.  Das ist immer noch ein bißchen vage, aber nicht mehr komplett ohne Inhalt.  Gemeint ist, daß z.B. nicht irgendwelche ausgezeichneten Vektorfelder oder Basen, die keine dynamischen Freiheitsgrade beschreiben, sondern einfach so in der Raumzeit rumhängen, in den Gleichungen auftauchen dürfen. Ich vermute der Grundgedanke hier läßt sich durch die Forderung präzisieren, daß in jeder Raumzeit zumindest die Isometrien von auch Symmetrien der Feldgleichungen sind.  Insbesondere würde aus der allgemeinen Kovarianz folgen, daß alle Feldgleichungen im Minkowskiraum zumindest poincareinvariant sind.  (Die Tatsache, daß, wie im Minkowskiraum, die Metrik Isometrien besitzt, die gleichzeitig Symmetrien der Feldgleichungen sind, wird auch als "spezielle Kovarianz" bezeichnet, was verwirrend ist, da es sich, wie gesagt, eigentlich nicht um einen Spezialfall der allgemeinen Kovarianz handelt.)

Mit dem Äquivalenzprinzip hat das ganze noch nicht direkt etwas zu tun.  Es ist aber automatisch erfüllt, wenn 1) die Gleichungen allgemein kovariant sind und 2) sie zusätzlich in ihre speziell-relativistische Form übergehen, sofern die Metrik verschwindende Krümmung hat.  In diesem Fall kann ja ein frei fallender Beobachter keine Effekte von Gravitation feststellen.  Man sieht auch, daß die allgemeine Kovarianz in diesem Sinne ein guter Ausgangspunkt ist um die Erfüllung des Äquivalenzprinzips zu sichern.   (Ich denke diese Rolle spielte allgemeine Kovarianz auch für Einstein.)  Beide Prinzipien zusammen kann man nämlich gut dazu verwenden um aus der speziell-relativistischen Form der Feldgleichungen die Kopplung der Felder an Gravitation zu raten, z.B. indem man alle Ableitungen durch kovariante Ableitungen (die nur und Ableitungen enthalten) ersetzt.  "Raten" muß man trotzdem ein bißchen, weil die Gleichungen durch 1) und 2) im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt sind.  Oft gibt es aber nur eine physikalisch plausible Alternative.  (Auch dazu steht viel im Wald und in MTW.)
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 17. Apr 2020 17:49    Titel: Antworten mit Zitat

Wow danke für den ausführlichen Beitrag.


Zitat:
Mit dem Äquivalenzprinzip hat das ganze noch nicht direkt etwas zu tun. Es ist aber automatisch erfüllt, wenn 1) die Gleichungen allgemein kovariant sind und 2) sie zusätzlich in ihre speziell-relativistische Form übergehen, sofern die Metrik verschwindende Krümmung hat. In diesem Fall kann ja ein frei fallender Beobachter keine Effekte von Gravitation feststellen.


Mir leuchtet grade nicht ganz ein warum nicht allein 2) ausreicht damit dem freifallenden Beobachter keine Gravitationseffekte auffallen.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 18. Apr 2020 15:08    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Wow danke für den ausführlichen Beitrag.


Zitat:
Mit dem Äquivalenzprinzip hat das ganze noch nicht direkt etwas zu tun. Es ist aber automatisch erfüllt, wenn 1) die Gleichungen allgemein kovariant sind und 2) sie zusätzlich in ihre speziell-relativistische Form übergehen, sofern die Metrik verschwindende Krümmung hat. In diesem Fall kann ja ein frei fallender Beobachter keine Effekte von Gravitation feststellen.


Mir leuchtet grade nicht ganz ein warum nicht allein 2) ausreicht damit dem freifallenden Beobachter keine Gravitationseffekte auffallen.


Also ich denke beide Bedingungen sind allein ausreichend. (Ich hätte also "oder" schreiben sollen.) Wenn die Gesetze allgemein kovariant sind, dann lauten sie ja identisch im flachen, wie im gekrümmten Raum.

Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten z.B. einfach



Das gilt sowohl in der ART also auch in der SRT. Mit der allgemeinen Kovarianz reduziert sich das Problem, das Äquivalenzprinzip zu erfüllen aber mehr oder weniger auf die Frage, welche Gesetze im Minkowskiraum gelten. Nur "mehr oder weniger", weil man ja nicht wissen kann, ob Krümmungsterme deshalb nicht vorkommen, weil die Raumzeit flach ist oder weil eben die Felder nicht daran koppeln.

