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Nachricht |
Emily
Gast
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 Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 13:28 Titel: Ortsvektor in Polarkoordinaten ableiten |
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Meine Frage:
Leiten Sie einen Ortsvektor  in Polarkoordinaten nach der Zeit ab. Was ist dabei zu beachten?
Es gilt:
,\cos(\varphi ) )
<br />
\vec{e_{r} } =( \cos(\varphi),\sin(\varphi ) )\\ )
Meine Ideen:
Ist das richtig? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 13:34 Titel: |
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Ich habe mir auch überlegt, wie man die Beschleunigung bestimmen soll.
Und hab sowas gefunden:
Nur warum ist es so? Könnte mir bitte das jemand erklären ? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 14:18 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Meine Frage:
Leiten Sie einen Ortsvektor in Polarkoordinaten nach der Zeit ab. Was ist dabei zu beachten?
Es gilt:
Meine Ideen:
Ist das richtig? |
Ja, nur hast du jetzt noch nicht nach t abgeleitet. Du hast nur das allgemeine Vektordifferential hingeschrieben. Ich würde einfach ) nach der Produktregel ausrechnen.
Was mußt du dann dabei beachten? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 14:35 Titel: |
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OK, und was bedeutet dann dies:
 ?
Bin etwas verwirrt...
 = \dot{r} \vec{e_r} + r \dot{\vec{e_r}} ) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 15:05 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | OK, und was bedeutet dann dies:
?
Bin etwas verwirrt...
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Das ist einfach das Differential des Ortsvektors. Das brauchen wir hier nicht unbedingt. Hier können wir weitermachen:
| Zitat: |
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Ja, und hast du eine Idee was man mit  machen kann? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 15:19 Titel: |
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Also
 = \dot{r} \vec{e_r} + r \dot{\vec{e_r}} = \dot{r} \vec{e_r} + r \dot {\varphi} e_{\varphi}
<br />
) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 15:26 Titel: |
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Genau. Und so machst du jetzt weiter mit der Beschleunigung. Ich würde empfehlen wieder von der Gleichung auszugehen
und einfach nochmal abzuleiten. Dann wirst du sehen, daß du noch eine weitere Kleinigkeit rausfinden mußt. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 15:56 Titel: |
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Also wenn ich die Produktregel anwende, erhalte ich:
Aber das sieht seltsam aus. Mit dem  muss man wohl etwas machen |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 16:09 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Also wenn ich die Produktregel anwende, erhalte ich:
Aber das sieht seltsam aus. Mit dem muss man wohl etwas machen |
Ich glaube, du hast dich verrechnet. Der erste Term scheint nicht zu stimmen. Den zweiten und dritten hab ich auch. Du hast wohl  einmal zu oft nach t abgeleitet. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 16:12 Titel: |
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Das stimmt
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 16:14 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Das stimmt
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Sieht gut aus. :-) Jetzt stört uns noch die zweite Ableitung von  . Irgendeine Idee? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 16:20 Titel: |
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Das musst sich irgendwie vereinfachen lassen. wir haben noch e_phi=(-sin phi , cos phi) und e_r = (cos phi, sin phi) nicht verwendet |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 16:25 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | | Das musst sich irgendwie vereinfachen lassen. wir haben noch e_phi=(-sin phi , cos phi) und e_r = (cos phi, sin phi) nicht verwendet |
Hm die hättest du eigentlich schon verwendet haben müssen, nämlich hier
Oder wie bist du darauf gekommen?
Jedenfalls weißt du schon die erste Ableitung von und die zweite Ableitung ist einfach die Ableitung der ersten Ableitung. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 16:36 Titel: |
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Wovon in es wusste? Stand in meinen Unterlagen.
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 16:51 Titel: |
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Moment, oben hast du doch
verwendet. Das kann man leicht verifizieren, indem man die gegebenen kartesischen Komponenten der beiden Basisvektoren verwendet
ableitet und annimmt, daß  eine Funktion von t ist. Ich dachte, das hättest du oben getan.
Aber um den Faden nicht zu verlieren: Der Trick hier ist folgender. Du hast an jedem Punkt der Ebene eine Basis (in Polarkoordinaten) gegeben. Entlang einer Kurve ändert sich diese Basis von Punkt zu Punkt. Die Änderung dieser Basisvektoren (Ableitungen von etc. nach dem Kurvenparameter) sind wieder irgendwelche Vektoren in der Ebene und lassen sich, wie alle Vektoren, wieder in der gegebenen Basis (an diesem Punkt) in Komponenten zerlegen. Genau das drückt die erste Gleichung oben für die Ableitung von aus.
So, nun schreiben wir  . Weißt du, wie es weitergeht? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 17:02 Titel: |
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Ich hätte das so gemacht:
= \ddot{\varphi } \vec{e_{\varphi} } + \dot{\varphi } \dot{\vec{e_{\varphi }} }) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 17:05 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Ich hätte das so gemacht:
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Richtig. Und  ? Das müssen wir wieder in der gegebenen Basis ausdrücken und dann müssen wir nur noch alle Terme zusammensammeln. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 17:09 Titel: |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 23. Aug 2014 17:13 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | |
Stimmt. Und was ergibt das jetzt alles zusammengefaßt? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 24. Aug 2014 09:39 Titel: |
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Zusammengefasst ergibt das:
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Aug 2014 09:47 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Zusammengefasst ergibt das:
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Wieso steht da jetzt wieder die Ableitung  drin? Die waren wir oben schon los geworden. Ansonsten stimmt es. Wenn du jetzt noch die Komponenten, die zu denselben Basisvektoren gehören, zusammenfaßt, kannst du  und  direkt ablesen. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 24. Aug 2014 10:01 Titel: |
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Oh, ich habe diesen Term vergessen:
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 24. Aug 2014 10:14 Titel: |
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Genau. :-) |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 24. Aug 2014 10:16 Titel: |
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Vielen Dank! :-)
Die gleiche Übung mache ich in den Zylinderkoordinaten :-) Und es klappt :-) |
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sitzpillow
Anmeldungsdatum: 29.11.2014
Beiträge: 20
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| sitzpillow Verfasst am: 01. Dez 2014 21:17 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: |
Also
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Warum wird der Vektor nach dem Ableiten plötzlich ein Skalar:
Ich glaube es wurde nur ab und an vergessen?! |
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