Drehmoment mit Übersetzung

Paul98 · Gast

Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Hausaufgabe:
Gegeben sind zwei Zahnräder verschiedener Größe und ein Massekörper. Beide greifen ineinander ein. Bei Zahnrad 1 mit Radius r1 greift ein Drehmoment M1 an. Dieses Drehmoment wird auf Zahnrad 2 mit Radius r2 übertragen. An Zahnrad 2 widerum ist über ein Seil eine Masse m befestigt, die über dem Boden hängt. Mittels des Drehmoments M1 soll also, über Zahnrad 2, die Masse (gegen ihre Gewichtskraft) nach oben gezogen werden.
Aufgabe ist, die Beschleunigung der Masse zu berechnen, mit der sie nach oben gezogen wird in Abhängigkeit des Drehmoments M1.
Gegeben sind ansonsten noch die Massen der Zahnräder.

Meine Ideen:
Meine Idee sieht so aus:
Ich berechne zuerst das Drehmoment von Zahnrad 2 in Abhängigkeit von M1:

Des Weiteren ist ja

Ich dachte mir, dieses a_2 sollte ja schon fast die Beschleunigung sein, mit der die Masse nach oben gezogen wird, sodass ich alles nur noch gleichsetzen muss:

Aber dann würde sich r2 ja rauskürzen. Und für mich macht es keinen Sinn, dass die Beschleunigung keinen Einfluss von meinem zweiten Zahnrad hat.

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GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Da die Massen der Zahnräder gegeben sind, musst Du bei einer beschleunigten Bewegung auch deren Trägheitsmomente berücksichtigen.

Mathefix · Anmeldungsdatum: 05.08.2015 Beiträge: 5878 Wohnort: jwd

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Paul98 · Gast

Der Originaltext ist folgener:
Gegeben sind zwei Zahnräder, die ineinander greifen und annähernd als Kreisscheiben angesehen werden können. Beide haben eine Masse M1 bzw. M2 und einen Radius R1 bzw. R2.
Am Zahnrad mit der Masse M2 ist ein Gewicht der Masse M3 befestigt. Um dieses anzuheben, wird am Zahnrad mit der Masse M1 ein Drehmoment angelegt.
Gib die Beschleunigung, mit der die Masse M3 nach oben gezogen wird in Abhängigkeit des Drehmoments an.

Also ja, aber wie kann ich die Trägheitsmomente in meinen Berechnungen unterbringen?

as_string · Moderator Anmeldungsdatum: 09.12.2005 Beiträge: 5789 Wohnort: Heidelberg

Du musst für jedes Zahnrad zuerst sehen, welche Drehmomente auf das wirkt. Auf das erste wirkt zb M1 und das Drehmoment des zweiten Zahnrades in entgegen gesetzter Richtung.
Dabei ist der Betrag der Kraft am Außenrand des ersten gleich dem Betrag der Kraft am Außenrand des zweiten, aber wegen der unterschiedlichen Radien das Drehmoment nicht. Auf das zweite wirken wieder zwei Drehmomente.
Die Drehmomente bewirken jeweils eine Winkelbeschleunigung bzw die Kraft am Seil eine Beschleunigung der Masse m3.
Außerdem haben die Winkelbeschleunigungen bzw die Beschleunigung von m3 feste Verhältnisse zueinander. Das kann man als weitere Gleichungen aufstellen.
Am Ende bekommst Du ein Gleichungssystem, dass Du lösen kannst.

Gruß
Marco

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Sorry für die Verwirrung. Ich habe die Aufgabe nochmal durchgelesen und festgestellt, dass ich die Indizes vertauscht habe. Die Masse m3 hängt tatsächlich am Zahnrad 2, ich hatte sie in meiner Rechnung an Zahnrad 1 gehängt. Die Momentengleichung muss deshalb richtigerweise lauten:

mit

und