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Gast
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 Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 15:21 Titel: schräger wurf |
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hallo!
bin mir nicht ganz sicher, ob ich die aufgabe richtig gemacht habe...
| Zitat: | Man kann mit einem Gartenschlauch aus 1.5m Höhe 10m hoch spritzen.
Wie weit kann man maximal mit diesem Schlauch spritzen? |
also zuerst hab ich mir überlegt, dass es ja optimal wäre im 45° winkel zu spritzen.
dann hab ich v_0 ausgerechnet.
dann hab ich versucht die horizontal zurückgelegte strecke bis zu dem moment auszurechnen, an dem sich das wasser wieder auf der höhe von 1.5m befindet und wieder die geschwindigkeit von v0 hat.
=v_0*cos( \alpha)*t)
dafür muss ich also erst t ausrechnen!
 = 2.0193s)
jetzt in die sx-formel einsetzen:
 * 2s= 20m)
(habe natürlich mit den exakten werten gerechnet!  )
so, jetzt brauch ich nur noch die horizontale strecke, wenn das wasser die letzten 1.5m vertikal überwindet.
s_y kennt ich ja jetzt schon, nämlich 1.5m -
also kann ich mit der formel von s_y die benötigte zeit für diese strecke ausrechnen.
 - 0.5*9.81 \frac{m}{s^2} *t^2)
das problem ist jetzt aber, dass ich natürlich zwei werte für t bekomme...
t1=0.1649s und t2=1.85436s
ist das dann richtig? geht dss überhaupt?
ich hab mir dann halt überlegt, dass es ja eigentlich gar nicht t2 sein kann, wenn das wasser für die 20m gute 2s braucht, kommt das ja gar nicht hin!
also hab ich t1 in die formel von sx eingesetzt:
 * 0.1649s=1.63326m)
insgesamt legt das wasser also in horizontaler richtung ca. 21.63326 m zurück!
kann mir jemand sagen, ob das so richtig ist? bin nämlich noch nicht so ganz davon überzeugt... |
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Schrödingers Katze
Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 695
Wohnort: Leipzig
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| Schrödingers Katze Verfasst am: 18. Feb 2006 15:34 Titel: |
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Na, der Rechenweg macht mich auch skeptisch. Rechne doch die Zeit aus, bis er oben ist (Beschleunigung rückwärts auf  (in Y-Richtung). Damit kannst du die Strecke ausrechnen, die er hoch ist, dazu addierst du die Starthöhe und errechnest jetzt die Fallzeit. Die gesamte Zeit dann in die wagerechte Bewegung eingesetzt und fertig. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 16:01 Titel: |
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danke für den tip, aber das scheint irgendwie auch nicht zu funktionieren...
also die zeit bis zum scheitelpunkt berechnet sich so:
 => t_s=1.00964s)
jetzt die strecke in y-richtung:
-\frac{g}{2}*(t_s)^2 => s_y=5m)
5m+1.5m = 6.5m
so, und jetzt bei der fallzeit hakts:
-9.81 \frac{m}{s^2}*0.5*(t_f)^2 => false!)
diese gleichung ist nicht lösbar...
hab ich jetzt was falsch gemacht, oder funktioniert das einfach nur nicht so? |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 16:12 Titel: |
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aaah, ich glaube, ich habe meinen fehler selbst gefunden!
bei der berechnung der fallzeit, ist ja v_0 nicht 14 sondern 0!
hab das jetzt mal mit 0 ausgerechnet, dann fällt ja der vordere teil ganz weg, und für t gibts zwei ergebnisse:
t=0s und t=-2.6504s
hm, 0s kann man ja schonmal ausschließen... aber warum kommt denn jetzt einen negative zeit heraus?!
hängt das damit zusammen, weil das wasser fällt...? |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 16:52 Titel: |
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Der optimale Winkel ist nur bei Starthöhe null 45°, bei anderen Starthöhen ist er
sowohl von der Höhe als auch von v0 abhängig.
Die Startgeschwindigkeit v0 muss hier für hmax = 8,5 m berechnet werden, denn die
Starthöhe h0 ist 1,5 m, damit wird v0 = Wurzel(2*hmax*g) = 12,9 m/s.
Die größte Weite ist nur für h0 = 0 einfach zu berechnen, smax = v0^2*sin(2*alpha)/g.
Bei alpha = 45° bzw. sin(2*alpha) = 1 ergibt das 2*hmax = 17 m. In dieser Entfernung
ist wieder h0 und v0 erreicht.
