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Dreifachintegral bzw. Volumenintegral
 
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bluefire



Anmeldungsdatum: 07.02.2006
Beiträge: 6

Beitrag bluefire Verfasst am: 08. Feb 2006 00:26    Titel: Dreifachintegral bzw. Volumenintegral Antworten mit Zitat

hi ich hab nen kleines problem.... und hoffe ihr könnt mir schnell helfen Augenzwinkern

wenn ich das Trägheitsmoment bei einer Kugel mit homogener Masseverteilung berechnen will mach ich das ja mit einem dreifach integral

J = Dichte * (Integral von 0 bis R (Radius der Kugel)) (Integral von 0 bis PI) (Integral von 0 bis 2PI) r^4 * sin^3 (alpha) dr d(alpha) d(Phi)

hoffe ihr könnt die formel entziffern Big Laugh

nun kommt meine frage wenn ich anstelle von einer Kugel einen Tetraeder habe wie müsste diese Formel aussehen Hilfe
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5564
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 08. Feb 2006 01:10    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo!

Welche Rotationsachse?

Zu der Kugel: Das ist ja in Kugelkoordinaten, was bei einer Kugel ja auch durchaus Sinn macht. Bei einem Tetraeder würde man das wohl eher nicht machen.

Ich gehe mal davon aus, dass die Rotationsachse senkrecht auf einer Seite steht und durch die gegenüberliegende Spitze läuft. Aber, handelt es sich dabei um einen gleichmäßigen Tetraeder mit gleichen Kantenlängen überall?
Ich gehe mal von einem gleichmäßigen Tetraeder aus. Wenn Du einen Schnitt senkrecht zu der Rotationsachse machst, hast Du immer ein gleichseitiges Dreieck. Die Kantenlängen gehen von a (a soll mal die Kantenlänge des Tetraeders sein) bis 0 an der Spitze. Du solltest also erstmal J für ein Dreieck mit einer bestimmten Flächendichte ausrechnen. Danach kannst Du die dann entlang der Achse aufintegrieren.
Das Drehmoment für eine Dreiecksfläche ist allerdings nicht wirklich einfach. Das kann ich auch nicht so aus dem Stehgreif. Ich überleg' das mal und melde mich dann wieder, wenn ich was hab. Probier' auch mal selber, ob Du was rausfindest!

Gruß
Marco

Edit: Und nochwas hat sich geklärt: Ein Tetraeder scheint immer gleichmäßig zu sein, also immer alle Kanten die Länge a.


Zuletzt bearbeitet von as_string am 08. Feb 2006 01:27, insgesamt einmal bearbeitet
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5564
Wohnort: Heidelberg

Beitrag as_string Verfasst am: 08. Feb 2006 01:20    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo nochmal!

Ich habe gerade etwas nachgedacht. Ein (gleichseitiger) Tetraeder hat ja schonmal vier Achsen, die das selbe Trägheitsmoment haben. Also muß das Trägheitsmoment von jeder beliebigen Achse (zumindest wenn sie durch den Mittelpunkt geht) auch gleich sein. Also hätte sich schon mal meine Frage nach der Achse erledigt, weil ich das Trägheitsmoment mit jeder beliebigen berechnen kann.

Gruß
Marco
dermarkus
Administrator


Anmeldungsdatum: 12.01.2006
Beiträge: 14788

Beitrag dermarkus Verfasst am: 08. Feb 2006 11:32    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo,

wenn du statt einer Kugel ein Tetraeder hast, dann sehen die Integrale komplexer aus. Denn Tetraederkoordinaten gibts halt nicht smile

Ich denke, du willst das Trägheitsmoment eines Tetraeders bezüglich einer Achse berechnen, die durch den Schwerpunkt und durch einen Eckpunkt geht.

Ich wähle die Bezeichnungen
s: Länge einer Kante des Tetraeders
h: Höhe eines der vier Dreiecke an der Oberfläche des Tetraeders
H: Höhe des Tetraeders

Ich wähle die x- und y- Achse so durch den Mittelpunkt des Tetraeders, dass die xy-Ebene parallel zur Grundfläche und die x-Achse parallel zu einer Kante der Grundfläche ist. Die z-Achse zeigt senkrecht nach oben durch die Spitze des Tetraeders.

