Harmonischer Oszillator mit Störung

Henri · Anmeldungsdatum: 08.02.2014 Beiträge: 82

Hi,

Ich habe hier einen Hamiltonoperator:

und suche Eigenwerte und Eigenfunktionen. Nun habe ich mir den Ansatz mittels Störungstheorie aufgeschrieben, scheitere aber am Berechnen von

mit |n> Eigenzustände des ungestörten harmn. Oszillators. Leider gelingt es mir hier auch nicht, den Ortsoperator elegant umzuformen und darüber zu argumentieren Hilfe

Lg

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18025

Ist dein System zwei- oder dreidimensional?

In drei Dimensionen wären die ungestörten Eigenzustände die des harmonischen Oszillators

Der ungestörte Hamiltonoperator lautet

Für den Drehimpuls gilt

Nun kannst du diesen Operator durch Erzeuger und Vernichter ausdrücken und die Störungstheorie erster und zweiter Ordnung berechnen.

Beachte dabei, dass deine Eigenzustände entartet sind. Z.B. haben

und

die selbe Energie.

Ich denke, der Term erster Ordnung verschwindet, da die Störung jeweils nur einen Erzeuger oder Vernichter in einer Koordinate enthält. Es ist z.B.

Für nicht-verschwindende Matrixelemente müssten diese jedoch paarweise in einer Koordinate auftreten.

Daher benötigst du m.E. sofort die Störungstheorie zweiter Ordnung unter Berücksichtigung von Entartung.

Henri · Anmeldungsdatum: 08.02.2014 Beiträge: 82

Das System ist dreidimensional. Die erste Ordnung scheint tatsächlich zu verschwinden. Ich hatte allerdings gerade noch eine andere Idee. Und zwar habe ich angefangen die Kommutatoren

zu berechnen, welche glaube ich verschwinden (die Rechnung wird bei mir seitenlang, vielleicht kann man das einfacher herleiten grübelnd