Ich denke, der Punkt ist also eher der, mit Hilfe von 1) ein paar physikalisch unsinnige Möglichkeiten auszuschließen, die nach 2) formal erlaubt wären. Z.B. könnte man auch vermuten, daß die erste Maxwellgleichung lautet



wobei R die Krümmung und X ein ausgezeichnetes Vektorfeld ist. Im flachen Raum merkt man nichts von X, aber nur, weil dort R verschwindet. Nur die allgemeine Kovarianz schließt dies aus.
Corbi



Anmeldungsdatum: 17.07.2018
Beiträge: 284

Beitrag Corbi Verfasst am: 18. Apr 2020 20:07    Titel: Antworten mit Zitat

okay das leuchtet ein.
Werde mir dann bald einfach mal das WTM zulegen. Werden darin auch Skalar-Tensor-Theorien diskutiert ?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
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Beitrag index_razor Verfasst am: 19. Apr 2020 14:31    Titel: Antworten mit Zitat

Soweit ich mich erinnere wird Brans-Dicke dort etwas ausfürhlicher diskutiert in einem Kapitel in dem es allgemein um alternative Gravitationstheorien geht. Der Kontext ist hauptsächlich experimentelle Tests der ART. Aber der Fokus des Buches liegt schon eher auf der Standardtheorie.

EDIT: Mir ist gerade noch was aufgefallen:

index_razor hat Folgendes geschrieben:




Hier hatte ich die Symmetrien (Bianchi-Identität) von R falsch in Erinnerung. So wie die Gleichung dasteht, ergibt sie keinen Sinn. Das ändert aber nichts grundlegendes: ich wollte ja nur auf die Möglichkeit hinaus, nicht-kovariante Terme zu formulieren, die im flachen Raum verschwinden. Eine andere Möglichkeit wäre z.B. oder etwas in der Art.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 20. Apr 2020 12:54    Titel: Antworten mit Zitat

Allright.

Wenn man dann die Newtonsche Mechanik allgemein Kovariant formuliert, dann bilden trotz allgemeiner Kovarianz die Lorentztransformationen Lösungen nicht wieder auf Lösungen ab.

Verstehe ich das richtig?
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 21. Apr 2020 19:18    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:

Wenn man dann die Newtonsche Mechanik allgemein Kovariant formuliert, dann bilden trotz allgemeiner Kovarianz die Lorentztransformationen Lösungen nicht wieder auf Lösungen ab.


Im allgemeinen nicht. Es kann aber natürlich im Einzelfall Gleichungen mit höherer Symmetrie geben. Die Lösungen der Gleichung sind z.B. einfach Geraden. Jede affine Abbildung ist also eine Symmetrie. (Mit Ausnahme , d.h. muß der Graph einer Funktion bleiben.)

Zitat:

Verstehe ich das richtig?


Ich glaube schon.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 30. März 2021 13:23    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:


Hinzu kommt noch, daß man anscheinend manchmal auch die "allgemeine Kovarianz", also sowas die Unabhängigkeit vom Koordinatensystem, als "Forminvarianz" bezeichnet, was etwas völlig anderes ist und überhaupt nichts mit Symmetrien zu tun hat.



Ich habe mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen und verstehe noch nicht ganz warum es sich bei der Unabhängigkeit vom Koordinatensystem um etwas völlig anderes handelt.

Könnte man in der ART die allgemeinen Koordinatentransformationen (KT) nicht genauso als solche Symmetrie auffassen wie du sie vorher beschrieben hast:



jetzt gilt doch sowohl



als auch



Die unabhängigkeit vom Koordinatensystem entspricht also genau deiner vorigen Definition der Symmetrie einer DGl

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index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. März 2021 16:02    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:


Ich habe mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen und verstehe noch nicht ganz warum es sich bei der Unabhängigkeit vom Koordinatensystem um etwas völlig anderes handelt.


Du kannst jede Lösung deiner Gleichungen von jedem beliebigen Koordinatensystem aus beschreiben. Es bleibt aber immer dieselbe Lösung. Eine (nichttriviale) Symmetrieransformation hingegen beschreibt einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Lösungen deiner Gleichung. Wo siehst du da einen Zusammenhang?

