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Effektives Potential- Stabilität von Kreisbahnen
 
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Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 17:00    Titel: Effektives Potential- Stabilität von Kreisbahnen Antworten mit Zitat

Hallo, ich muss das effektive Potential bestimmen für ein Zentralkraftfeld. Im ersten Schritt habe ich versucht das Potential selbst zu bestimmen, aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass es falsch ist. Kann vielleicht jemand drauf schauen?

Danke!



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 17:12    Titel: Antworten mit Zitat

Am Ende steht zwar das richtige da, aber die Schritte dahin sind nicht korrekt aufgeschrieben. Überleg Dir nochmal was genau da für ein Integral stehen muss.

Hier siehst Du es etwas ausführlicher durchgerechnet für das Gravitationspotential:
https://en.wikipedia.org/wiki/Potential_energy#Derivation
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 17:57    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ich habs nochmal versucht analog umzuschreiben. Passt das so? Aber wie kann ich nun das Integral berechnen ohne v zu kennen?


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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 17:59    Titel: Antworten mit Zitat

Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben:
Ok ich habs nochmal versucht analog umzuschreiben. Passt das so? Aber wie kann ich nun das Integral berechnen ohne v zu kennen?

Wie können die das da im Wiki-Link?
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 18:32    Titel: Antworten mit Zitat

Ohje..da würde ich ja nie drauf kommen das alles so umzuschreiben :/ und wieso fällt das von 1 auf 2 (Vgl. Anhang) raus?


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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 18:37    Titel: Antworten mit Zitat

Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben:
Ohje..da würde ich ja nie drauf kommen das alles so umzuschreiben :/ und wieso fällt das von 1 auf 2 (Vgl. Anhang) raus?

Weil der zugehörige Vektor senkrecht auf e_r steht.
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 18:55    Titel: Antworten mit Zitat

Achso ok klar.

Passt mein V und V_eff jetzt so? Falls ja, wie kann ich rausfinden fuer welche Potenz V_eff ein Minimum hat?



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 19:01    Titel: Antworten mit Zitat

Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben:
Achso ok klar.

Passt mein V und V_eff jetzt so? Falls ja, wie kann ich rausfinden fuer welche Potenz V_eff ein Minimum hat?

1. Ich weiss nicht was V(r) bei dir sein soll (r=r1 oder r=r2?). Das eine ergibt ein falsches Vorzeichen Ich würde das Potential (für n!=1) sowieso so normieren, dass es es im Unendlichen verschwindet. (Dabei fällt mir ein, der Fall n=1 muss gesondert betrachtet werden.)

2. Wie Wie findest Du denn sonst raus, ob eine Funktion ein Minimum besitzt?
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 20:06    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:

1. Ich weiss nicht was V(r) bei dir sein soll (r=r1 oder r=r2?). Das eine ergibt ein falsches Vorzeichen Ich würde das Potential (für n!=1) sowieso so normieren, dass es es im Unendlichen verschwindet. (Dabei fällt mir ein, der Fall n=1 muss gesondert betrachtet werden.)


D.h. ich setze einen der beiden Terme einfach gleich 0?

jh8979 hat Folgendes geschrieben:

2. Wie Wie findest Du denn sonst raus, ob eine Funktion ein Minimum besitzt?


Ableiten und Nullstelle ermitteln? smile In dem Fall also nach n ableiten?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 20:09    Titel: Antworten mit Zitat

Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben:

D.h. ich setze einen der beiden Terme einfach gleich 0?

Vorzugsweise den richtigen.
Zitat:

Ableiten und Nullstelle ermitteln? smile In dem Fall also nach n ableiten?

Erste Frage: Ja. Zweite Frage: Nein, nach r. Du willst ja wissen ob Die Funktion als Funktion von r ein Minimum hat (was von n abhängt).
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
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Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 21:09    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:

Vorzugsweise den richtigen.

In wie fern macht das einen Unterschied, bzw. was ist richtig? Das Potential sagt mir doch wie viel Potentielle Energie in einem Punkt relativ zu dem anderen steckt oder? D.h. wo ich den Nullpunkt setze ist doch beliebig oder nicht?

Zitat:

Erste Frage: Ja. Zweite Frage: Nein, nach r. Du willst ja wissen ob Die Funktion als Funktion von r ein Minimum hat (was von n abhängt).


Ja macht Sinn!


Zuletzt bearbeitet von Amateurphysiker am 03. Apr 2016 21:47, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 21:13    Titel: Antworten mit Zitat

Amateurphysiker hat Folgendes geschrieben:

In wie fern macht das einen Unterschied, bzw. was ist richtig? Das Potential sagt mir doch wie viel Potentielle Energie in einem Punkt relativ zu dem anderen steckt oder? D.h. wo ich den Nullpunkt setze ist doch beliebig oder nicht?