Dann hängen in den Integralen für das Trägheitsmoment Theta die Integrationsgrenzen von den anderen Variablen ab:



Dabei ist

Nun muss man viele einfache Integrale lösen, und kommt am Ende mit dem Volumen

auf:



Dabei ist M die Masse des Tetraeders.
Wegen

lässt sich das noch vereinfachen zu :



Schönen Gruß, Markus

-----------

Obige Berechnung gilt für ein völlig symmetrisches Tetraeder, aber auch für ein Tetraeder mit gleichseitigem Dreieck (mit Kantenlänge s und Höhe h) als Grundfläche und beliebiger Tetraederhöhe H, wenn die Trägheitsachse durch Mittelpunkt und Spitze des Tetraeders geht.
bluefire



Anmeldungsdatum: 07.02.2006
Beiträge: 6

Beitrag bluefire Verfasst am: 08. Feb 2006 21:33    Titel: Antworten mit Zitat

wow vielen danck ihr beiden des hat mir supergut weitergeholfen

Gott Gott Gott big thx Gott Gott Gott
HerrDauer



Anmeldungsdatum: 22.10.2006
Beiträge: 2

Beitrag HerrDauer Verfasst am: 22. Okt 2006 15:21    Titel: Antworten mit Zitat

Nachtrag : Tetraederkoordinaten gibt es doch - der berühmte Herman Weyl hat sie vor etwa 100 Jahren benützt.

Ich glaube, daß man sie für die moderne Teilchenphysik anwenden kann.

wenn f1' = 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 und

f1' = Transl ( 2 )( f1')

und f1 + Transl ( -2 )( - f2 ) = 0 1 2 3 0 -1 -2 -1 0

dann kreiert f ( f1 , f2 ) 2d Orbitale, in dem Fall 4 Rechtecke neben 0 und

4 diagonale Quadrate um 0.

[wortwörtliche zitate sollten gekennzeichnet werden!, para]

de.wikipedia.org/wiki/Tetraeder hat Folgendes geschrieben:
Die Einbettung des Tetraeders in einen Würfel bietet eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu konstruieren. Bezeichnen wir die Eckpunkte des Würfels an der Basis mit A, B, C und D sowie die darüberliegenden Eckpunkte mit E, F, G und H, so bilden A, C, F und H sowie B, D, E und G jeweils die Ecken eines Tetraeders. Betrachtet man z.B. in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem den Würfel, dessen Ecken die Koordinaten +1 und -1 haben, so erhält man für das erste Tetraeder die Ecken

A(1,1,-1), C(-1,-1,-1), F(-1,1,1) und H(1,-1,1).
Die Kanten sind: AC, AF, AH, CF, CH und FH. Die Seitenflächen sind die Dreiecke ACF, ACH, AFH und CFH.

Das zweite Tetraeder hat die Ecken

B(-1,1,-1), D(1,-1,-1), E(1,1,1) und G(-1,-1,1).
Der Durchschnitt dieser beiden Tetraeder ist das von den Punkten (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0) (0,-1,0), (0,0,1) und (0,0,-1) bestimmte Oktaeder. Ihre Vereinigung ist ein Sternkörper mit 8 Spitzen (in jeder Ecke des Würfels eine). Seine konvexe Hülle ist daher der Würfel.

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Formeln
Formeln zum regelmäßigen Tetraeder
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Inkugelradius
Höhe
Volumenanteil
an der Umkugel (UK)

a ist die Länge der Seitenkanten.

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Anwendungen
Obwohl das Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt es (siehe oben) im kubischen Kristallsystem auf.

In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. So sind beispielsweise die Kohlenstoffatome im Diamantgitter tetraedisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Auch das Methan bildet, aufgrund der sp3-Hybridisierung des Kohlenstoff-Atoms, ein Tetraeder.

Auch die Form der Tetrapoden, die an Küsten als Wellenbrecher eingesetzt werden, leitet sich vom Tetraeder ab.

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Allgemeines Tetraeder (dreidimensionaler Simplex)
Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache (dreidimensionaler) Simplex genannt. Die zweidimensionalen Simplizes sind die Dreiecke.

Jeder Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel.
Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1.
Jeder Simplex ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken.
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Analogien in höheren Dimensionen
Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) gleichseitige Simplizes bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Simplex hat n + 1 Ecken und wird von n + 1 (n-1)-dimensionalen Simplizes (als Facetten) begrenzt. Der vierdimensionale Simplex hat 5 Ecken, 10 gleichlange Kanten, 10 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten.

Der eindimensionale Simplex ist eine Strecke, der zweidimensionale Simplex ist das gleichseitige Dreieck.

In Koordinaten kann man ein reguläres n-Simplex beispielsweise durch


beschreiben. Beispielsweise ergibt sich für n = 2 das gleichseitige Dreieck, das von den Punkten (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.
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