Zitat:

Könnte man in der ART die allgemeinen Koordinatentransformationen (KT) nicht genauso als solche Symmetrie auffassen wie du sie vorher beschrieben hast:



jetzt gilt doch sowohl



als auch



Die unabhängigkeit vom Koordinatensystem entspricht also genau deiner vorigen Definition der Symmetrie einer DGl


Nein, die Einsteingleichungen werden aufgefaßt als Gleichungen für die Metrik g. Folglich beinhaltet meine Definition der Symmetrie der Einsteingleichungen auch nur eine Transformation von und Ableitungen . T hängt aber nur von x und nicht von g ab. Also steht nach der Symmetrietranformation auf der rechten Seite T(x'), nicht T'(x'). (Angenommen mit T -> T' meinst du das übliche Tensortransformationsgesetz.)

Wenn du die gekoppelten Gleichungen für g und Materiefelder A betrachtest, dann folgt die Transformation von T natürlich aus der von A. Aber in die Definition der Symmetrietransformation gehört dann natürlich auch die Invarianz der Gleichungen für A.

Möglicherweise kann es auch sinnvoll sein eine Symmetrie von nur einem Teil der Gleichungen zu definieren und z.B. die Gleichungen für A zu ignorieren. Aber ich kenne keine systematische Untersuchung dieser Frage.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 30. März 2021 18:57    Titel: Antworten mit Zitat

index_razor hat Folgendes geschrieben:


Du kannst jede Lösung deiner Gleichungen von jedem beliebigen Koordinatensystem aus beschreiben. Es bleibt aber immer dieselbe Lösung. Eine (nichttriviale) Symmetrieransformation hingegen beschreibt einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Lösungen deiner Gleichung. Wo siehst du da einen Zusammenhang?


Okay. Wir hatten es ja oben erstmal von Lorentz-transformationen. Im Fall der Wellengleichung für das Vektorpotential transformiert die Lorentz-transformation ja auch nur dieselbe Lösung von A auf ein anderes Koordinatensystem und nicht auf eine neue Lösung.

Die Lorentztransformation ist in diesem Fall also kein Beispiel für eine nichttriviale Symmetrietransformation. Wieso hast du dann in diesem Zusammenhang überhaupt die Symmetrie-transformationen ins Spiel gebracht?

Ich bin davon ausgegangen, bei der Lorentztransformation handelt es sich in diesem Zusammenhang um eine solche Symmetrietransformation und hab das Konzept daher dann auf die allgemeinen Koordinatentransformationen übertragen.

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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. März 2021 19:11    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
index_razor hat Folgendes geschrieben:


Du kannst jede Lösung deiner Gleichungen von jedem beliebigen Koordinatensystem aus beschreiben. Es bleibt aber immer dieselbe Lösung. Eine (nichttriviale) Symmetrieransformation hingegen beschreibt einen Zusammenhang zwischen verschiedenen Lösungen deiner Gleichung. Wo siehst du da einen Zusammenhang?


Okay. Wir hatten es ja oben erstmal von Lorentz-transformationen. Im Fall der Wellengleichung für das Vektorpotential transformiert die Lorentz-transformation ja auch nur dieselbe Lösung von A auf ein anderes Koordinatensystem und nicht auf eine neue Lösung.

Die Lorentztransformation ist in diesem Fall also kein Beispiel für eine nichttriviale Symmetrietransformation.


Doch natürlich. Hier habe ich den Begriff Lorentztransformation definiert

index_razor hat Folgendes geschrieben:

Eine Lorentztransformation ist nicht einfach eine Basistransformation, sondern eine lineare Selbstabbildung des Minkowskiraums mit der Eigenschaft




Das ist also keine Koordinatentransformation. Und wenn man auf ein Vektorpotential anwendet, dann kommt ein anderes Vektorpotential heraus, was wieder die Maxwellgleichungen erfüllt, wenn das ursprüngliche Vektorpotential sie ebenfalls erfüllt hat.

Du kannst natürlich stattdessen eine Lorentztransformation auch einfach als eine sehr spezielle Koordinatentransformation ansehen. Aber daran kannst du nicht mehr den Unterschied zwischen Lorentzinvarianz und allgemeiner Kovarianz verstehen.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 30. März 2021 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Das ist also keine Koordinatentransformation. Und wenn man auf ein Vektorpotential anwendet, dann kommt ein anderes Vektorpotential heraus, was wieder die Maxwellgleichungen erfüllt, wenn das ursprüngliche Vektorpotential sie ebenfalls erfüllt hat.

