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Stabilität eines schwimmenden Rechteckbalkens
 
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isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 02. Nov 2006 09:55    Titel: Stabilität eines schwimmenden Rechteckbalkens Antworten mit Zitat

Mein Neffe bringt obige Frage. Er will wissen, bis zu welchem Verhältnis b/a ein Rechteckbalken stabil auf der schmaleren Seite schwimmt, ohne auf seine Breitseite zu kippen. ist gegeben
Mir fällt nur ein, die Höhe des Schwerpunkts des Balkenquerschnitts über dem Wasser abhängig vom Kippwinkel zu bestimmen und dann nachzusehen, ob die 2. Ableitung negativ ist - aber das kann ich ihm nur sehr schwer erklären!
Weiß vielleicht jemand von Euch eine einfachere Lösung? Danke im Voraus.

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dermarkus
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Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 02. Nov 2006 13:25    Titel: Antworten mit Zitat

Ein Balken, der überall die gleiche Dichte hat und schwimmt, schwimmt immer nur stabil auf seiner breitesten Seite.

Denn weil er schwimmt, ist seine Dichte kleiner als die Dichte des verdrängten Wassers. Also ist ein Wasserwürfel mit einem bestimmten Volumen immer schwerer als ein Holzwürfel aus dem Brett mit gleichem Volumen. Also wird das Wasser so weit wie möglich nach unten gezogen, und das Brett so weit wie möglich nach oben gedrückt, und das Brett taucht nur gerade so tief ein wie unbedingt nötig, also so tief, wie es von seiner Schwerkraft in das Wasser gedrückt wird.

Wenn man das mit einem Schwerpunkt des Systems erklären möchte, dann muss man das verdrängte Wasser mit berücksichtigen. Zum Beispiel dadurch, dass man feststellt, dass am Schwerpunkt des Teiles des Brettes, der unter Wasser ist, als resultierende Kraft nicht die Schwerkraft angreift, sondern die Auftriebskraft. Und die sorgt dafür, dass der Schwerpunkt des Teiles des Brettes, der unter Wasser ist, so dicht wie möglich unter die Wasseroberfläche gehoben wird.

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Damit ein Brett mit einer seiner Schmalseiten nach unten stabil im Wasser schwimmt, muss man die Seite des Brettes, die nach unten soll, deutlich schwerer machen als den Rest des Brettes (aber nicht zu schwer, sonst geht das Brett unter). Zum Beispiel, in dem man an diese Seite ein Gewicht dranhängt. Dann dreht sich das schwimmende Brett in die Senkrechte wie ein Schiff, dessen Kiel mit einer Kielflosse beschwert ist, damit das Schiff in der gewünschten Lage stabiler aufrecht bleibt.

http://de.wikipedia.org/wiki/Kiel_(Schiff)#Flossenkiel
isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 02. Nov 2006 17:53    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Ein Balken, der überall die gleiche Dichte hat und schwimmt, schwimmt immer nur stabil auf seiner breitesten Seite.
Hallo dermarkus,
erst mal danke für die ausführliche Erläuterung. Natürlich kann man einen Balken hochkant schwimmen lassen, wenn man ihn unten mit Blei beschwert. Aber das gilt nicht. Es ist Holz, das rho kann von 0,1(Balsaholz) ...knapp 1(Eiche) kg/dm³ sein.

Mein Neffe meint (fälschlich), dass ein EichenBalken mit 60cm Höhe und 50cm Breite und einem rho von 0,99 stabil schwimmt, da er beim Kippen auf der einen Seite aus dem Wasser kommt und auf der anderen Seite untertaucht. Dadurch gibt es ein Kippmoment, das den Balken stabil auf seiner schmalen Kante hält. Auch weist er darauf hin, dass ein quadratischer Balken immer auf der flachen Seite schwimmt und nicht spießkant.
Wie bitte kann ich ich das widerlegen?

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dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 02. Nov 2006 18:59    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube nun, dein Neffe hat recht mit seiner Überlegung.

