Epsilon-Tensor / Kronecker Delta

Spitzname1 · Gast

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe eine Frage bezüglich des Epsilon-Tensors. Zwar habe ich das Forum bereits nach einer Antwort durchsucht, wirklich fündig bin ich aber nicht geworden. Möglicherweise ist meine Frage auch trivial für einige (oder viele) von euch, aber ich bitte trotzdem, dass mir jemand weiterhelfen kann.

[latex] \vec{a} X (\vec{b} X \vec{c} ) = \epsilon_{ijk}a_{j}(\epsilon_{kmn}b_{m}c_{n} = \epsilon_{ijk}\epsilon_{kmn}a_{j}b_{m}c_{n} = (\delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}) * a_{j}b_{m}c_{n} [\latex]

Wobei das X für das Kreuzprodukt steht.

Meine Ideen:
Soweit zur Aufgabenstellung, aber jetzt meine Frage, wenn ich nun das ganze Auflösen will, erhalte ich doch alle Terme, für die das Kroneckerdelta = 1 ist.

D.h. konkret:

[latex]\delta_{ii}\delta_{jj}[\latex] und [latex]\delta_{mm}\delta_{nn}[\latex] und [latex]\delta_{ii}\delta_{nn}[\latex] und [latex]\delta_{mm}\delta_{jj}[\latex]
(der Einfachheit wegen nur mit den positiven Deltas)

Laut meinen Aufzeichnung jedoch sollte das richtige Ergebnis einfach nur sein:
[latex]\delta_{ii}\delta_{jj}[\latex]
(Wieder ohne die negativen Deltas zu berücksichtigen).

Warum? xP

Ich hoffe die Frage ist halbwegs verstänldich...

Spitzname1 · Gast

So jetzt nochmal mit den richtigen Formeln smile

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Ich weiß nicht, was in Deinen Aufzeichnungen steht. Aber Du hast völlig korrekt umgeformt.

Hinweis 1: Kreuzprodukte kann man in LaTeX als \times

schreiben.
Hinweis 2: Du kannst die Kronecker-Deltas als Skalarprodukte schreiben. Das Ergebnis ist sehr bekannt und hat einen Namen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Gra.C3.9Fmann-Identit.C3.A4t
(Graßmann-Identität oder back-zap/BAC-CAB-Formel)