Du kannst natürlich stattdessen eine Lorentztransformation auch einfach als eine sehr spezielle Koordinatentransformation ansehen. Aber daran kannst du nicht mehr den Unterschied zwischen Lorentzinvarianz und allgemeiner Kovarianz verstehen.


Das ergibt noch keinen Sinn für mich. Wenn ich die Lorentztransformation also nicht als Koordinatentransformation ansehe, gibt mir die Transformation des Vektorpotentials eine neue Lösung und wenn ich die Lorentztransformation als Koordinatentransformation ansehe gibt mir die Transformation keine neue Lösung?

Inwiefern spielt es eine Rolle als was ich die Lorentztransformation ansehe und worin genau liegt der Unterschied dieser Ansichten?

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Beitrag index_razor Verfasst am: 30. März 2021 22:24    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Zitat:
Das ist also keine Koordinatentransformation. Und wenn man auf ein Vektorpotential anwendet, dann kommt ein anderes Vektorpotential heraus, was wieder die Maxwellgleichungen erfüllt, wenn das ursprüngliche Vektorpotential sie ebenfalls erfüllt hat.

Du kannst natürlich stattdessen eine Lorentztransformation auch einfach als eine sehr spezielle Koordinatentransformation ansehen. Aber daran kannst du nicht mehr den Unterschied zwischen Lorentzinvarianz und allgemeiner Kovarianz verstehen.


Das ergibt noch keinen Sinn für mich. Wenn ich die Lorentztransformation also nicht als Koordinatentransformation ansehe, gibt mir die Transformation des Vektorpotentials eine neue Lösung und wenn ich die Lorentztransformation als Koordinatentransformation ansehe gibt mir die Transformation keine neue Lösung?


Ja, das sind natürlich verschiedene Definitionen von "Lorentztransformation". Eine Selbstabbildung des Minkowskiraums mit der Eigenschaft (LT) ist keine Koordinatentransformation. Trotzdem verbietet dir keiner spezielle Koordinatentransformationen als "Lorentztransformation" zu bezeichnen, und viele machen das nunmal. Man sollte nur nicht beides gleichzeitig als "Lorentztransformation" bezeichnen, sonst ergibt es keinen Sinn. Um beide Varianten begrifflich zu unterschieden, nennt man die eine auch "aktive" und die andere "passive" Transformation.


Zitat:

Inwiefern spielt es eine Rolle als was ich die Lorentztransformation ansehe und worin genau liegt der Unterschied dieser Ansichten?


Die eine Variante bildet jeden Vektor des Minkowskiraums auf einen (evtl. verschiedenen) Vektor ab (=aktive Lorentztransformation). Die andere Variante bildet die Komponenten jedes Vektors bzgl. irgendeiner Basis auf andere Komponenten desselben Vektors bzgl. einer anderen Basis ab (=passive Lorentztransformation). Es handelt sich also um vollkommen verschiedene Arten von Abbildungen.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 01. Apr 2021 09:58    Titel: Antworten mit Zitat

Ok das heißt bei einer aktiven Transformation des Vektors A wende ich die Transformation auf den Vektor A selbst an und bei einer passiven Transformation lasse ich den Vektor A invariant und wende eine aktive Transformation auf die Basisvektoren an.
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Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Apr 2021 11:13    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Ok das heißt bei einer aktiven Transformation des Vektors A wende ich die Transformation auf den Vektor A selbst an und bei einer passiven Transformation lasse ich den Vektor A invariant und wende eine aktive Transformation auf die Basisvektoren an.


Eine aktive Transformation hat die Form



Es entsteht also ein neuer Vektor mit Komponenten



bzgl. irgendeiner fixen Basis .

Eine Passive Transformation ergibt sich aus der Identität



Hier betrachtet man also denselben Vektor wie vorher, nur eben bzgl. der Basis . Deshalb ändern sich hier ebenfalls seine Komponenten zu



Wenn man nur die Komponenten betrachtet, kann man beide Konzepte also nicht voneinander unterscheiden.

In beiden Fällen habe ich irgendwann mal eine aktive Transformationn der Basis durchgeführt: bei der aktiven Transformation habe ich gebildet und das Resultat bzgl. entwickelt; bei der passiven Transformation habe ich dasselbe gemacht. Der gesamte Vektor wurde dann allerdings bzgl. der Basis dargestellt.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 01. Apr 2021 12:02    Titel: Antworten mit Zitat

Okay danke dir! Das ist dann klar soweit.

