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Kurzes, mathematisches Problem mit Kronecker Symbol
 
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Michel99



Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26

Beitrag Michel99 Verfasst am: 13. Jul 2017 23:25    Titel: Kurzes, mathematisches Problem mit Kronecker Symbol Antworten mit Zitat

Hallo,
ich habe mir schon vor einiger Zeit das Buch: "Physik mit Bleistift" geholt und finde eigentlich alles soweit relativ verständlich. Jedoch gibt es eine Gleichung in diesem Buch, die ich absolut nicht verstehe. Ein halbes Jahr versuche ich nun hin und wieder sie zu durchschauen, aber es gelang mir nie.
Es geht dabei um das Kronecker Symbol und die Einstein´sche Summenkonvention. Zum Schluss der Erklärung folgen sechs Gleichungen mit dem Kommentar diese zu verstehen, bevor man weiter liest. Fünf der Gleichungen waren mir sofort verständlich, aber eine blieb übrig...



Für mich ist die Sache relativ klar.

Da gilt:

folgt:

Aus der Gleichung:


folgt:

Also ist:


Warum ist das nicht so? Ich habe schon darüber nachgedacht, dass vielleicht die Summenkonvention mit in das Ergebnis einspielt, aber ich wüsste nicht an welcher Stelle, denn es sind nur Einheitsvektoren im Spiel und normalerweise wird die Summenkonvention nur bei 2 bis 3 dimensionalen Vektoren angewendet.
Hilfe

MfG
Michel
Michel99



Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26

Beitrag Michel99 Verfasst am: 13. Jul 2017 23:46    Titel: Antworten mit Zitat

andererseits ist
,da:

somit wäre nach umsortieren der Indezes
man sieht ich habe durchaus verschiedene Ansätze, aber insgesammt bin ich verwirrt und komme nicht auf das richtige Ergebnis. Ich vermute, dass man nicht immer in zerlegen darf...
alex2007



Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76

Beitrag alex2007 Verfasst am: 14. Jul 2017 01:25    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

es gilt Folgendes:



Außerdem gilt:


Womit klar wäre, wie die 9 entsteht.

Nun zu deiner Lösung:
Deine Idee mit der EINSTEINschen Summenkonvention ist richtig! Genau die hast du eventuell nicht richtig verstanden. Sie lautet:"Über doppelt vorkommende Indizes wird summiert"
Das beudetet:


Wenn du das zusammen mit der Beziehung

verwendest, erhälst du auch die als erstes beschriebene Formel/Regel.

Für deinen Ausruck:

musst du in Indexnotation beachten, dass immer über den ganzen Ausdruck summiert wird und nicht erst über einen und dann mal den anderen.*



Kann man jetzt entweder für jedes l und i ausrechenen oder aber man schaut genau hin.
Da die Terme, wo l verschieden von i ist sowieso 0 ergeben, kann man dafür schreiben:



* das liegt daran, dass:

gilt, was man leicht nachrechnen kann mit bspw. zwei unterschiedlichen Einheitsvektoren. Genau diese Bedingung verletzt du aber und machst das "ungleich" zu einem "gleich", wenn du erst über einen Index summierst und dann "mal" den anderen Term rechnest, den du dann summierst.

Hoffe das hilft zum Verstehen.
Viel Spaß noch mit der Indexnotation!


LG Alex
alex2007



Anmeldungsdatum: 23.11.2010
Beiträge: 76

Beitrag alex2007 Verfasst am: 14. Jul 2017 01:34    Titel: Antworten mit Zitat

Nachtrag: bei längeren Termen muss man schauen, aus welchem Term man entsprechend umgeformt/umsortiert hat. Wenn l und j beispielsweise verknüpft waren und ich sortiere um so, das über beide summiert wird, dann muss ich den kompletten term, wo die beiden Indizes vorkamen summieren. Wenn ich eine Verknüpfung mit weiteren Termen habe, wie die m und n ich aber zwischen m und l nicht tausche, weil diese nie miteinander verknüpft waren, dann summier ich den einen term über l und den anderen getrennt über m. Deswegen wird quasi über j und l summiert und dann mal den term, der über mn sum miert wird. Die verknüpfun gen müssen quasi bestehen bleiben. Bei vielen Sachen macht das klick, wenn man sich die mal sauber als Vektoren/Matrizen aufschreibt Und quasi die Standard-Komponentenrechnung macht! Dann sieht man gleichzeitig den großen Vorteil der Indexnotation, die alles untereinander tauschen kann und dann Rechenoperationen vereinfacht, aber die Regeln der Tensorrechnung, bleiben eben bestehen.

LG Alex
Michel99



Anmeldungsdatum: 10.02.2017
Beiträge: 26

Beitrag Michel99 Verfasst am: 14. Jul 2017 15:02    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
Zitat:
Wenn l und j beispielsweise verknüpft waren und ich sortiere um so, das über beide summiert wird, dann muss ich den kompletten term, wo die beiden Indizes vorkamen summieren. Wenn ich eine Verknüpfung mit weiteren Termen habe, wie die m und n ich aber zwischen m und l nicht tausche, weil diese nie miteinander verknüpft waren, dann summier ich den einen term über l und den anderen getrennt über m. Deswegen wird quasi über j und l summiert und dann mal den term, der über mn sum miert wird.


Aus dieser Aufgabe schließe ich, dass Notationen mit dem Kronecker Symbol nicht immer eindeutig sind. Denn es ist nirgendwo enthalten, welche Indezes verkünpft sind und welche nicht. Das scheint mir doch relativ willkürlich, wenn man so eine Gleichung ohne Zusammenhang mit einem konkreten Problem betrachtet.

MfG
Michel
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