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CyKo.47
Anmeldungsdatum: 28.01.2017
Beiträge: 6
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 CyKo.47 Verfasst am: 29. Jan 2017 00:15 Titel: Integral Sinus[phi(t)] |
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Guten Abend allerseits ,
im Zuge meines Studienbeginns und der Physik A2 Vorlesung bin ich nun schon öfters hier übers Forum gestoßen und habe wertvolle Antworten bekommen. Echt klasse  Besonders der Vergleich zur Mathematik-Board, die sind wohl i.wie anders, die Mathematiker. Ich freue mich und hoffe, dass ich alle meine zukünftigen Fragen geklärt bekomme und dass ich selber konstruktiv dazu beitragen kann selbst welche zu beantworten.
Zur eigentliche Frage. Ich habe die Sufu natürlich benutzt und auch gegoogelt, wusste aber nicht so recht wie ich meine Frage stellen soll. Und zwar geht um das Integral des Sinus und Kosinus im Zuge der Kinetik starrer Körper und allgemein.
Wenn ich den Sinus bzw. Kosinus integrieren nach x, war mir bis jetzt eig. sehr bewusst wie das zu machen ist.
Nun geht es um den Winkel phi im Sinus, welcher in Abhängigkeit zur Zeit ist. Differenziere ich z.b die Funktion sin[phi(t)] nach phi, so bekomme ich omega*cos[phi(t)]. Soweit so klar. Nun gehörte es aber zum Standard, wenn ich das Integral bilde von sin[phi(t)], dass ich als Ergebnis -cos[phi(t)] angebe. Die Ergebnisse stimmten auch immer und man erhielt das, was man wollte.
Aber müsste es nicht eig dermaßen lauten:
 \, d\varphi = \int sin(\omega \cdot t ) \, dt = \frac{-cos(\omega \cdot t)}{\omega})
Die Frage fiel aus heiterem Himmel und hat mich ins Grübeln gebracht. Ich bin dankbar über jede Aufklärung.
Mfg Marius |
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Duke711
Anmeldungsdatum: 26.01.2017
Beiträge: 434
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| Duke711 Verfasst am: 29. Jan 2017 01:09 Titel: |
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Ja richtig:
 \, d\varphi = \int sin(\omega \cdot t ) \, dt = -\frac{cos(\omega \cdot t)}{\omega}) |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 29. Jan 2017 10:09 Titel: |
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 \cdot dt)
 \cdot du =- \frac{cos(\omega\cdot t) }{\omega}) |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5875
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| Myon Verfasst am: 29. Jan 2017 10:14 Titel: |
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| Duke711 hat Folgendes geschrieben: | Ja richtig:
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Das ist nicht richtig. Eine Integration über  ist nicht dasselbe wie eine Integration über  . Wenn  und substituiert werden soll, ist (zur Klarheit mit Integrationsgrenzen)
\,\dd \varphi=\int_{t_1}^{t_2}\sin(\omega t)\omega\,\dd t=\cos(\omega t_1)-\cos(\omega t_2)) , aber
\,\dd t=\frac{1}{\omega}(\cos(\omega t_1)-\cos(\omega t_2))) |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 29. Jan 2017 12:01 Titel: |
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Der ganze Ansatz stimmt nicht.
Gesucht:
Es gilt:
\cdot \dd \varphi )
 )
 \cdot \frac{\dd \varphi }{\dd t} )
 \cdot \omega)
 \cdot \omega\cdot \dd t = \omega \cdot \int \sin(\omega \cdot t )\cdot \dd t = - \cos(\omega \cdot t ) = - \cos(\varphi ) =\int \sin(\varphi ) \cdot d\varphi ) |
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CyKo.47
Anmeldungsdatum: 28.01.2017
Beiträge: 6
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| CyKo.47 Verfasst am: 30. Jan 2017 22:32 Titel: |
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Moin,
erstmal vielen Dank für die Antworten, auch wenn geteilte Meinungen vorliegen. Da bis jetzt immer mit dem Integral ohne Omega im Nenner gearbeitet wurde, bin ich natürlich für eine geeignete Erklärung warum das so ist offen, und der Ansatz von Mathefix scheint mir eindeutig. 
Auch wenn ich die Mathematik dahinter noch nicht verstanden habe, denk ich mal das ist in Anlehnung Substitution der Integrationskonstanten und ergänzen der Ableitung.
Grüße |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 30. Jan 2017 22:48 Titel: Re: Integral Sinus[phi(t)] |
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Es kommt ganz darauf an, ob Du über oder über t integrieren willst. Das hast Du von Anfang an nicht eindeutig gesagt. Dein allererster Ansatz ist jedenfalls falsch.
| CyKo.47 hat Folgendes geschrieben: |  \, d\varphi = \int sin(\omega \cdot t ) \, dt = ... ) |
Selbst wenn  , dann ist  noch lange nicht dt, sondern  .
Also worüber wolltest Du eigentlich integrieren, über oder über t? |
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CyKo.47
Anmeldungsdatum: 28.01.2017
Beiträge: 6
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| CyKo.47 Verfasst am: 30. Jan 2017 22:57 Titel: |
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Integrieren muss ich über  . Mein erster Ansatz war auch nur eine "Spekulation", da ich auf mein Gedankenfehler aufmerksam machen wollte.
Der eigentliche Ursprung der Frage ist der Tatsache entsprungen, dass wenn ich  ) ableite nach , man ebend auch die Abhängigkeit zur Zeit betrachtet und das Ergebnis der Ableitung mit Omega multipliziert.