Ich verstehe aber die Definition der Symmetrie noch nicht ganz.
Du sagst ja die Gleichung ist Symmetrisch unter Lorentztransformationen wenn gilt:



und



aber würde das nicht einfach einen Wechsel des Koordinatensystems bedeuten?

Müsste die Symmetrieeigenschaften dann nicht eher so lauten:



und


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Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Apr 2021 21:30    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Okay danke dir! Das ist dann klar soweit.

Ich verstehe aber die Definition der Symmetrie noch nicht ganz.
Du sagst ja die Gleichung ist Symmetrisch unter Lorentztransformationen wenn gilt:



und




Nein, ich sage die Gleichung



ist invariant unter Lorentztransformationen ohne wenn und aber. Wie können wir die Invarianz beweisen?

Zunächst müssen wir spezifizieren, wie sich die abhängigen und unabhängigen Variablen transformieren. Es handelt sich in beiden Fällen um Vektoren, also . Der Graph eines Vektorfeldes transformiert sich also in die Menge . Das ist der Graph der Funktion . Dies ist das transformierte Vektorfeld.

Jetzt ist die Frage also: erfüllt auch die Gleichung (W)? Dazu müssen wir nur einsetzen



Da eine Lorentztransformation ist, gilt (die korrekte Indexstellung spare ich mir hier mal)



ud folglich



da laut Voraussetzung eine Lösung von (W) ist. Also ist auch eine Lösung. Das zeigt, daß -- genauer gesagt -- eine Symmetrie von (W) ist.

Die Transformation von spielte dabei keine besondere Rolle, mit Ausnahme der Tatsache, daß sie nicht von x abhing und linear war und deshalb gut an den Ableitungen vorbeigezogen werden konnte.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 03. Apr 2021 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

okay und eine (Lorentz-)Koordinatentransformation von W würde dann im Gegenzug einfach so lauten:



Was dann für beliebige, lineare Koordinatentransformationen und nicht nur für Lorentz-Koordinatentransformationen gültig ist.

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Beitrag Corbi Verfasst am: 06. Apr 2021 11:44    Titel: Antworten mit Zitat

Mir ist jetzt aber der physikalische Bezug zum Relativitätsprinzip noch nicht ganz klar. Das Relativitätsprinzip besagt ja, dass die physikalischen Gesetz in allen Inertialsystemen die selben sind.

Bisher habe ich es so verstanden, dass der Wechsel des Inertialsystems einer passiven Lorentztransformation entspricht und das Relativitätsprinzip somit besagt, dass passive Lorentztransformationen die Form der Gesetze (in Koordinatendarstellung) nicht ändern. (so wird es z.B. im Lehrbuch von Nolting erklärt)

Wenn die Lorentzinvarianz jetzt nur etwas mit aktiven Lorentztransformationen zu tun hat, wie genau hängt die Lorentzinvarianz dann mit dem Relativitätsprinzip zusammen?

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Beitrag index_razor Verfasst am: 06. Apr 2021 17:20    Titel: Antworten mit Zitat

Corbi hat Folgendes geschrieben:
Mir ist jetzt aber der physikalische Bezug zum Relativitätsprinzip noch nicht ganz klar. Das Relativitätsprinzip besagt ja, dass die physikalischen Gesetz in allen Inertialsystemen die selben sind.


Das ist eben keine besonders gehaltvolle Formulierung des Relativitätsprinzips. Die allgemeine Kovarianz besagt ja, daß die physikalischen Gesetze unabhängig vom Koordinatensystem bzw. in allen Koordinatensystemen dieselben sind. Da diese Eigenschaft so ziemlich alle physikalischen Gesetze von der Newtonschen Mechanik bis zur Allgemeinen Relativitätstheorie besitzen, bliebe nicht mehr viel für das "Relativitätstprinzip" zu behaupten übrig.

Sinnvoller ist deshalb die Formulierung des Relativitätstprinzips, nach der alle Naturgesetzte symmetrisch unter Galilei- bzw. Lorentztransformationen sind. Das ist eine völlig andere Aussage, die auch auf allgemein kovariante Theorien, wie die ART nicht zuzutreffen braucht.

