Zylindrischer Kondensator Polarisierung etc. berechnen

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Meine Frage:
Hallo,

Ein Kondensator bestehe aus zwei konzentrischen und unendlich langen metallischen Zylindern der Radien a und b (a < b). Sein Innenraum sei in einem Winkel von 90° mit einem homogenen und isotropen Dielektrikum

gefüllt. Die innere Platte sei pro Längeneinheit mit der Ladung Q geladen, die äußere mit der Ladung - Q .

a) Bestimme die dielektrische Verschiebung

in den zwei Bereichen des Innenraumes des Kondensators.

b) Wie groß ist die Polarisierung

??

c) Wie hoch ist die Spannung zwischen den Leiterplatten?

d) Welche Kapazität pro Längeneinheit besitzt der Kondensator?

e) Angenommen, das Dielektrikum besitze eine endliche Leitfähigkeit

. Wie hoch ist dann der Widerstand des Kondensators? Wie lange dauert es, bis er entladen ist??

Meine Ideen:
Zu a) Die dielektrische Verschiebung ist definiert als:

, wobei

das elektrische Feld sein soll. Ich muss also zunächst das E-Feld berechnen, vielleicht mit den Maxwell-Gleichungen??

Zu b) Das Gaußsche Gesetz bzw. ene der Maxwell-Gleichungen besagt:

. das bedeutet also, ich benötige die Größen aus Teil a) , oder?

Zu c) Die Spannung zwischen den Leiterplatten müsste ich doch über das Linienintegral

erhalten, oder irre ich mich auch hier?

Zu e) habe ich keinen konkreten Ansatz.

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen!

Viele Grüße
Widderchen

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

wie berechne ich konkret das E-Feld dieses Zylinderkondensators? Müssen hier auch Stetigkeitsbedingungen zwischen Dielektrikum und dem Raum zwischen den beiden Kondensatorflächen aufgestellt werden?

Ich habe keinen konkreten Ansatz zur Bearbeitung dieser Aufgabe.

Viele Grüße
Widderchen

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

Das Problem ist, dass - abhängig vom Radius - die Feldstärke sich ändert.
Die m.E. einfachst Rechenmöglichkeit ist die Konforme Abbildung, die dafür sorgt, dass die Berechnung wieder so einfach wird wie beim Plattenkondensator.
In Deinem Fall ist die Feldrichtung aber radial, also Formel anpassen.

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

zunächst vielen Dank für deine Antwort. Ich verstehe das Prinzip der w-Ebene noch nicht so recht. Soll das auf irgendwie auf den Einheitskreis hindeuten? grübelnd

Beträgt der Winkel Alpha in diesem Fall 90° ? Ich kann die Skizze leider nicht ganz nachvollziehen.

Ich erinnere mich jedoch dunkel, dass die Kapazität eines Zylinderkondensators über den Logarithmus dargestellt wurde.

Allerdings habe ich keinen konkreten Ansatz zur Berechnung des E-feldes.

Viele grüße
Widderchen

isi1 · Anmeldungsdatum: 03.09.2006 Beiträge: 2902 Wohnort: München

Die konforme Abbildung kann man in diesem Fall mit Nutzen verwenden wegen der Eigenschaft, dass die Feldlinien und die Äquipotentiallinien senkrecht aufeinander stehen. Die Form im Kleinen bleibt bei der Transformation erhalten.
Du sparst Dir die Integration und m.E. ist es damit auch verständlicher.
In Deinem Fall sind die Elektroden nicht so wie gezeichnet sondern senkrecht dazu.
Die Formel unten im Bild muss dann so heißen:

Du hast nun zwei Winkel mit unterschiedlichem ε = ε0 * εr, bei den 90° ist εr ungleich 1, im Rest ist wohl εr = 1. (L soll die Länge sein).

>>> d) Welche Kapazität pro Längeneinheit besitzt der Kondensator?

>>> a) Bestimme die dielektrische Verschiebung in den
>>> zwei Bereichen des Innenraumes des Kondensators.
D(r) = Ladung Q durch Zylinderfläche (r pi/4)(εr + 3)
Der Teil εr für die 90° und die 3 für den Rest

>>> c) Wie hoch ist die Spannung zwischen den Leiterplatten?
U = Q / c'

>>> e) Angenommen, das Dielektrikum besitze eine Leitfähigkeit σ
>>> Wie hoch ist dann der Widerstand des Kondensators?
R/L = r' =

>>> Wie lange dauert es, bis er entladen ist?
Frage ist blöd formuliert, denn man könnte sagen: ewig
Normal sagt man 5 * tau
Und tau = C*R = C / G = (εr+3)*ε0 / σ

Reicht Dir das, Widderchen? (Bitte meine Formeln überprüfen - nicht dass ich mich verschrieben habe)

Widderchen · Anmeldungsdatum: 08.04.2015 Beiträge: 193

Hallo,

vielen Dank für deine Hilfestellungen, isi1. Ich werde mir das in Ruhe ansehen und ggf. Rückfragen bei Unklarheiten stellen.

Viele Grüße
Widderchen