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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
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 spam Verfasst am: 02. Feb 2015 14:52 Titel: Corioliskraft |
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Eine Kugel wird am Äquator von einem 100m hohen Turm an einem windstillen und reibungsfreien Tag zur Zeit t=0 fallengelassen. Nach welcher Zeit und an welchem Ort (x,y,z=0) landet sie mit den Anfangsbedingungen x(t=0) = 0, y(t=0) = 0 (wobei x nach Osten, y nach Norden und z nach oben zeigen soll)? Tipp: Der Einfluss der Coriolis-Kraft auf die z-Komponente ist so klein, dass er vernachlässigt werden kann. Die Fallzeit und z(t) kann also in üblicher Weise berechnet werden.
Die Corioliskraft beträgt ja  . Aber ich bräuchte mehr Angaben um damit rechnen zu können, ich weiß ja nur, dass der Turm 100m hoch ist und die Kugel mit Erdbeschleunigung herunterfällt. Außerdem ist am Äquator die horizontale Komponente der Corioliskraft so klein, dass ich sie nicht berücksichtigen muss. Wie berechne ich denn die vertikale Komponente? 
Für die Fallzeit würde ich ansetzen:
Die Relativgeschwindigkeit  berechnet sich ja durch
Aber hier fehlt mir der Radius. Und auch sonst würden mir zu viele Angaben fehlen um die Corioliskraft berechnen zu können. Wie ermittle ich den Ort der Kugel?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 02. Feb 2015 15:31 Titel: |
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Da Kraftkomponente ist in horizontaler Richtung bei vertikaler Geschwindigkeitsrichtung nicht "so klein". Nur bei horizontaler Geschwindigkeitsrichtung ist die horizontale Kraftkomponente klein.
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 02. Feb 2015 15:33 Titel: Re: Corioliskraft |
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| spam hat Folgendes geschrieben: | Die Relativgeschwindigkeit berechnet sich ja durch
Aber hier fehlt mir der Radius |
Die Geschwindigkeit steigt doch aber beim Fallen ständig an, oder nicht?
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 02. Feb 2015 15:38 Titel: |
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Ich bin der Meinung, dass man so etwas eventuell einfach rechnen kann (in der gegebenen Näherung), wenn man gar nicht über die Corioliskraft geht, sondern die Situation eher aus einem Inertialsystem heraus betrachtet:
Die Erdoberfläche legt innerhalb der Fallzeit eine bestimmte Strecke zurück (R*omega*t), die fallende Körper behält aber in horizontaler Richtung seine Geschwindigkeit bei und legt deshalb (R+r)*omega*t zurück (R: Erdradius, r Fallhöhe über dem Erdboden). Die Differenz wäre mE der gesuchte Wert.
Ob die Aufgabe so auch gedacht ist, weiß ich nicht. Du müsstest sonst aber ein vrel(t) aufstellen und die daraus resultierende Coriolisbeschleunigung über die Zeit zweimal integrieren (um aus der Beschleunigung die Strecke zu bekommen).
Gruß
Marco
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 03. Feb 2015 08:16 Titel: |
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| as_string hat Folgendes geschrieben: | | Ob die Aufgabe so auch gedacht ist, weiß ich nicht. Du müsstest sonst aber ein vrel(t) aufstellen und die daraus resultierende Coriolisbeschleunigung über die Zeit zweimal integrieren (um aus der Beschleunigung die Strecke zu bekommen). |
Eher nicht, ich muss bzw. soll das Ganze über die Corioliskraft berechnen. Ich würde mich auch ehrlich gesagt gern dran halten, da das die einzige Aufgabe zur Corioliskraft ist die ich habe.
Wie stelle ich denn ) auf? Bin ziemlich verwirrt gerade.
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 03. Feb 2015 10:14 Titel: |
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Freier Fall: v=1/2 at^2.
Gruß
Marco
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Feb 2015 12:28 Titel: |
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@as_string: Nein. 
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 03. Feb 2015 12:54 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | @as_string: Nein. |
Könntest du das bitte erläutern?
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Jayk
Anmeldungsdatum: 22.08.2008
Beiträge: 1450
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| Jayk Verfasst am: 03. Feb 2015 12:58 Titel: |
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Was as_string hingeschrieben hat, ist nicht die Geschwindigkeit, sondern die Strecke für den freien Fall.
