Stabilität von Umlaufbahnen

planet-75 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Umlaufbahnen von Planeten um Sonnen scheinen stabil zu sein.
Die dazu bekannten Kräfte, welche das Gleichgewicht begründen können sind:
1. Gravitation: FG=G*M*m/r2
2. Zentrifugalkraft: FZ=m*v2/r
Im Nahbereich der Sonne ist FG > FZ, im Fernbereich ist es umgekehrt, sofern die Bahngeschwindigkeit v als konstant und nur der Radius als variabel betrachtet wird.
Somit wäre das betreffende Gleichgewicht nicht stabil sondern instabil.

(Eine gewisse Umlenkung eines Planeten oder eine Veränderung von dessen Abstand zur Sonne, z.B. durch die temporäre Anziehung durch einen Meteoriten, der tangential zur Planeten-Umlaufbahn an diesem vorbeifliegt, hätte somit das Potential, das Gleichgewicht zu zerstören, sodass der Planet dann entweder auf die Sonne abstürzt oder sich beliebig vom System entfernt.)

Wo liegt mein Denkfehler?

volfsjniwseo · Gast

planet-75 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Dass die Stabilität faktisch und empirisch gegeben ist, ist klar; aber wie kann dies mit der theoretischen Ebene und deren Formeln in Einklang gebracht werden?

volfsjniwseo · Gast

1423 · Gast

Umlaufbahnen sind doch nicht stabil. - Ein Planet kehrt nach einer Störung nicht in seine ursprüngliche Bahn zurück; die Bahn verändert sich.

planet-75 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Könnte es sein, dass Umlaufbahnen tatsächlich instabil sind?
Ist die Stabilität von Umlaufbahnen nur scheinbar gegeben, weil der Prozess, bei dem eine Planeten-Umlaufbahn (annährungsweise Kreisbahn, welche näherungsweise einem instabilen Gleichgewicht entspricht) zerstört wird, sehr lange dauert?
Oder gibt es irgendeine stabilisierende Formel, die ich nicht kenne?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Die Frage hat schon Poincare beschäftigt.

Grob gesprochen wäre das Sonnensystem beweisbar stabil, wenn man es als abgeschlossen betrachten sowie mögliche Kollisionen ignorieren könnte; andernfalls ist die Antwort unbekannt.

https://www.spektrum.de/magazin/die-loesung-des-n-koerper-problems/823623

https://en.wikipedia.org/wiki/Stability_of_the_Solar_System
https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov%E2%80%93Arnold%E2%80%93Moser_theorem

volfsjniwseo · Gast

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18103

Ich kann es nicht beweisen, aber ich denke, das kann man in dem Griff bekommen (wobei "stabil" hier recht allgemein gefasst ist und seltsames Verhalten zulässt).

Schwieriger ist das Problem, dass Himmelskörper von außen auftauchen, und natürlich das Problem der Kollisionen.

planet-75 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Danke für die Hinweise. Anstatt das Problem umfassender zu betrachten (N-Körper-Problem etc.) könnte man es zunächst auch vereinfacht anschauen. Anstelle des Systems Erde - Sonne betrachte ich nun das System Satellit - Erde, wobei die Masse des Satelliten vernachlässigbar ist:
Wenn ein intelligenter oder steuerbarer Satellit der Erde ein wenig zu nahe kommt wird er Gas geben, um die Zentrifugalkraft wieder zu vergrössern etc. Ein Trümmerteil hingegen kann dies nicht und wird dann vermutlich abstürzen.
Gibt es weitere grundlegende Kräfte dazu als die oben aufgeführten (Gravitationskraft/ Zentrifugalkraft)?

volfsjniwseo · Gast

Myon · Anmeldungsdatum: 04.12.2013 Beiträge: 5888

@planet-75: Wenn ich den ersten und zweitletzten Beitrag lese, denke ich, dass vielleicht ein Missverständnis besteht. Eine Bahnkurve eines Planeten um einen Zentralkörper bedingt nicht, dass sich Gravitations- und Zentrifugalkraft an jedem Punkt aufheben müssten, und dass eine einmalige Störung bereits dazu führt, dass sich der Planet immer weiter vom Zentralkörper entfernt oder auf diesen stürzt. Beim reinen Zweikörpersystem mit kugelsymmetrischen Körpern sind die Bahnen Ellipsen, die durch 6 Parameter festgelegt sind. Eine einmalige Störung, bei welcher sich der Impuls des Planeten ändert, führt i.a. dazu, dass sich einfach eine neue Bahn um den Zentralkörper einstellt.

Ein Planet kann den Einflussbereich eines Zentralkörpers nur verlassen, wenn seine Gesamtenergie

positiv wird. Und er kann nur mit dem Zentralkörper kollidieren, wenn bei der neuen Bahn der minimale Abstand (Abstand beim Perihel) kleiner wird als die Summe der Radien von Zentralkörper und Planet.

planet-75 · Anmeldungsdatum: 27.11.2020 Beiträge: 33

Ich habe als (unzulässige) Vereinfachung die Variabel der Geschwindigkeit (Betrag und Richtung) vernachlässigt. Ich nehme an, dass sich diese bei Störungsprozessen so entwickeln kann, dass dann letztendlich (nach dem Sich-Einstellen auf eine neue Umlaufbahn) das Gleichgewicht wieder vorhanden ist.