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Kobold456
Gast
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 Kobold456 Verfasst am: 21. März 2016 16:46 Titel: Beweis für Krümmung der Erde |
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Meine Frage:
...ich suche - finde aber nichts.
Meine Ideen:
Bitte um Hilfe |
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E=mc²
Anmeldungsdatum: 24.06.2014
Beiträge: 494
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Brillant
Anmeldungsdatum: 12.02.2013
Beiträge: 1973
Wohnort: Hessen
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| Brillant Verfasst am: 25. März 2016 00:25 Titel: Re: Beweis für Krümmung der Erde |
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| Kobold456 hat Folgendes geschrieben: | | Beweis für Krümmung der Erde |
Ich denke, die Frage ist gar nicht so dumm, wie sie zunächst erscheint.
Wie wird denn die Krümmung einer großen Fläche festgestellt? Durch Anlegen eines Lineals oder einer Wasserwaage? Nein, durch den Vergleich mit scheinbar "geraden" Lichtstrahlen.
Wenn nuin aber das Licht selbst nicht gerade verläuft, etwa in der Nähe eines schwarzen Lochs? Da würde man nicht merken, dass man um das Loch herumgucken kann. Es müsste also flach erscheinen.
Warum kann man das bei der Erde ausschließem?
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Glaubt nicht dem Hörensagen ... oder eingewurzelten Anschauungen, auch nicht den Worten eines verehrten Meisters; sondern was ihr selbst gründlich geprüft und als euch selbst und anderen zum Wohle dienend erkannt habt, das nehmt an. Siddhartha Gautama |
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 25. März 2016 01:13 Titel: |
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@Brillant: Ich denke nicht, daß man das ausschließen kann. Es halt nur nicht plausibel.
Davon abgesehen, kann man Krümmung aber auch noch anders feststellen: Durch Messen von Längen und Winkeln. Das manifestiert sich z.B. daran, daß ein Dreieck auf einer Kugel immer eine Innenwinkelsumme von >180° hat (formal folgt das aus dem Satz von Gauß–Bonnet). Die grundlegende Feststellung ("theorema egregium"), die auf Gauß zurückgeht, ist, daß für eine Fläche (2d) gilt: Das Produkt der beiden Hauptkrümmungen in jedem Punkt bleibt invariant, wenn man die Fläche so verformt, daß alle Längen und Winkel erhalten bleiben (Hauptkrümmung heißt: 1 durch den Radius des größten bzw. kleinsten Anschmiegkreises durch diesen Punkt). Z.B. hat eine Ebene Hauptkrümmungen 0 und 0, ein Zylinder hat die Hauptkrümmungen 0 und 1/R, und eine Sphäre hat die Hauptkrümmungen 1/R und 1/R. Einen Zylinder kannst Du abrollen (vgl. Klopapierrolle), da 0*1/R=0*0. Aber mit einer Sphäre kannst Du das nicht machen, da 0*0 ungleich 1/R*1/R.
Das heißt: Durch Messen von Winkeln und Längen kannst Du einen Zylinder nicht von einer Ebene unterscheiden. Aber eine Kugel kannst Du von den anderen beiden Objekten unterscheiden.
Gauß hat auch versucht, die Erdkrümmung auf diese Weise festzustellen. Es ist ihm allerdings nicht gelungen, da seine Dreiecke zu klein und seine Meßungenauigkeit zu groß war. Heute kann man die Erdkrümmung allerdings dadurch feststellen. |
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Brillant
Anmeldungsdatum: 12.02.2013
Beiträge: 1973
Wohnort: Hessen
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| Brillant Verfasst am: 30. März 2016 07:34 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Davon abgesehen, kann man Krümmung aber auch noch anders feststellen: ... |
Anders als mit Licht? Dann erkläre mir bitte, wie ein Blinder die Erdkrümmung feststellen kann.