Zitat:

Auch weist er darauf hin, dass ein quadratischer Balken immer auf der flachen Seite schwimmt und nicht spießkant.

Da muss ich erstmal zurückfragen und raten, was spießkant heißt: Wenn der Balken-Querschnitt quadratisch ist, dann zeigt also der Balken mit einer Seite des Quadrates nach unten ("auf der flachen Seite") und nicht mit einer Spitze des Quadrates nach unten ("spießkant") ?

Das mit dem quadratischen Balken bestätigt das Bild aus der Erklärung oben: wenn eine Seite des Quadrats nach unten zeigt, dann schwimmt das Holz so weit oben wie es möglich ist. Wenn aber eine Spitze des Quadrats nach unten zeigt, dann will das Wasser den Balken drehen, weil dann ein Stück des Balkens tiefer reicht als in der "flachen" Gleichgewichtslage, und den tieferen Platz nimmt lieber (will sagen: energetisch günstiger) das schwerere Wasser ein als das leichtere Holz.

---------------------------

Also ist eine schräge Lage eines schwimmenden Holzwürfels im Wasser energetisch ungünstiger als eine "gerade Lage".

-----------------------

Ich glaube, dadurch habe ich nun verstanden, wie dein Neffe das meinen kann: besagter Eichenklotz soll zum Beispiel eine Höhe von 60 cm, eine Breite von 50 cm und gleichzeitig eine Dicke haben, die nicht sehr klein ist, sondern zum Beispiel 50 cm oder 100 cm beträgt.

Dann ist das Schwimmen in dieser Lage tatsächlich stabil möglich. Das ist dann zwar nicht die stabilste mögliche Position, da die energetisch optimale Position um 90° gekippt wäre, aber sie stellt ein stabiles Nebenoptimum dar, da die Dicke und Eckigkeit des Klotzes dazu führt, dass man zum Erreichen des absoluten Optimums den Klotz durch eine schräg gekippte Position führen müsste, die energetisch ungünstiger wäre als das stabile Nebenmaximum. Ein Kippen hin zum absoluten Optimum wäre dann nur bei ausreichender Aktivierungsenergie möglich (zum Beispiel stelle ich mir da kräftigen Wellengang vor: Bei kräftigem Wellengang würde ich vermuten, dass sich nach kurzer Zeit die Mehrzahl einer Anzahl solcher Eichenklötze im absoluten Optimum befinden und nur noch eine Minderzahl im ebenfalls stabilen, aber gegenüber ausreichend starken Störungen weniger stabilen Nebenoptimum).
isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 03. Nov 2006 08:11    Titel: Antworten mit Zitat

dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Da muss ich erstmal zurückfragen und raten, was spießkant heißt
Hallo dermarkus,
die Formulierung stammt von mir, ich habe versucht, verständlich zu formulieren. 'spießkant' - 'flachkant' finde ich zwar nicht in meinem Duden, aber Google findet 208/1200 Einträge.
Nachtrag: Im "Friedrich Tabellenbuch" habe ich das Wort gefunden: Es wird offenbar in DIN475 verwendet. Bei einer Schraubenmutter die Schlüsselweite messen --> 'flachkant'; und den größten Durchmesser---> 'spitzkant' oder 'spießkant'.
dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Wenn aber eine Spitze des Quadrats nach unten zeigt, dann will das Wasser den Balken drehen, weil dann ein Stück des Balkens tiefer reicht als in der "flachen" Gleichgewichtslage, und den tieferen Platz nimmt lieber (will sagen: energetisch günstiger) das schwerere Wasser ein als das leichtere Holz.
Ja, das leuchtet mir so ungefähr ein. Andererseits habe ich bei Holz mit rho=0,5 den Schwerpunkt des Balkens genau auf der Wasserlinie, egal ob spießkant oder flachkant oder irgendwo dazwischen. Muß ich daraus schließen, dass meine ursprüngliche Annahme mit dem Schwerpunkt, der möglichst tief liegen soll, nicht ausreicht, die Stabilität zu erklären?
dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Also ist eine schräge Lage eines schwimmenden Holzwürfels im Wasser energetisch ungünstiger als eine "gerade Lage".
Jetzt müsste ich noch herausfinden, bis zu welchem a/b das stimmt und wie man das beweisen kann.
dermarkus hat Folgendes geschrieben:
Das ist dann zwar nicht die stabilste mögliche Position, da die energetisch optimale Position um 90° gekippt wäre, aber sie stellt ein stabiles Nebenoptimum dar, da die Dicke und Eckigkeit des Klotzes dazu führt, dass man zum Erreichen des absoluten Optimums den Klotz durch eine schräg gekippte Position führen müsste, die energetisch ungünstiger wäre als das stabile Nebenmaximum. Ein Kippen hin zum absoluten Optimum wäre dann nur bei ausreichender Aktivierungsenergie möglich (zum Beispiel stelle ich mir da kräftigen Wellengang vor: Bei kräftigem Wellengang würde ich vermuten, dass sich nach kurzer Zeit die Mehrzahl einer Anzahl solcher Eichenklötze im absoluten Optimum befinden und nur noch eine Minderzahl im ebenfalls stabilen, aber gegenüber ausreichend starken Störungen weniger stabilen Nebenoptimum).
Ja, ganz genau so sehe ich das auch, es ist vergnüglich, mit Dir zu diskutieren.
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dermarkus
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Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 03. Nov 2006 15:55    Titel: Antworten mit Zitat

isi1 hat Folgendes geschrieben:

Nachtrag: Im "Friedrich Tabellenbuch" habe ich das Wort gefunden: Es wird offenbar in DIN475 verwendet. Bei einer Schraubenmutter die Schlüsselweite messen --> 'flachkant'; und den größten Durchmesser---> 'spitzkant' oder 'spießkant'.

Danke smile

Zitat:

Muß ich daraus schließen, dass meine ursprüngliche Annahme mit dem Schwerpunkt, der möglichst tief liegen soll, nicht ausreicht, die Stabilität zu erklären?

Einverstanden: die Annahme, dass für eine stabile Schwimmlage der Schwerpunkt des Holzes möglichst tief liegen muss, stimmt nicht. (Denn das vernachlässigt das Wasser, das so weit wie möglich nach unten möchte.)

Wenn wir eine Schwerpunkts-Bedingung suchen, dann würde ich das wie folgt angehen:

Der Schwerpunkt S_oben des Teiles des Klotzes, der über Wasser ist, ist bestrebt, so tief wie möglich zu liegen. denn er wird von der Gewichtskraft auf das Holz nach unten gezogen.

Der Schwerpunkt S_unten des Teiles des Klotzes, der unter Wasser ist, ist bestrebt, so hoch wie möglich zu liegen, denn er wird von der Auftriebskraft nach oben gedrückt.

Die potentielle Energie der Anordnung ist also, ausgedrückt in Abhängigkeit von der Höhe h_oben von S_oben über dem Wasser und der Höhe h_unten von S_unten unter dem Wasser:



mit

Damit kann man nun also konkret für verschiedene Dichten und Geometrien Überlegungen anstellen.

Für das Beispiel eines Holzbalkens mit quadratischen Querschnitt (Seitenlänge a) und Dichte komme ich damit konkret sogar zu dem Ergebnis, dass spießkant Schwimmen die energetisch günstigere Lage ist: Denn dann ist , während für flachkant Schwimmen ist.

Also stimmt meine Aussage von oben, dass die schräge Lage energetisch ungünstiger sei, nicht allgemein, und man muss genauer hinschauen. Um eine saubere schöne Funktion der potentiellen Energie in Abhängigkeit des Drehwinkels und in Abhängigkeit der Holzdichte zu erstellen, müsste man also auch für schiefe Lagen des Klotzes (quaderförmig mit Kantenlängen a, b und der sehr langen Kante c) jeweils die Lagen der Schwerpunkte h_oben und h_unten bestimmen.
isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 11. Nov 2006 23:00    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo dermarkus,
Du hast bei den gewählten Parametern recht, glaube ich nachgewiesen zu haben:
http://www2.filehost.to/files/2006-11-11_03/225020_balken3.JPG

Ich kann hier keine xls-Dateien hochladen, wenn Du willst, dann findest Du sie hier:
http://www.techniker-forum.de/mechanik-42/stabilitaet-eines-schwimmenden-rechteckbalkens-16055-2.html

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dermarkus
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Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Nov 2006 17:18    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo Isi!