Die restliche Strecke könnte als schräger Wurf nach unten aus h0 = 1,5 m mit v0 = 12,9 m/s
berechnet werden. Wegen der Symmetrie der Wurfparabel zeigt alpha jetzt mit 45° abwärts. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 17:00 Titel: |
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ich versteh grad nicht so wirklich viel...?!?
unser lehrer hat auch gesagt, der optimale winkel für diese aufgabe sei 45°..
und wie kommst du auf einmal auf hmax=8.5?! |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 17:04 Titel: |
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ach, ich glaub, ich weiß, wie du auf die 8.5m gekommen bist... 10-1.5!
aber von den 1.5m gehts 10m hoch, also insgesamt 11.5m!
ich versteh den rest trotzdem noch nicht... |
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Nikolas
Ehrenmitglied
Anmeldungsdatum: 14.03.2004
Beiträge: 1873
Wohnort: Freiburg im Brsg.
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| Nikolas Verfasst am: 18. Feb 2006 17:16 Titel: |
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In diesem Thread wurde ein ähnliches Thema besprochen und da steht auch, warum 45° hier nicht der optimale Winkel ist.
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Nikolas, the mod formerly known as Toxman.
Erwarte das Beste und sei auf das Schlimmste vorbereitet. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Feb 2006 22:48 Titel: |
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Zum erwarteten Ergebnis:
Wenn die Spitze des Schlauches vom Boden aus spritzt, dann ist der optimale Winkel in der Tat 45°, wie dein Lehrer sagt.
Wenn die Spitze des Schlauches aber von den 1,5 m Höhe aus spritzt, die in der Aufgabe erwähnt sind, dann kommt man mit einem flacheren Winkel weiter.
Rechnen würde ich das so:
1) Senkrecht nach oben kommt das Wasser 10 m weit. Daraus berechne ich die Geschwindigkeit des Wassers beim Austritt aus dem Schlauch.
2) Nun betrachte ich die vertikale Komponente der Bewegung bei irgendeinem schiefen Winkel alpha. Und berechne die Zeit bis zum Auftreffen auf dem Boden in Abhängigkeit dieses Winkels.
3) Während dieser Zeit legt das Wasser in horizontaler Richtung mit konstanter Geschwindigkeit den Weg s zurück. Die Formel s(alpha) stelle ich auf und kann dann bestimmen, für welches alpha die Spritzweite s maximal wird. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 23:06 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Wenn die Spitze des Schlauches vom Boden aus spritzt, dann ist der optimale Winkel in der Tat 45°, wie dein Lehrer sagt.
Wenn die Spitze des Schlauches aber von den 1,5 m Höhe aus spritzt, die in der Aufgabe erwähnt sind, dann kommt man mit einem flacheren Winkel weiter. |
okay, das hab ich jetzt verstanden!
| Zitat: | | 1) Senkrecht nach oben kommt das Wasser 10 m weit. Daraus berechne ich die Geschwindigkeit des Wassers beim Austritt aus dem Schlauch. |
ja, das hab ich ja oben schon gemacht.
| Zitat: | | 2) Nun betrachte ich die vertikale Komponente der Bewegung bei irgendeinem schiefen Winkel alpha. Und berechne die Zeit bis zum Auftreffen auf dem Boden in Abhängigkeit dieses Winkels. |
wie genau soll ich das machen?
ich wüsste jetzt nur, wie ich die zeit berechne, bis das wasser sich wieder auf der höhe von 1.5m befindet... |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 18. Feb 2006 23:23 Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: |
wie genau soll ich das machen?
ich wüsste jetzt nur, wie ich die zeit berechne, bis das wasser sich wieder auf der höhe von 1.5m befindet... ?( |
entweder so:
Die Hälfte deiner Zeit ist die bis zum oberen Umkehrpunkt. Dann berechnest du die Höhe dieses Punktes. Und dann die Zeit für einen freien Fall aus dieser Höhe bis ganz runter zum Boden. Und dann die Zeiten für diese beiden Teilbewegungen zusammenzählen.
oder so:
Aus der kompletten Gleichung für die vertikale Bewegung:
h(t) = h_0 + v_0_senkrecht*t - (g/2)t^2 = 0 |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 18. Feb 2006 23:52 Titel: |
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okay, also
=h_0+v_0*t-(g/2)*t^2=0)
hab das negative ergebnis gleich weggelassen...
eine frage zu dieser formel: warum hast du da jetzt das sin(alpha) nicht mit dazu geschrieben? dauert ein senkrechter wurf genauso lange wie ein waagerechter?
naja, ich versuchs jetzt mal weiter zu rechnen!
