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Nachricht |
Tim0815
Gast
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 Tim0815 Verfasst am: 24. Okt 2014 12:20 Titel: Inhomogene DGL |
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Meine Frage:
Hallo Leute,
habe folgendes Problem. Ich schreibe momentan meine Bachelor Thesis und versuche im Rahmen der analytischen Herleitung den Temperaturverlauf pro Zeit in einer Funktion darzustellen.
Meine Ideen:
Die folgenden Funktionen sind gegeben:
mit
 = zugeführte Leistung in W
)
 = Arbeit pro Zeiteinheit -> 
demnach ist 
Das führt zur Formel:
+m \cdot c \cdot T/t)
,  ,  ,  ,  und  sind Konstante.
So und ab hier hänge ich was ist denn mein "x(t)", mein x'(t) mein f(x), mein f'(x), mein f(x(t)) und mein f'(x(t))?
Ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen...
Viele Grüße
Tim
[latex ergänzt, para] |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 25. Okt 2014 02:26 Titel: |
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Worum geht es bitte? |
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Tim0815
Gast
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| Tim0815 Verfasst am: 25. Okt 2014 14:14 Titel: |
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Es geht um die Herleitung einer Funktion, die die Temperatur in Abhängikeit von der Zeit für Heizungsanlagen beschreibt.
Dazu ist in der Literatur nur der stationäre Fall ausführlich beschrieben.
Also:
Pzu=Pab sprich die Heizlast für beispielsweise ein Einfamilienhaus berechnet sich nach der Wärmeverlusten Pab = U-Wert*Fläche*(Tinnen-Taußen)
Ich möchte aber richtiger Weise den instationären Fall betrachten in dem sich die Heizlast nach
Pzu=Pab+Pspeicher erechnet. Pspeicher ist die Energie, die dem Speicher (Mauerwerk) zufließt und wird pro Zeiteinheit berechnet.
Pspeicher = Masse*spezifische Wärmekapazität*(Tinnen-Taußen)/Zeit
So damit ergibt sich folgende Differentialgleichung:
Pzu=U*A*(Tinnen-Taußen)+m*c*dTinnen/dt
und diese gilt es zu lösen. |
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 25. Okt 2014 14:55 Titel: |
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Ich glaube du musst deine Gedanken ein wenig orden, ich finde deine Frage recht unverständlich. Vermutlich suchst du die Temperatur innen als funktion der Zeit. P sollen vermutlich Leistungen, also Einheit Watt sein. Da ich nicht verstehe, was du mit  meinst lasse ich das mal weg. Die Änderung der Energiemenge im Inneren ist gegeben durch
}{d t}
<br />
)
Dies muss gleich der Summe der zugeflossenen und abgeflossenen Leistung sein, d.h.
}{d t} &=& P_{\rm zu} + P_{\rm ab}
<br />
&=& -U A T_{\rm innen} + P_{\rm zu} + U A T_{\rm aussen}
<br />
)
Ich nehme mal weiter an, dass  und  konstant sind. Diese Differentialgleichungen kann leicht gelöst werden, indem man zunächst die homogene Dgl. löst.
Ich empfehle dir es selbst mal nachzurechnen, aber die Lösunge ist
 = T_0 \exp(-\frac{UA t}{C}) + T_\infty (1-\exp{(-\frac{UA t}{C})})
<br />
)
Dabei ist  die Temperatur innen zum Zeitpunkt 0 und
die Temperatur gegen die, die Temperatur innen konvergiert |
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Tim0815
Gast
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| Tim0815 Verfasst am: 25. Okt 2014 15:30 Titel: |
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Vielen Dank für deine Antwort Jannick. Das hilft mir schon sehr weiter
Also Pspeicher lässt sich folgt beschreiben:
Q=m*c*Tinnen (ist als Arbeit definiert)
Leistung ist Arbeit pro Zeiteinheit.
Pspeicher =m*c*Tinnen/t
Das hast du im Prinzip als C*Tinnen/t definiert.
Aber müsste es dann nicht C*dTinnen/dt=Pzu-Pab heißen?
Allgemein kann man sagen, dass Differentialgleichungen bei mir schon ne Weile her ist und ich da so ein wenig auf dem Schlauch stehe, was die Lösungen des inhomogenen Teils ist.
Klar ist, dass ein Teil der Lösung eine exp-Funktion sein muss, da in der Differentialgleichung die Ableitung der Fuktion vorkommt, was nur eine exp-Funktion kann.
Ich setz also die Differentialgleichung = 0 und Versuch den Exponenten der exp-Funktion zu ermitteln. Damit ist der erste Teil der gesuchten Funktion
k*exp(-a*t)
für a=U*A/m*c
und k = Konstante
Jetzt brauch ich noch den partiküllären Teil der DGL. Doch da bleib ich hängen... ich weiß nicht in welcher Gleichung in T gegen unendlich laufen lassen soll. |
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Jannick
Anmeldungsdatum: 25.07.2012
Beiträge: 107
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| Jannick Verfasst am: 26. Okt 2014 23:15 Titel: |
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Lies dir am besten mal
http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten
durch. Du musst auch kein t gegen unendlich gehen lassen. Ich habe  nur so genannt, weil es die Temperatur ist, gegen die das System konvergiert. Die Loesung, die ich hingeschrieben habe, kannst du auch so schon verwenden. Es ist die Loesung der gesamten DGL mit der Anfangsbedingung . = T_0) |
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Tim0815
Gast
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| Tim0815 Verfasst am: 27. Okt 2014 19:15 Titel: |
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Ich danke dir 
Werde mir wohl mal Literatur besorgen müssen, um die Grundzüge der Differentialgleichung nochmal zu verinnerlichen. Steig da überall nicht so ganz durch |
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