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 03. Feb 2015 13:03 Titel: |
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Ach so, das ist ja nicht weiter schlimm. Dann eben
Das Problem ist eher; wieso soll ich das Ganze zweimal integrieren? Wenn ich einmal integriere erhalte ich die Strecke. Wo ist da der Zusammenhang zur Corioliskraft?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
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| as_string Verfasst am: 03. Feb 2015 13:26 Titel: |
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| Jayk hat Folgendes geschrieben: | | Was as_string hingeschrieben hat, ist nicht die Geschwindigkeit, sondern die Strecke für den freien Fall. |
So kanns passieren... Wenn man auch auf der Arbeit "mal g'schwind" auf einen post antworten will, obwohl man das gar nicht darf! Ich hoffe, Ihr verpfeift mich jetzt nicht noch... Peinlich, peinlich... 
Gruß
Marco
PS:@Jayk: Danke für die schnelle Korrektur!
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 03. Feb 2015 13:33 Titel: |
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| spam hat Folgendes geschrieben: | Ach so, das ist ja nicht weiter schlimm. Dann eben
Das Problem ist eher; wieso soll ich das Ganze zweimal integrieren? Wenn ich einmal integriere erhalte ich die Strecke. Wo ist da der Zusammenhang zur Corioliskraft? |
Nein, Du sollst nicht diese Funktion direkt integrieren.
Aber Du hast eine geschwindigkeitsabhängige Kraft und damit Beschleunigung, nämlich indem Du diese Geschwindigkeit in die Formel für die Corioliskraft einsetzt. Diese Beschleunigung musst Du zweimal integrieren, um auf die Ablenk-Strecke zu kommen.
Ich kann Dir eventuell heute Abend, wenn ich zu Hause bin, mal eine Zeichnung machen. Oder probier das vielleicht selbst: Male Dir am besten die Erde von "oben" gesehen auf (also mit Blick auf den Nordpol) und zeichne dort die auf den Körper wirkenden Kräfte (und Scheinkräfte) ein.
Gruß
Marco
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 03. Feb 2015 22:55 Titel: |
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Mit dem Problem des frei fallenden Körpers auf der rotierenden Erde befaßt sich übrigens Landau / Lifschitz in I § 39 Aufgabe 1 mittels sukzessiver Approximation.
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 04. Feb 2015 03:30 Titel: |
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Die Corioliskraft beträgt  . Dann ist
 = \int a(t) dt = g \ \omega t^2 + C)
 = \int a(t) dt = g \ \omega t^2 + v_0)
Nochmal integriert:
 = \int v(t) dt = \frac{1}{3} g \ \omega t^3 + v_0 \cdot t + s_0)
Aufgrund der gewählten Anfangsbedingungen ist v_0 = 0 und s_0 = 0:
 = \frac{1}{3} g \ \omega t^3)
Ist das jetzt mein z(t)? Und was mache ich mit  ? Darf ich  setzen? Mir ist noch nicht klar wie ich das Ergebnis interpretieren soll. Ich brauche doch ein x, y und z um den Ort anzugeben oder?
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 04. Feb 2015 09:28 Titel: |
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Es wäre besser, du würdest die Koordinaten als Bezeichnung benutzen.
Also
x(t) = 1/3*g*ω*t^3
y(t) = 0
z(t) = 100m-1/2*g*t^2
Für den Aufschlagpunkt dann für t, tF, die Fallzeit, einsetzen.
ω ist die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation.
Achtung: 1 Umdrehung dauert nicht 24 h sondern etwa 4 Minuten weniger!
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 04. Feb 2015 11:22 Titel: |
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| jumi hat Folgendes geschrieben: | Es wäre besser, du würdest die Koordinaten als Bezeichnung benutzen.
Also
x(t) = 1/3*g*ω*t^3
y(t) = 0
z(t) = 100m-1/2*g*t^2 |
Genau die Stelle habe ich ja nicht verstanden, deswegen wusste ich nicht welche Koordinate ich verwenden soll. Wieso verschiebt die Corioliskraft nur entlang der x-Achse und wieso y(t) ist Null?
Okay dann hätte ich den Ortsvektor:
 \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 1 3 g \omega t^3 \\ 0 \\ 100 \ m - \frac 1 2 g t^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac 1 3 g \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} t^3 \\ 0 \\ 100 \ m - \frac 1 2 g t^2 \end{pmatrix} )
Kann das überhaupt sein, eine negative Zahl für z(t)?