=v_0*cos(\alpha)*t=14m/s*cos(\alpha)*2.959s)
ein maximum lässt sich dort bei alpha=0 und alpha=360° finden... wie soll ich das denn deuten? hab ich schon wieder was falsch gemacht??  |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 19. Feb 2006 00:17 Titel: |
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Ich sollte dich allerdings fairerweise vorwarnen. Wenn du am Ende die Formel für s(alpha) abgeleitet hast und Null setzt, um das Maximum zu bestimmen, bekommst du eine ziemlich lange Gleichung mit ziemlich viel sin(alpha) und cos(alpha) drin, die nicht so ganz ohne ist.
Deshalb vermute ich, dass du das ganze für Anfangshöhe des Wassers = 0 rechnen sollst. Für diesen Fall kannst du die Gleichung für s'(alpha) = 0 sicher lösen. |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 19. Feb 2006 00:20 Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: |
eine frage zu dieser formel: warum hast du da jetzt das sin(alpha) nicht mit dazu geschrieben? dauert ein senkrechter wurf genauso lange wie ein waagerechter?
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Okay, tschuldige, das war vielleicht missverständlich von mir,
mit "v_0_senkrecht" hatte ich dein (v_0 * sin(alpha)=14 m/s * sin(alpha)) gemeint, damit bleibt der Winkel in der Tat in der Formel drin stehen. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 19. Feb 2006 18:14 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | Ich sollte dich allerdings fairerweise vorwarnen. Wenn du am Ende die Formel für s(alpha) abgeleitet hast und Null setzt, um das Maximum zu bestimmen, bekommst du eine ziemlich lange Gleichung mit ziemlich viel sin(alpha) und cos(alpha) drin, die nicht so ganz ohne ist.
Deshalb vermute ich, dass du das ganze für Anfangshöhe des Wassers = 0 rechnen sollst. Für diesen Fall kannst du die Gleichung für s'(alpha) = 0 sicher lösen. |
okay, ich glaube, das war in der aufgabe nicht so gedacht...
mein lehrer hat sich die selbst überlegt und es soll schon auf alle fälle so sein, dass der schlauch auf 1.5m höhe liegt - aber ich rechne das jetzt einfach mit 45° aus... ich hab ihn schließlich extra in der stunde noch gefragt, ob er 45° mit optimal meint und er hat das deutlich bejaht! werde ihn aber nochmal ansprechen von wegen optimal und so...
okay, ich hatte ja oben im anfangspost schon v_0 berechnet, das waren ca 14m/s.
jetzt hab ich die maximale höhe berechnet, die das wasser erreichen kann, nämlich 6,5m (hab ich ja auch schon oben gemacht).
für t_s (also die zeit bis zum scheitelpkt) hab ich nach
)
t_s=1.0096s raus.
die fallzeit hab ich mit folgender formel berechnet:
+g/2*t^2, mit s_y=6.5m und v_0=0m/s)
ergab dann t_f=1.151164s
das ist eine gesamtzeit von t_ges=2,1608s
so, jetzt komm ich endlich zur eigentlichen strecke:
*t_ges)
alles eingesetzt ergibt: 
so, diese animation stimmt mich optimistisch, dass ichs nun endlich geschafft hab:
http://www.walter-fendt.de/ph14d/wurf.htm
könnte mir das jetzt noch jemand vom fach bestätigen?
schonmal danke für die geduld.... |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 19. Feb 2006 20:55 Titel: |
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ich will ja nur ungern quängeln, aber ich würd mich freuen, wenn irgendjemand zu der rechnung sein ja und amen hinzusetzen könnte... markus? *winsel* |
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 19. Feb 2006 21:16 Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: |
für t_s (also die zeit bis zum scheitelpkt) hab ich nach
t_s=1.0096s raus.
...
alles eingesetzt ergibt:
...
so, diese animation stimmt mich optimistisch, dass ichs nun endlich geschafft hab:
http://www.walter-fendt.de/ph14d/wurf.htm
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Schöne Simulation, die du da online gefunden hast! Die liefert aber das Ergebnis 20,0 m , nicht 21,4 m!
Bei der Fallzeit hast du dich irgendwo verrechnet.
Aber da der Startpunkt der Bewegung jetzt ja einfach auch am Boden liegt, ist die Fallzeit gerade gleich der Steigzeit, die du schon ausgerechnet hattest.
Wenn du das korrigierst, dann hast du folgendes geschafft:
Du hast die Information verwendet, dass der optimale Winkel = 45° ist, und damit ausgerechnet, wie weit das Wasser spritzt.