Gruß |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 30. Jan 2017 23:08 Titel: |
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| CyKo.47 hat Folgendes geschrieben: |
Der eigentliche Ursprung der Frage ist der Tatsache entsprungen, dass wenn ich ableite nach , man ebend auch die Abhängigkeit zur Zeit betrachtet und das Ergebnis der Ableitung mit Omega multipliziert. |
Nein, das tut man nicht. Das tut man nur, wenn man nach der Zeit ableitet und wenn ist.
Wenn Du dagegen den Sinus nach dem Winkel ableitest, erhältst Du in jedem Fall
}{d\varphi}=\cos{\varphi})
auch wenn ist. Das ist doch die altbekannte Ableitungsregel. |
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GvC
Anmeldungsdatum: 07.05.2009
Beiträge: 14861
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| GvC Verfasst am: 30. Jan 2017 23:15 Titel: |
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| CyKo.47 hat Folgendes geschrieben: | | Integrieren muss ich über . |
Wenn das tatsächlich so ist, dann erhältst Du nach altbekannter Integrationsregel
Es sei denn, Du willst doch über t integrieren. In welchem fachlichen Zusammenhang hat sich die Frage denn gestellt? |
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CyKo.47
Anmeldungsdatum: 28.01.2017
Beiträge: 6
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| CyKo.47 Verfasst am: 30. Jan 2017 23:28 Titel: |
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Ach mensch tut mir leid, ja beim Differenzieren haben wir nach der Zeit abgeleitet...... Glaub da liegt der Hund begraben.
Es ging um Kinetik, ein Massepunkt wird von der Schwerkraft beschleunigt und bewegt sich auf einer Kreisbahn, also entlang einer "Kuhle"/"Halbkreis". Man solle die Zwangskraft berechnen, welche beim Vorgang wirkt, und als Ergebnis hat man eine DGL, mit der Erdbeschleunigung in Abhängigkeit zum Winkel und der Normalkraft auf der "linken" Seite, und der Zentripetalkraft auf der rechten Seite. Daraus enstand die Aufgabe des Integrierens.
Aber ich glaube ich hab mich da in was reingewurschelt, da wir beim Ableiten dt betrachtet haben  |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 31. Jan 2017 09:46 Titel: |
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| CyKo.47 hat Folgendes geschrieben: | Moin,
..., und der Ansatz von Mathefix scheint mir eindeutig.
Auch wenn ich die Mathematik dahinter noch nicht verstanden habe, x...
Grüße |
Da gibt´s nicht viel zu verstehen.
Von  auf
kommt man durch einfaches Erweitern mit  |
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CyKo.47
Anmeldungsdatum: 28.01.2017
Beiträge: 6
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| CyKo.47 Verfasst am: 31. Jan 2017 10:59 Titel: |
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Denk mal schon dass es da was zum Verstehen geben muss. Dir scheint das jetzt eindeutig, aber ich erweitere ja nicht simpel mit dphi/dphi, ich ändere ja auch das Argument im Sinus.
Stell mich nicht als dumm hin. |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 31. Jan 2017 14:03 Titel: |
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| CyKo.47 hat Folgendes geschrieben: | Denk mal schon dass es da was zum Verstehen geben muss. Dir scheint das jetzt eindeutig, aber ich erweitere ja nicht simpel mit dphi/dphi, ich ändere ja auch das Argument im Sinus.
Stell mich nicht als dumm hin. |
Ich hab Dich nicht als dumm dargestellt, sondern lediglich gezeigt, wie mit einer einfachen Operation die ursprüngliche Funktion f(phi) in f(t) überführt werden kann. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 31. Jan 2017 17:31 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Da gibt´s nicht viel zu verstehen.
Von auf
kommt man durch einfaches Erweitern mit |
Da gibt es in der Tat einiges zu verstehen, nämlich warum dies kein einfaches erweitern ist. ist kein Bruch, sondern ein Differentiaquotient. "Erweitert" wird hier also gar nichts (auch wenn man das gerne mal salopp so sag). |
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Mathefix
Anmeldungsdatum: 05.08.2015
Beiträge: 5867
Wohnort: jwd
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| Mathefix Verfasst am: 31. Jan 2017 17:58 Titel: |
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| jh8979 hat Folgendes geschrieben: | | Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
Da gibt´s nicht viel zu verstehen.
Von auf
kommt man durch einfaches Erweitern mit |
Da gibt es in der Tat einiges zu verstehen, nämlich warum dies kein einfaches erweitern ist. ist kein Bruch, sondern ein Differentiaquotient. "Erweitert" wird hier also gar nichts (auch wenn man das gerne mal salopp so sag). |
@ jh8979
Wie würdest Du das denn nennen, wenn beide Seiten einer Gleichung mit dem gleichen Faktor multipliziert werden und wie würdest Du Quotient übersetzen? |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8583
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| jh8979 Verfasst am: 31. Jan 2017 18:36 Titel: |
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| Mathefix hat Folgendes geschrieben: |
@ jh8979
Wie würdest Du das denn nennen, wenn beide Seiten einer Gleichung mit dem gleichen Faktor multipliziert werden und wie würdest Du Quotient übersetzen? |
Der Differenzenquotient ist in der Tat ein Quotient, der Differentialquotient aber nicht (zumindest nicht in der gewöhnlichen Analysis).
Das hier
ist nicht "erweitern", sondern nennt sich "Kettenregel".
https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel
Auch wenn das in der Leibniznotation wie Erweitern aussieht (weshalb diese Notation sehr nützlich ist), ist es in der reellen Analysis etwas anderes. |
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