Ein schönes Excel-File hast du da gemacht smile Ich kann die Berechnungen, die es macht, komplett als richtig bestätigen smile

Dort, wo ich deine Formeln und geometrischen Überlegungen nicht komplett nachvollzogen habe, habe ich sie durch eigene geometrische Überlegungen und Formeln ersetzt und komme damit in deinem Excel-File zu genau denselben Ergebnissen.

Dein File deckt alle Positionen des Balkens ab, bei denen sowohl die Kante A als auch die Kante B unter Wasser sind (Bezeichnungen wie in deiner Skizze zum File, die ich unten zitiere); Gleichgewichtslagen befinden sich dort, wo die Kurve im Drehmoment-Winkel-Diagramm mit negativer Steigung durch Null geht.

http://www2.filehost.to/files/2006-11-11_03/171602_Balken2.JPG

Eine anschauliche Begründung für die Gleichgewichtslagen könnte man noch nachliefern:

Bei sehr geringer Dichte schwimmt das Holz nicht spießkant (also nicht auf einer seiner Ecken), weil die Gewichtskraft auf den Teil über Wasser dafür sorgen würde, dass es lieber nach rechts oder links umkippt und flachkant schwimmt. (Denn dann ist rechts unten und links unten keine Luft mehr zwischen dem Holz und dem Wasser.)

Bei sehr großer Dichte des Holzes schwimmt das Holz nicht spießkant (also nicht mit einer Ecke, die nach oben aus dem Wasser ragt), weil die Auftriebskraft das Holz entweder rechts herum oder links herum nach oben in die flachkante Lage drücken würde. (Denn dann ist rechts oben und links oben kein Wasser mehr zwischen dem Holz und der Wasseroberfläche).

Bei mittlerer Dichte schwimmt das Holz spießkant, weil es so das meiste Holz in die Nähe der Wasseroberfläche bringen kann (dann zeigt seine größte Ausdehnung, die Diagonale, ungefähr parallel zur Wasseroberfläche). Denn dann liegt sowohl der Teil des Holzes über Wasser so tief wie möglich, als auch der Teil des Holzes unter Wasser so hoch wie möglich.
isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 18. Nov 2006 18:23    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo dermarkus,

danke für das Lob und für Deine Mühe, die Rechnung nachzuvollziehen. Ich war mir weder bei der Theorie noch bei der Durchführung sicher, dass es stimmt.
Besonders Deine plausiblen Erklärungen, glaube ich, machen es mir möglich, den Sachverhalt meinem Neffen verständlich zu erklären.
Inzwischen habe ich es in der Badewanne ausprobiert: Mein Vierkant ist fast zur Hälfte im Wasser und legt sich sofort spießkant, auch wenn man ihn noch so sorgfältig flachkant ins Wasser legt.

Ist immer eine Freude, mit Dir zu diskutieren!

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dermarkus
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Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Nov 2006 19:14    Titel: Re: Stabilität eines schwimmenden Rechteckbalkens Antworten mit Zitat

Das freut mich smile

Und das Experiment ist immer die schönste Bestätigung smile

Aber da fällt mir auf, dass wir die ursprüngliche Frage deines Neffen noch gar nicht explizit beantwortet haben:

isi1 hat Folgendes geschrieben:
Mein Neffe bringt obige Frage. Er will wissen, bis zu welchem Verhältnis b/a ein Rechteckbalken stabil auf der schmaleren Seite schwimmt, ohne auf seine Breitseite zu kippen.


