Drehung um beliebige Achse (Levi-Civita und Kronecker)

Henri · Anmeldungsdatum: 08.02.2014 Beiträge: 82

Hi,

Ich betrachte eine Drehung im dreidimensionalen Raum um eine beliebige Achse bzw. deren Drehmatrix:

Ich möchte das nun mittels des Levi-Civita-Symbols und des Kroneckerdeltas umschreiben. Also analog zum Wikipedia-Artikel zu Drehmatrizen. Dort steht es so:

Bzw. hierum geht es mir:

Die ersten beiden Summanden kann ich analog umformen, das funktioniert alles. Ich bekomme aber den Zusammenhang mit dem Levi-Civita-Symbol nicht hin Hilfe

Ich war bisher so weit, dass ich das Kreuzprodukt im letzten Summanden über das Levi-Civita-Symbol ausgedrückt habe:

Aber ich komme von da aus nicht weiter beim Umschreiben in die Komponentendarstellung... Ich glaube mir fehlt da die Erfahrung mit dem Epsilon Tensor, kann mir da jemand weiterhelfen grübelnd

Lg

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Schreib alle Terme in Komponentenschreibweise mit Indizes und Klammer dann das x_j aus.

(Dazu ist es evtl nötig einige Indizes umzubenennen...)

Henri · Anmeldungsdatum: 08.02.2014 Beiträge: 82

Hi,

danke für die Antwort. Also der erste Summand lautet:

d.h. die Komponente ij ist:

Der zweite beinhaltet nebst Vorfaktor cos nur den Vektor, sprich wenn ich x ausklammern will, steht hier die Einheitsmatrix, in Komponenten das Kroneckerdelta:

Beim dritten Summanden meine ich der Index k muss zu i werden, da ja der kte Einheitsvektor meine Zeile angibt. Sprich ich nenne die Indizes um und habe:

Wenn ich nun die Komponente ij betrachte, wird der i-te Einheitsvektor zu einer 1, richtig? Dann hätte ich:

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Hallo Henri, wenn du die Gleichung in beliebiger Dimension und Geometrie und mit Einstein Summenkonvention haben willst dann sieht das so aus:

Wenn du es aber in kartesischen Koordinaten mit

haben willst wo es keinen Unterschied macht ob man kovariante oder kontravariante indices hat, dann wird daraus:

Das Minus Zeichen kommt wegen Antisymmetrie des dreifachen Vektorprodukts.

Wo auch über doppelte Indices summiert wird (obwohl keine indices oben oder untern).
Wenn dir langweilig ist kannst du noch zur Übung diese Identitäten mit Indexnotation beweisen (f ist funktion, a und b Vektoren):

Danach kannst du mit Sicherheit gut mit Indexnotation umgehen Thumbs up!

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Henri · Anmeldungsdatum: 08.02.2014 Beiträge: 82

Sind denn meine Überlegungen zum Schluss soweit nachvollziehbar/richtig? Dann würde ja alles Sinn ergeben, mein Levi-Civita ist ja nur eine zyklische Permutation von dem wo ich hin will...

Lg

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8583

Wie Dein Einheitsvektor zu einer 1 wird solltest Du Dir nochmal überlegen... aber das Ergebnis stimmt natürlich.

PhysikGnom · Anmeldungsdatum: 04.11.2014 Beiträge: 77

Ok für jede Dimension sollte man eher das Dach Produkt einbauen, stimmt. Thumbs up!

Aber trotzdem ein netter Ausdruck finde ich.