Zitat:

Bisher habe ich es so verstanden, dass der Wechsel des Inertialsystems einer passiven Lorentztransformation entspricht und das Relativitätsprinzip somit besagt, dass passive Lorentztransformationen die Form der Gesetze (in Koordinatendarstellung) nicht ändern. (so wird es z.B. im Lehrbuch von Nolting erklärt)


Und was genau ist die "Form" eines Naturgesetzes? Haben nicht alle Naturgesetze in Koordinatendarstellung die Form G=0 für geeignet definiertes G? Inwiefern hat



eine andere "Form" als



Die Symmetrie (Invarianz) einer Gleichung unter einer bestimmten Transformation ist andererseits einer sehr präzise definierte Eigenschaft dieser Gleichung.
Corbi



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Beitrag Corbi Verfasst am: 06. Apr 2021 18:07    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:

Das ist eben keine besonders gehaltvolle Formulierung des Relativitätsprinzips. Die allgemeine Kovarianz besagt ja, daß die physikalischen Gesetze unabhängig vom Koordinatensystem bzw. in allen Koordinatensystemen dieselben sind. Da diese Eigenschaft so ziemlich alle physikalischen Gesetze von der Newtonschen Mechanik bis zur Allgemeinen Relativitätstheorie besitzen, bliebe nicht mehr viel für das "Relativitätstprinzip" zu behaupten übrig.


genau das macht mich jetzt ja auch stutzig, da es in eigentlichen allen Lehrbüchern in die ich bis jetzt reingeschaut habe so formuliert ist.

Zitat:

Sinnvoller ist deshalb die Formulierung des Relativitätstprinzips, nach der alle Naturgesetzte symmetrisch unter Galilei- bzw. Lorentztransformationen sind. Das ist eine völlig andere Aussage, die auch auf allgemein kovariante Theorien, wie die ART nicht zuzutreffen braucht.


Kann man aus dieser Formulierung ableiten, dass Lorentztransformation die korrekten Koordinaten-Transformationen für den Wechsel zwischen Inertialsystemen sind?
In der Praxis verwendet man ja letztendlich passive Lorentztransformationen um Informationen von einem Inertialsystem ins andere zu übersetzen. In diesem Sinne ist die Lorentztransformation eine korrekte Koordinatentransformation zwischen zwei Inertialsystemen. Kann man das jetzt aus der Lorentz-Symmetrie ableiten?
*Edit: ok das folgt nicht aus der Symmetrieeigenschaft sondern aus dem Postulat der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit

Zitat:

Und was genau ist die "Form" eines Naturgesetzes? Haben nicht alle Naturgesetze in Koordinatendarstellung die Form G=0 für geeignet definiertes G? Inwiefern hat



eine andere "Form" als



Die Symmetrie (Invarianz) einer Gleichung unter einer bestimmten Transformation ist andererseits einer sehr präzise definierte Eigenschaft dieser Gleichung.


Ich sehe die Schwierigkeit. Mir hat es mit diesem Konzept von Anfang an nicht eingeleuchtet warum die Maxwellgleichungen nicht Forminvariant unter Galilei-Transformationen sein sollen und was die besondere Rolle der Lorentz-transformationen jetzt sein soll.

Ich sehe aber trotzdem noch nicht ganz welcher Zusammenhang zwischen der Symmetrieeigenschaft und der Erfahrungstatsache, dass physikalische Experimente in allen Inertialsystemen gleich ablaufen (was ja den ursprünglichen Gedanken des Relativitätsprinzips dastellt), besteht.

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Beitrag Corbi Verfasst am: 06. Apr 2021 21:21    Titel: Antworten mit Zitat

Zitat:
Ich sehe aber trotzdem noch nicht ganz welcher Zusammenhang zwischen der Symmetrieeigenschaft und der Erfahrungstatsache, dass physikalische Experimente in allen Inertialsystemen gleich ablaufen (was ja den ursprünglichen Gedanken des Relativitätsprinzips dastellt), besteht


Ist der Zusammenhang der, dass die Vektoren, die die Bewegungen der Inertialsysteme beschreiben beides Lösungen einer relativistischen Bewegungsgleichung (Minkowski-Kraft) sind und dabei durch eine Symmetrietransformation ineinander überführt werden können?

Das würde dann heißen:
Wenn man die Bewegung eines Systems durch eine Symmetrietransformation der zugrundeliegenden Bewegungsgleichung in die Bewegung eines anderen Systems überführen kann, dann laufen in beiden Systemen die Experimente gleich ab.

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