Es macht aber einen Unterschied in welche Richtung das Potential zu- oder abnimmt, d.h. im Vorzeichen. Und das Vorzeichen ändert die Richtung der resultierenden Kraft, ist also physikalisch relevant.
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 03. Apr 2016 22:00    Titel: Antworten mit Zitat

Hmm ok, leider hab ich keine Ahnung woher ich jetzt weiss was richtig ist. Ich weiss, dass die Kraft radial nach Innen zeigt. Aber woher weiss ich ob das Potential von Punkt 1 zu Punkt 2 oder andersherum zu oder abnimmt?

Ich hab jetzt mal V_eff abgeleitet. Aber wie komme ich damit auf die gesuchte Potenz!? Sorry für die vielen Fragen...



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 03. Apr 2016 22:03    Titel: Antworten mit Zitat

Das sind beides Fragen, die Du selber beantworten können musst.
E=mc²



Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494

Beitrag E=mc² Verfasst am: 03. Apr 2016 22:32    Titel: Antworten mit Zitat

Wie ist denn das Potenzial definiert?
schaue das mal in einem deiner Bücher oder zB hier oder hier nach!

Die Kraft wirkt immer in Richtung niedrigeres Potenzial. Bei deinem Beispiel zeigt die Kraft radial nach innen. Wo ist also das Potenzial niedriger?
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 04. Apr 2016 13:09    Titel: Antworten mit Zitat

Ok ich verstehe, dass das Potential nach aussen hin zunimmt (da die Kräfte nach innen gerichtet sind). Da der Radius im Potential exponential im Nenner auftaucht, heisst das, dass der Bruch mit Zunahme von r abnimmt. D.h. der Bruch müsste negativ sein um mit Zunahme des Nenners zuzunehmen!?

Und was mache ich jetzt mit meiner Ableitung des effektiven Potentials? Ich komme mit der Gleichung im orangenen Kasten (siehe Anhang) nicht weiter, ist das überhaupt richtig soweit?

Danke!!



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Apr 2016 14:27    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, da fehlt schon wieder was (was ganz am Anfang mal da war und dann verloren ging).

Also, mal Schritt für Schritt:
1. Die Kraft ist
fuer ,
d.h. ist das effektive Potential ist in diesem Fall


2. Ableiten und Null setzen ergibt
also .

3. Fuer n=3 hat gilt diese Gleichung offensichtlich nie (es sei denn L=0, aber das würde nie zu einer Kreisbahn führen, da das Potential dann nie ein Minimum für endliche r besitzt). Für folgt .

4. Ueberpruefen ob der gefundene Wert in 3 ein Minimum ist: Die zweite Ableitung ist

ausgewertet im gefundenen Wert von 3 ergibt :

(hier muss man jetzt bisschen die Potenzen vereinfachen, um zu sehen dass in beiden Termin dieselben Potenzen übrig bleiben, z.B. für L im ersten Term für die anderen Konstanten erhält man ähnliches.)
Daraus folgt, dass n nicht größer als 3 sein darf, da man sonst ein Maximum und kein Minimum hat.

5. Der Fall n=1 fehlt noch. Für n=1 gilt:

fuer eine beliebigen Referenzradius r0, der in diesem Fall weder Null noch Unendlich (wie für n!=1 oben gewählt) sein darf.
Ableiten und Nullsetzen ergibt und das in die zweite Ableitung eingesetzt
,
d.h. hier gibt es auch ein Minimum.

Zusammengefasst:
liefert fuer alle n echt kleiner als 3 (einschliesslich negative n) ein Minimum im effektiven Potential, d.h. es sind stabile(!) Kreisbahnen möglich.

PS: Ich halte diese Aufgabe zwar für etwas länglich, aber in einer Klausur durchaus möglich (je nach vorhandener Zeit und möglichen noch zusätzlichen gegeben Tipps/Zwischenergebnissen).
Amateurphysiker



Anmeldungsdatum: 13.11.2015
Beiträge: 307

Beitrag Amateurphysiker Verfasst am: 04. Apr 2016 17:22    Titel: Antworten mit Zitat

Hey ich weiss nicht wie ich dir für deine Mühen danken kann!!


jh8979 hat Folgendes geschrieben:

3. Fuer n=3 hat gilt diese Gleichung offensichtlich nie (es sei denn L=0, aber das würde nie zu einer Kreisbahn führen, da das Potential dann nie ein Minimum für endliche r besitzt). Für folgt .

Ok das Ergebnis kann ich nachvollziehen.

Zitat:

4. Ueberpruefen ob der gefundene Wert in 3 ein Minimum ist: Die zweite Ableitung ist

ausgewertet im gefundenen Wert von 3 ergibt :

(hier muss man jetzt bisschen die Potenzen vereinfachen, um zu sehen dass in beiden Termin dieselben Potenzen übrig bleiben, z.B. für L im ersten Term für die anderen Konstanten erhält man ähnliches.)

Das hab ich so versucht wie du beschreibst. Ich komme aber nicht ganz auf den gleichen Term. Ich bekomme das k nicht so ausgeklammert wie du. (siehe (**) letzte Zeile). Wo liege ich falsch?

Danke!!



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8233

Beitrag jh8979 Verfasst am: 04. Apr 2016 18:49    Titel: Antworten mit Zitat

Im zweiten Term steht es gleich richtig da. Im ersten gilt

und
.
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