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Damit hast du aber gar nicht gezeigt, dass dieser optimale Winkel gerade 45° ist. Um das zu zeigen, müsstest du den Winkel in deinen Formeln stehenlassen und nicht von vorneherein 45° einsetzen.
Dann bekommst du am Ende eine Formel für das s, in dem der Winkel noch drinsteht. Und für welchen Winkel das s maximal ist, findest du ja dann heraus, indem du s(alpha) nach alpha ableitest und diese Ableitung s'(alpha) gleich Null setzt. Und ich meine, erst wenn dabei dann alpha=45° rauskommt, hast du wirklich "gewonnen". |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 19. Feb 2006 21:26 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: |
Schöne Simulation, die du da online gefunden hast! Die liefert aber das Ergebnis 20,0 m , nicht 21,4 m! |
also bei mir steht da, wenn ich ausgangshöhe=1.5 und anfgangsgeschwindigkeit=14,007 setze, eine zeit von 2,16s und eine wurfweite von 21,4m!
| Zitat: | | Aber da der Startpunkt der Bewegung jetzt ja einfach auch am Boden liegt, ist die Fallzeit gerade gleich der Steigzeit, die du schon ausgerechnet hattest. |
aber wenn fallzeit=steigzeit wäre, würd das wasser ja 1,5m überm boden aufhören zu fallen......
| Zitat: | Damit hast du aber gar nicht gezeigt, dass dieser optimale Winkel gerade 45° ist. Um das zu zeigen, müsstest du den Winkel in deinen Formeln stehenlassen und nicht von vorneherein 45° einsetzen.
Dann bekommst du am Ende eine Formel für das s, in dem der Winkel noch drinsteht. Und für welchen Winkel das s maximal ist, findest du ja dann heraus, indem du s(alpha) nach alpha ableitest und diese Ableitung s'(alpha) gleich Null setzt. Und ich meine, erst wenn dabei dann alpha=45° rauskommt, hast du wirklich "gewonnen". |
ja, den weg hab ich jetzt glaub ich auch verstanden!
vielleicht, wenn ich ganz doll motiviert bin, setz ich mich da gleich auch nochmal ran!
auf alle fälle schonmal vielen dank, dass du dir soviel zeit für mich nimmst!  |
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Nikolas
Ehrenmitglied
Anmeldungsdatum: 14.03.2004
Beiträge: 1873
Wohnort: Freiburg im Brsg.
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| Nikolas Verfasst am: 19. Feb 2006 21:26 Titel: |
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ich würde mal sagen: Ja und Amen. Ich habs mal nachgerechnet und kam auf die gleichen Werte.
Unter der (falschen) Annahme, dass man unter 45° spritzt, stimmt dein Ergebniss.
Der optimale Winkel ergibt sich jedoch zu 27,71°, so dass das Ergebniss stark von der Realität abweichen wird.
Wenn du das wirklich rechnen willst, kannst du dir hier mal die Rechnung mitsammt Lösung anschauen.
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Gast
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| Gast Verfasst am: 19. Feb 2006 21:30 Titel: |
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| Toxman hat Folgendes geschrieben: | | ich würde mal sagen: Ja und Amen. Ich habs mal nachgerechnet und kam auf die gleichen Werte. |
juuuuchuuu!
| Zitat: | | Der optimale Winkel ergibt sich jedoch zu 27,71°, so dass das Ergebniss stark von der Realität abweichen wird. |
oh! hätte nicht gedacht, dass das so viel ausmacht...
| Zitat: | | Wenn du das wirklich rechnen willst, kannst du dir hier mal die Rechnung mitsammt Lösung anschauen. |
irgendwie macht mir das jetzt ein wenig angst... |
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para
Moderator
Anmeldungsdatum: 02.10.2004
Beiträge: 2874
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| para Verfasst am: 19. Feb 2006 21:33 Titel: |
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Na ja, als Quintessenz derartiger Wurfbetrachtungen könnte man stehenlassen: die Wurfweite ist dann maximal, wenn das Wurfobjekt unter einem Winkel von 45° auftrifft. Das kann man vielleicht guten Gewissens ausnutzen ohne die Herleitung zu kennen. 
//edit: Sag mal Tox, kann es sein dass die 27,71° auch nicht zur optimalen Wurfweite führen? Die Simulation liefert dafür dann nur 19m im Vergleich zu 21,4m bei 45°.
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Formeln mit LaTeX |
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Nikolas
Ehrenmitglied
Anmeldungsdatum: 14.03.2004
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Wohnort: Freiburg im Brsg.
