Energiesatz aus Lagrangefunktion ableiten

Midna · Anmeldungsdatum: 28.01.2014 Beiträge: 25

Hallo,

ich habe eine Lagrangefunktion in Kugelkoordinaten berechnet. Die Aufgabe ist jetzt, daraus den Energiesatz (?) abzuleiten. Verstehe ich nicht. Es ist ja L=T-U. Ich soll jetzt E=T+U berechnen? Dann kann ich doch einfach L abschreiben und das Vorzeichen von U umdrehen, zumal L nicht explizit von t abhängt?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

Nein, so wird die Energie i.A. nicht berechnet, weil L = T - U nur ein Spezialfall ist.

Entweder verwendest du das Noethertheorem, oder du konstruierst die Hamiltonfunktion

Eine letzte Möglichkeit wäre, deinen Ansatz

anzusetzen und anschließend mittels der Euler-Lagrange-Gleichungen für dein spezielles Problem zu zeigen, dass

gilt. Das funktioniert nur deswegen, weil du bereits weißt, wie dein E aussehen wird.

Midna · Anmeldungsdatum: 28.01.2014 Beiträge: 25

Gut, also ich versuche es mal über die Hamiltonfunktion. Gegeben ist ein Potenzial

. Wegen

und

ist:

Generalisierte Impulse:

Hamiltonfunktion:

Jetzt die Impulse einsetzen und zusammenfassen. Ich erkenne

und damit ist

. Richtig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

D.h. du hast explizit gezeigt, dass dH/dt = 0 ist? Die Rechnung hast du nicht gepostet. Wenn das so ist, dann bist du fertig.

Midna · Anmeldungsdatum: 28.01.2014 Beiträge: 25

Danke schonmal bis hierher.

Hm, also die Hamiltonfunktion habe ich ja berechnet. Dort ist keine explizite Zeitabhängigkeit enthalten, die partielle Ableitung nach der Zeit ist auf jeden Fall null. Genügt das nicht oder muss man tatsächlich die totale Zeitableitung berechnen?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

Ja, du musst natürlich die totale Zeitableitung berechnen.

Nochmal zur Klarstellung:

1) zunächst benötigst du einen Ausdruck für E; im Falle einer einfachen Lagrangefunktion kannst du raten, aber i.A. musst du E explizit herleiten (komplizierteres T, Zwangsbedingungen, relativistisches freies Teilchen, ...); das hast du gemacht

2) wenn du über das Noethertheorem gehst, dann ist bei Vorliegen der Zeittranslationsinvarianz das so abgeleitete E erhalten; du hast das nicht gemacht, sondern hast die Hamiltonfunktion H bestimmt; für mich bedeutet "Energiesatz ableiten", dass du seine Gültigkeit beweisen musst, also mittels der Bewegunggleichungen zeigen musst

Midna · Anmeldungsdatum: 28.01.2014 Beiträge: 25

Na ja, mit der totalen Zeitableitung komme ich jetzt aber auch nicht wirklich weiter. Es kommen nämlich Summanden mit zweiten Ableitungen und Kosinusfunktionen vor, selbst durch Anwendung der zyklischen Koordinate

sehe ich nicht, dass dieser komplizierte Ausdruck null wird. Ich kann mich nicht erinnern, dass wir das je so gemacht haben, wäre auch etwas zu viel für eine Klausur.

Ich gebe mal an, was ich für die Hamiltonfunktion bekommen habe:

Wenn man mit der Lagrangefunktion vergleicht, für die ich ja

angesetzt hatte, ist das doch gerade

. In meiner Mitschrift zur Vorlesung steht auch, dass wenn

ist (was offensichtlich der Fall ist), dann gibt

die Gesamtenergie an. Oder anders berechnet:

und somit:

Jayk · Anmeldungsdatum: 22.08.2008 Beiträge: 1450

Frage: Kennst du das Euler-Theorem über homogene Funktionen (vielleicht aus mathematischen Methoden oder Analysis 2)? Das sagt dir, dass du aus der Tatsache, dass die kinetische Energie homogen von Grad 2 in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten ist, bereits

schließen kannst. Also schön, dass du es ausgerechnet hast, aber die Aussage ist ein bisschen allgemeiner.

Das Theorem spielt auch beim Beweis des Virialsatzes eine Rolle.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 18109

Du darfst das nicht bis zur letzten Ableitung ausrechnen, sondern musst geschickt argumentieren.

Gegeben ist

Daraus folgt

Es gelten die Euler-Lagrange-Gleichungen

Dann hast du die Hamiltonfunktion berechnet zu

Du musst zeigen, dass

gilt

Du berechnest

Dabei habe ich im zweiten Term lediglich die Kettenregel und die Definition des Impulses benutzt.

Nun klammerst du aus:

Die Klammer verschwindet, da sie exakt der Euler-Lagrange-Gleichung entspricht.

Es ist m.E. sinnlos, das in einem ungeeigneten Koordinatensystem durchzuführen; die Idee bleibt sicherlich richtig, auch wenn's komplizierter wird; die Rechnung führt auf einen Term, der aufgrund der Euler-Lagrange-Gleichung verschwindet.