LeviCivita und Kronecker

Deinstein · Gast

Hallöchen!
Nun, auch nach ausführlichem Suchen im Forum, bringt mich leider nichts weiter zum Thema Levi-Civita und Kronecker-Symbol. Die ganzen Erklärungen, sei es Wikipedia, die Sachen in der Mathe für Physiker-Literatur und hier im Forum, sind mir zu kurz, oder ich schnall es einfach nicht, weil es garnicht anders geht! Ich versteh nicht, wie ihr da alle nach kürzester Zeit einen Überblick bekommt, mich verwirrt es total. Gibt es irgendwo eine AUSFÜHRLICHE DUMMENERKLÄRUNG oder hat jemand die Muße, es ausführlichst zu erklären? Das raubt mir echt den Schlaf! Langsam bin ich echt genervt, weil ich einfach die Brücke nicht schlagen kann! Schon mal lieben Dank im Voraus, liebe Grüße!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Was genau ist Deine Frage? Die Definitionen stehen doch auf Wikipedia oder 1000mal im Netz (->Google). Ich fürchte Du musst uns etwas genauer erklären, woran Dein Verständnis hapert.

Namenloser324 · Gast

Das Levi-Cita Symbol ist ja

wobei i,j und k jeweils 1,2 oder 3 sind. (also es können alle z.B. 2 sein oder i = 1 und die anderen 3 oder i = 1,j = 3, k = 2, frei voneinander wählbar)

Das Levi-Cita Symbol besitzt nur drei verschiedene Werte und zwar 1, - 1 und 0.

Welche Reihenfolge von i,j,k zu 1,-1 oder 0 führt kann man leicht bestimmen:

Für i = 1, j = 2, k = 3 (im weiteren ist schreibe ich für sowas nur noch 123, die erste Ziffer entspicht i, die zweite entspricht j die dritte k) hat das Levi-Cita Symbol den Wert 1.
Möchtest du nun für irgendeine andere Folge der Zahlen 123 den Wert des Levi-Cita Symbols wissen, musst du nur überlegen wie häufig du benachbarte Indizes (Index = i,j bzw. k) vertauschen musst um diese zu erhalten.
Ist die Zahl der Vertauschungen GERADE (0,2,4...) so hat das Levi-Cita Symbol den Wert 1.
Ist die Zahl ungerade (1,3,5,...) so hat das Levi-Cita Symbol den Wert -1.

In ALLEN anderen Fällen hat es den Wert 0, also insbesondere wenn zwei Indizes gleich sind (also z.B. i = 1,j = 3, k = 1, dann ist i = k und damit hat das Levi-Cita Symbol den Wert Null).

Ein paar Beispiele:

(Davon sind wir ja ausgegangen)

Denn ich musste die 1 mit der 2 tauschen um 213 zu erhalten. Also habe ich EINE Vertauschung durchgeführt, Eins ist eine UNGERADE Zahl, also hat das Symbol den Wert -1.

Ich musste zuerst die 1 mit der 2 Vertauschen und dann noch die 1 mit der drei, also ist die Zahl der Vertauschungen ZWEI, Zwei ist eine GERADE Zahl, also hat das Symbol den Wert 1

Zwei Indize sind gleich (i = k = 1), also hat das Symbol den Wert 0.

Hier sind sogar alle Indize gleich, also auch wieder den Wert 0.

Etwas allgemeiner gilt:

(i,j und k haben irgendeinen Wert, welcher ist egal(!))
D.h. wenn man benachbarte Indizes, deren Wert man nicht kennen braucht, vertauscht so wechselt das Vorzeichen des Levi-Cita Symbols, denn falls man vorher eine ungerade Zahl von Vertauschungen (bezogen auf 123) hatte, so hat man nach der weiteren Vertauschung eine gerade Zahl und umgekehrt natürlich genauso.

Ich hoffe das klärt das etwas auf.
Typische Anwendung ist z.B. die Darstellung des Kreuzproduktes zweier Vektoren:

Das Kreuzprodukt von zwei Vektoren kannst du doch bestimmt berechnen. Mach das mal und anschließend versuchst du mit den Regeln für das Levi-Cita Symbol die rechte Seite zu berechnen und schaust ob die beiden Ergebnisse übereinstimmen.
Das Summenzeichen zeigt an, dass über alle Indize (i,j,k) von 1 bis 3 summiert wird. Nicht erschrecken, überleg dir, wann das Symbol Null wird.
Die e_i stehen für die Einheitsvektoren mit e_1 z.B. als "x-Richtung", e_2 als "y-Richtung" und e_3 als "z-Richtung".
Poste dein Ergebnis dann hier.