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| Nikolas Verfasst am: 19. Feb 2006 22:01 Titel: |
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| Zitat: | | //edit: Sag mal Tox, kann es sein dass die 27,71° auch nicht zur optimalen Wurfweite führen? |
ähm. Ja. Die Gleichung dazu ist =\sqrt{\frac{v²}{2v²+2gh}})
Bei den 27° hab ich vergessen die Wurzel aus dem Bruch zu ziehen. Richtig gerchnet kommen 43° raus.
[tut mir leid. hätte mir eigentlich auffallen müssen, dass der Wert recht komisch aussieht. Tschuldigung 
_________________
Nikolas, the mod formerly known as Toxman.
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dermarkus
Administrator
Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788
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| dermarkus Verfasst am: 19. Feb 2006 22:02 Titel: |
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Der optimale Winkel nach der Lösung, auf die Toxman verweist, ist 43,0°, wenn ich v_0 = 14,0 m/s und h_0=1,50 m einsetze.
Und laut online-Simulator stimmt für diesen Winkel die maximale Weite noch bis auf alle drei angezeigten Stellen mit dem Wert für 45° überein.
Also kann ich nun bestätigen, dass das Ergebnis 21,4 m richtig ist!
(Sorry, dass du das tatsächlich einfach trotzdem mit Anfangshöhe 1,5 m und der Annahme optimaler Winkel=45° gerechnet hattest, hatte ich nicht erwartet. Ich würde sagen: Gratuliere zu diesem erfolgreichen kecken Ansatz!) |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 19. Feb 2006 22:35 Titel: |
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| dermarkus hat Folgendes geschrieben: | | Ich würde sagen: Gratuliere zu diesem erfolgreichen kecken Ansatz!) |
danke!
bin grade sehr happy, denn ich habs doch noch geschafft, den optimalen winkel auszurechnen, und bin sogar auf 43° gekommen!
habe allerdings den ti bemüht, was das ableiten und maximum finden angeht - das hätte ich so nicht hinbekommen!
trotzdem bin ich jetzt ein ganz kleines bisschen stolz auf mich!
vieeelen dank, hab das alles jetzt glaub ich sehr gut verstanden!  |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 19. Feb 2006 22:54 Titel: |
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Alternative Version:
v0 = 12,9 m/s, h0 = 1,5 m, alpha = 42,7° -> s = 18,44 m. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 20. Feb 2006 11:46 Titel: |
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| Anonymous hat Folgendes geschrieben: | Alternative Version:
v0 = 12,9 m/s, h0 = 1,5 m, alpha = 42,7° -> s = 18,44 m. |
hat jetzt aber so gar nichts mit meiner ursprünglichen aufgabe zu tun.... |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 20. Feb 2006 15:31 Titel: |
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"Man kann mit einem Gartenschlauch aus 1.5m Höhe 10m hoch spritzen."
"10 m hoch" heißt 10 m über dem Boden, sonst müsste es heißen '10 m höher'.
Also ist die erreichte Höhe über h0 gleich 8,5 m, damit v0 = 12,9 m/s.
"Wie weit kann man maximal mit diesem Schlauch spritzen?"
Das hängt von v0 und h0 ab und nicht von "diesem Schlauch".
Es müsste heißen 'unter den genannten Bedingungen', also v0 berechenbar und h0 bekannt.
Es wurde schon darauf hingewiesen, dass 45° nur für h0 = 0 der optimale Winkel ist.
Allgemein gilt für den optimalen Winkel
sin(alpha) = Wurzel(v0^2/(2*v0^2 + 2*g*h0)),
für h0 = 0 wird daraus sin(alpha) = Wurzel(1/2) bzw. alpha = 45°,
und zwar nur in diesem Fall unabhängig von v0.
Für die Wurfweite gilt
s = v0*cos(alpha) * (v0*sin(alpha) + Wurzel(v0^2*sin^2(alpha) + 2*g*h0))/g,
für h0 = 0 wird daraus s = v0^2*sin(2*alpha)/g und mit 45° wird smax = v0^2/g.
Das waren die Überlegungen und Gleichungen zur alternativen Version. |
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Gast
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| Gast Verfasst am: 20. Feb 2006 17:28 Titel: |
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ich zweifel gerade daran, dass du den ganzen thread gelesen hast!
die aufgabe war mündlich von meinem lehrer gestellt, weshalb man wohl nicht so genau auf die wortwahl achten sollte und da ich mir schon dachte, dass die 10m konfliktpotenzial mit sich bringen, habe ich extra betont, dass es insgesamt 11.5m sein würden.
aber egal. du meinst es ja auch nur gut. |
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