Stellen wir mal einen Balken mit b/a=10 auf die schmale Seite, dann ist in deinem Excel-File a=1 und b=10. Dann stelle ich fest, dass für alle Dichten zwischen 0,1 und 0,9 der Balken stabil auf der schmaleren Seite schwimmt! (Für noch kleinere oder größere Dichten kommt die Winkelauflösung des Excel-Files von 1 Grad an ihre Grenzen.)

(Meine anschauliche Erklärung von oben stimmt also nur für unterschiedliche Dichten bei ungefähr quadratischem Balkenquerschnitt.)

Und zum Beispiel bei einer Dichte von 0,5, einer Breite a=1 und Längen von b=1,3 bis b=50 finde ich lauter stabile Lagen auf der schmaleren Seite a, nur der Winkelbereich, innerhalb dessen der Balken dabei schwanken darf (der "Einfangbereich" dieser stabilen Lage), wird mit zunehmendem b/a immer kleiner.

Ich würde deinem Neffen also folgende Antwort geben:

Wenn man das Verhältnis b/a immer größer macht, schwimmt der Balken immer weiter stabil flachkant auf seiner schmaleren Seite. ("Denn ein sehr langer, schmaler Balken ragt mit seinen Eckkanten immer ein bisschen weiter nach unten ins Wasser, und ein bisschen weiter nach oben aus dem Wasser, wenn er schräg steht, als wenn er flachkant schwimmt.") Man muss ihn dann nur immer sorgfältiger genau auf seine schmale Seite setzen, und man darf nicht zu viele Wellen machen, sonst kippt er um und legt sich auf seine längere flache Seite.
isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 18. Nov 2006 19:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo dermarkus,
das habe ich meinem Neffen schon an Hand der Balken2.xls gezeigt. Auffallend ist, dass bei realistischen Dichten von etwa 0,5 der Balken erst stabil flachkant schwimmt, wenn er 25% breiter ist als hoch.

Auch das Beispiel mit der Dichte 0,05 und fast doppelt so hoch wie breit überrascht: er schwimmt mit ± 5° stabil
http://www2.filehost.to/files/2006-11-18_03/194610_Balken_2.JPG

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dermarkus
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Anmeldungsdatum: 12.01.2006
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Beitrag dermarkus Verfasst am: 18. Nov 2006 20:07    Titel: Antworten mit Zitat

isi1 hat Folgendes geschrieben:

Auch das Beispiel mit der Dichte 0,05 und fast doppelt so hoch wie breit überrascht: er schwimmt mit ± 5° stabil

Stimmt, das hat dann wieder den Grund, dass der Balken hier in der etwas schrägen Lage eine Möglichkeit findet, seine Diagonale ungefähr entlang der Wasseroberfläche einzustellen und damit möglichst viel Holz in die Nähe der Wasseroberfläche zu bringen smile

Ich glaube, mit dem, was wir nun herausgefunden haben, können wir das Problem nun ziemlich gut durchleuchten smile
isi1



Anmeldungsdatum: 03.09.2006
Beiträge: 2782

Beitrag isi1 Verfasst am: 15. Jun 2009 11:24    Titel: Antworten mit Zitat

Leduart hat hierzu noch einige sehr lesenswerte Links gefunden.
Das Applet liefert recht genau die Ergebnisse meiner EXCEL Datei und
zeigt recht schön den Kippvorgang bei rho=0,12 und rho=0,79.
Zitat:
Ich hab grade nen Artikel gefunden, der dich wahrscheinlich interressiert.
http://www.vsmp.ch/de/bulletins/no108/gallin.pdf
nur ein Applet ohne Begruendung:
http://www.uni-magdeburg.de/anp/kompaktphysik/schwerpunkt/schwerpunkt2.html
Nur ein Dreieck aber sonst sehr ausfuehrlich:
http://www.uni-muenster.de/imperia/md/content/fachbereich_physik/didaktik_physik/publikationen/109_symmetriebruch_am_schwimmenden_stab.pdf
Gruss leduart

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