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
Wohnort: Heidelberg
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| as_string Verfasst am: 04. Feb 2015 11:42 Titel: |
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Welche Koordinaten welche Werte haben, ist natürlich stark abhängig von der Wahl des Bezugssystems... Was würdest Du sagen, in welche Richtung die y-Komponente hier zeigen wird? Kannst Du Dir daraus erklären, warum die dann immer 0 sein muss?
| spam hat Folgendes geschrieben: | | Kann das überhaupt sein, eine negative Zahl für z(t)? |
Klar, weil nach 4,52s das Ding "unter der Erde" wäre...
Überleg doch mal, woher Du ganz am Anfang die Fallzeit ausgerechnet hast und was "Fallzeit" überhaupt ist. Die hast Du dann halt aufgerundet und schon kommt nicht mehr die Höhe 0 nach dem Fall raus.
Du könntest aber anstelle der Zeit in Sekunden direkt den Ausdruck für die Fallzeit t einsetzen, wie Du ihn ganz zu beginn angegeben hattest.
Gruß
Marco
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as_string
Moderator
Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5786
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| as_string Verfasst am: 04. Feb 2015 11:59 Titel: |
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@spam: Nicht böse gemeint, aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass Du irgendwie gar nicht verstehst, um was es geht. Versuche doch mal wirklich ein paar Skizzen zu machen oder so. Oder frage konkret, wo Du nicht so richtig weißt, wie was gemeint ist.
Gruß
Marco
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spam
Anmeldungsdatum: 13.03.2014
Beiträge: 189
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| spam Verfasst am: 04. Feb 2015 17:35 Titel: |
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Okay das mit der Fallzeit war mein Fehler.
| as_string hat Folgendes geschrieben: | | @spam: Nicht böse gemeint, aber irgendwie habe ich das Gefühl, dass Du irgendwie gar nicht verstehst, um was es geht. Versuche doch mal wirklich ein paar Skizzen zu machen oder so. Oder frage konkret, wo Du nicht so richtig weißt, wie was gemeint ist. |
Nein da hast du schon recht. Ich habe ja erstmal nur versucht die Formeln korrekt anzuwenden, zum Verständnis: Ich hab das Thema mit den Scheinkräften noch nicht so wirklich begriffen bzw. kann mir hier alle wirkenden Kräfte nicht so wirklich vorstellen und in welche Richtung die Kugel da eigentlich konkret gelenkt wird. Eine Skizze wäre da sicher hilfreich (hab eigentlich gehofft, dass du da noch eine machst), meine ist im Anhang. Muss ich noch mehr Kräfte einzeichnen?
Ach ich sehe gerade, dass ich y- und z-Achse vertauscht habe. Also was für mich logisch erscheint ist, dass die Kugel aufm Boden landet (z(t) = 0), aber weshalb sollte y(t)=0 sein? Die Corioliskraft lenkt doch die Kugel in beide Richtungen ab. Ich dachte: Wenn ich eine Kugel fallen lasse landet sie einfach nur entlang z- und x-Achse ein wenig verschoben auf dem Boden. Dass hier teilweise die Newton'sche Mechanik gilt (z.B. freier Fall) und dann doch wieder nicht verwirrt mich zusätzlich.
| Beschreibung: |
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| Dateigröße: |
5.06 KB |
| Angeschaut: |
2166 mal |
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jumi
Gast
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| jumi Verfasst am: 04. Feb 2015 19:47 Titel: |
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Ich werd mal versuchen, dir die Coriolis Abweichung näher zu erklären.
Allgemein gilt für die Beschleunigung
-2m(\vec{\omega} \times \vec{\dot{r}}))
omega ist in unserem Fall die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation
\\sin(\theta)\end{pmatrix})
Theta ist die geografische Breite.
Der zweite Term in der ersten Gleichung ist die Fliehkraft. Verschwindend klein wegen ω². Wir lassen ihn weg.
)
)
)
Weiters sind die Geschwindigkeiten
Multipliziert mit einem kleinen ω noch kleiner!
Wir vernachlässigen sie also-
und erhalten die Gleichungen:
Dies sollte auch deine Frage beantworten, weshalb die Ablenkung in y-Richtung = 0 ist.
(1. weil vernachlässigbar klein und 2. weil am Äquator genau = 0)
Durch zweimaliges Integrieren erhälst du dann x(t), y(t) und z(t).
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