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Glaubt nicht dem Hörensagen ... oder eingewurzelten Anschauungen, auch nicht den Worten eines verehrten Meisters; sondern was ihr selbst gründlich geprüft und als euch selbst und anderen zum Wohle dienend erkannt habt, das nehmt an. Siddhartha Gautama |
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5787
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 30. März 2016 10:47 Titel: |
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| Brillant hat Folgendes geschrieben: | | Dann erkläre mir bitte, wie ein Blinder die Erdkrümmung feststellen kann. |
Er kann ja immer nach Westen gehen/schwimmen und wenn er dann irgendwann wieder zu Hause ist, weiß er, dass er offenbar doch nicht immer gerade aus gelaufen sein kann.
Gruß
Marco |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 31. März 2016 00:55 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Brillant hat Folgendes geschrieben: | | Dann erkläre mir bitte, wie ein Blinder die Erdkrümmung feststellen kann. |
Er kann ja immer nach Westen gehen/schwimmen und wenn er dann irgendwann wieder zu Hause ist, weiß er, dass er offenbar doch nicht immer gerade aus gelaufen sein kann. |
Sorry, aber das stimmt leider nicht.
Z.B. ist der 2-Torus mit einer flachen Metrik verträglich (nicht der Metrik des im 3-dim. euklidischen Raum eingebetteten 2-Torus). D.h. durch dein Experiment wird eine nicht-triviale Topologie nachgewiesen, jedoch nicht die Krümmung.
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago.
Zuletzt bearbeitet von TomS am 31. März 2016 07:30, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 31. März 2016 01:29 Titel: |
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Ein anschauliches und zugleich mathematisch präzises Verfahren ist der Paralleltransport eines Vektors V entlang einer geschlossenen Kurve C. Paralleltransport bedeutet, dass der Winkel zwischen der Tangente t an die Kurve C sowie dem Vektor V während der Verschiebung entlang C festgehalten wird.
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Parallel_transport#/media/File%3AParallel_Transport.svg
Im Falle einer nicht-verschwindenden Krümmung auf der durch C berandeten Fläche wird der entlang C parallelverschobene Vektor V'(C) nach dem Umlauf von dem Vektor V(0) vor dem Umlauf abweichen. Im Falle einer infinitesimalen Kurve folgt
R steht hier für den Riemannschen Krümmungstensor.
Setzt man
d.h. betrachtet man C als Berandung einer Fläche S mit dem Flächeninhalt Delta S, so gilt für die Änderung Delta V bei einem vollständigen Umlauf
Man muss also den Vektor vor sowie nach dem Umlauf sowie den Flächeninhalt messen.
EDIT: Man kann den Paralleltransport eines Vektors entlang eines aus Geodätenstücken zusammengesetzten, geschlossenen Weges formal berechnen. Man definiert die Geschwindigkeit u entlang einer Geodäte
den Zusammenhang A
sowie die kovariante Richtungsableitung
^m = \dot{V}^m - A^m_r \, V^r = 0)
Die formale Lösung für eine geschlossene Schleife C erfolgt mittels des pfadgeordneten Exponenten
 = \text{P}\,\text{exp}\left[\oint_C dx\,A\right] V
<br />
)
Die nicht-triviale Information über die Geometrie innerhalb einer Schleife C steckt in diesem Exponenten. Für infinitesimale Schleifen C folgt wieder der o.g. Ausdruck für den Riemannschen Krümmungstensor R.
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 31. März 2016 17:44 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | | as_string hat Folgendes geschrieben: | | Brillant hat Folgendes geschrieben: | | Dann erkläre mir bitte, wie ein Blinder die Erdkrümmung feststellen kann. |
Er kann ja immer nach Westen gehen/schwimmen und wenn er dann irgendwann wieder zu Hause ist, weiß er, dass er offenbar doch nicht immer gerade aus gelaufen sein kann. |
Sorry, aber das stimmt leider nicht.