Das Kroneckerdelta

ist noch viel einfacher, es hat nur zwei Werte: 1 und 0.
Die Indize i und j sind beliebige natürliche Zahlen (also können i und j irgendwelche Zahlen zwischen 1 und unendlich sein, jeweils unabhängig voneinander).
Falls gilt, dass i = j ist, dann ist das Kroneckerdelta gleich 1.
Ansonsten, also für i UNGLEICH j ist es 0.
Das meint man mit dem Spezialfall

denn i ist natürlich immer gleich i, also ist der erste Index immer gleich dem zweiten.

Beispiele:

Denn 1 ist ungleich 4

Denn 500 ist ungleich 24 (Das Komma habe ich zur Leserlichkeit hinzugefügt)

Denn 8 ist gleich 8.

Frage an dich:
Was ist

Ausrechnen und hier posten.

Deinstein · Gast

Mensch, WOW, vielen Dak für diese ausführliche Mühe!
Ja, ich kann ein Kreuzprodukt berechnen, aber wahrschenlich nur im schulmäßigen Sinn. Ich kann einfach keinen Zusammenhang zwischen meiner Schulbuchmethode und der Formel erkennen.
Was steht da?

Ich kann es mir echt nicht herleiten!

Und zum Kronecker Delta, würd ich sagen, dass dort 2 herauskommt.

So, wie Sie sehen, seh ich nichts! Falls Ihr Euch nichmal die Mühe gebt, dann tausend Dank im Voraus!

Namenloser324 · Gast

Nicht aufgeben, ich habe das am Anfang auch nicht verstanden und war nicht ausdauernd genug um einfach weiterzumachen. Das Gehirn passt sich schon an, einfach abwarten.

Gehen wir mal das Kreuzprodukt nacheinander durch:
Wofür steht denn überhaupt das Summenzeichen mit den drei Indize drunter?

Deinstein · Gast

komm mir hier echt n bissl blöd vor... Aber wenn nicht jetzt, wann denn dann?!?!

Hieße das nicht, dass

?

Namenloser324 · Gast

Nein, nicht ganz!
Es ist:

wobe sich die Grenzen von 1 bis 3 auf der rechten Seite aus dem Zusammenhang hier ergeben (ist halt eine abkürzende Schreibweise).

Das heißt also wir haben es mit einer Summe von einer Summe von einer Summe zu tun. Ist hier aber nicht so wild, da sich ganz viel rauskürzt!

Dann mal los, was erhält man denn, wenn man die Summe ganz rechts (die Reihenfolge ist an sich übrigens egal, es handelt sich um Summen die man ja beliebig umordnen darf (normale Addition eben)):

hier kennst du erstmal i und j nicht, du lässt sie also einfah so wie sie sind und kümmerst dich nur um den Index k.
Was kommt da raus?

Namenloser324 · Gast

Hab natürlich das levi-cita symbol vergessen

Deinstein · Gast

Man, wahrscheinlich sinds garnicht Civita und Kronecker, sondern einfach die Notationen und der Umgang mit Summen... (wahrscheinlich gleicht der Rest einem Raten, SORRY!)

Ich würd sagen,

Deinstein · Gast

und in jedem Summanden das noch

Namenloser324 · Gast

Ganz richtig.
Nun gehst du eine Summe weiter nach "außen" und berechnest:

Dabei fällt dann auch schon was weg! (Denk daran wann der Levi-City Null wird!)

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Mal ganz ehrlich:
Ihr solltet euch beide mal einen Account zulegen/einloggen... das wird langsam echt lächerlich mit den Korrekturen. Das kann kein Mensch mehr vernünftig lesen, bzw. wenn er es kann ist der Thread für ihn/sie eh nicht hilfreich, weil er/sie das eh kann...

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Jaja, mag sein das er/sie es "insgeheim" kann, aber nur mal gesagt bekommen muss, das es tatsächlich genau so gemeint ist wie er/sie es denkt. Zumindest hat mir manchmal sojemand gefehlt Augenzwinkern

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Mir ging es um die Lesbarkeit des Threads, nicht darum ob der Threadsteller es schon verstanden hat oder nicht (vermutlich nicht, sonst hätte er nicht gefragt).

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Darfst gerne rauslöschen bzw. zusammenführen Zunge raus

Sorry

(

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8576

Ich bin nicht dafür da euren Quatsch zu richten, weil ihr zu faul seid... bzw. wenn dann in meinem Sinne -> Löschen!

Deinstein · Gast

also ich kann jetzt nicht mehr folgen... wenns hier ein problem ist, und das kann ich "irgendwo" verstehen, dann lösch doch den thread! Vielen lieben Dank an die Mühe und Dein Verständnis, kingcools! Hat mich bis hierhin zumindest erstmal weitergebracht!

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Keine Ahnung wieso du jetzt aufgibst.
Wo kannst du denn nicht mehr folgen?

Deinstein · Gast

danach ist mir eigentlich nicht, aber ist halt auch kein Nachhilfeforum, und ich werde wohl noch etliche Einträge brauchen, damit was brauchbares bei rumkommt! Mir fallen die Augen zu! Vielen Dank bis hier! Gute Nacht erstmal!

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700