Z.B. ist der 2-Torus mit einer flachen Metrik verträglich (nicht der Metrik des im 3-dim. euklidischen Raum eingebetteten 2-Torus). D.h. durch dein Experiment wird eine nicht-triviale Topologie nachgewiesen, jedoch nicht die Krümmung. |
Dazu sollte ich vielleicht sagen: Was ich oben geschrieben habe, ist nur für eingebettete Flächen gültig (obwohl die Gaußkrümmung natürlich verallgemeinert werden kann).
Brillant, abgesehen von dem, was TomS über die Riemannsche Krümmung geschrieben hat, besteht, wie ich schon erwähnt habe, die Möglichkeit, Informationen über die Gaußsche Krümmung (= 1/R² für eine Sphäre) mit dem Satz von Gauß-Bonnet zu erhalten. Die Aussage ist hier, ich schreibe vielleicht später noch etwas dazu:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gau%C3%9F-Bonnet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2016 00:50 Titel: |
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Guter Punkt!
Das Gauß-Bonnet-Theorem stellt einen Zusammengang her zwischen der über die gesamte Mannigfaltigkeit M integrierte Krümmung K sowie der sogenannten Eulercharakteristik chi. Letztere lässt sich darstellen mittels eines die Mannigfaltigkeit überspannenden Netzes, z.B. aus Dreiecksflächen.
Man zählt Ecken E, Kanten K sowie Flächen F und berechnet
 = E - K + F)
Die Eulercharakteristik ist unabhängig von den Details des Netzes und daher eine topologische Invariante. Speziell für die Kugeloberfläche gilt
 = 2)
Nach Gauß-Bonnet
)
folgt für die Kugeloberfläche
D.h. die integrierte Krümmung muss positiv sein.
Interessant ist, dass man die Eulercharakteristik und damit die integrierte Krümmung sehr einfach durch Zeichnen eines Netzes sowie Abzählen bestimmten kann, ohne jemals die Krümmung selbst messen zu müssen.
https://www.quantamagazine.org/wp-content/uploads/2015/01/Spheres.jpg
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2016 08:19 Titel: |
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Ein etwas übersichtlicheres Netz (keine Triangulation) erhält man mittels Längen und Breitenkreisen. Man startet mit n Längenkreises. Dies liefert n Flächen, n Kanten und zwei Ecken (Nord- und Südpol). Nun fügt man einen Breitenkreis hinzu das liefert n neue Ecken (Schnittpunkte der n Längenkreise mit den Breitenkreis), n neue Flächen sowie 2n neue Kanten.
Iterieren dieses Vorgangs liefert nach m Breitenkreisen
Damit gilt
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Ich
Anmeldungsdatum: 11.05.2006
Beiträge: 913
Wohnort: Mintraching
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| Ich Verfasst am: 01. Apr 2016 15:01 Titel: |
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Von wegen anschaulich:
Man nimmt 12 gleich lange Seile und legt 6 davon von einem Punkt weg in alle Richtungen aus. Benachbarte freie Enden verbindet man straff mit den übrigen Seilen, so dass 6 gleichseitige Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt entstehen.
Wenn das geht, ist die Fläche nicht gekrümmt. Bleibt ein Umfangsseil locker, ist sie positiv gekrümmt. Bleibt ein radiales Seil (eine "Speiche") locker, negativ. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 18095
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| TomS Verfasst am: 01. Apr 2016 17:09 Titel: |
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Danke für das einfache Beispiel.
Das ist eine qualitative Veranschaulichung des Gauß-Bonnet-Theorems mit Berandung einer Fläche S in M. Diese Berandung trägt im Falle straffer Spannung, außer über die Winkel an den Ecken, nichts bei, da hier eine Geodäte vorliegt, deren geodätische Krümmung verschwindet (um das zu erreichen muss man die Seile evtl. verkürzen oder verlängern). Daraus kann man m.W.n eine Satz über die Innenwinkel des von dir beschrieben Sechseckes ableiten.
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