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Bewegung mit Luftwiderstand
 
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AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 17:36    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab mal Deinen Monolog zu einem Beitrag zusammengefasst, sonst denkt man, er wird schon beantwortet.
Steffen


Ich möchte nur einen Ansatz wissen, da ich hier einfach mit einer Aufgabe konfrontiert werde und gar keine Ahnung habe welches Themengebiet es den nun behandelt. Die Aufgabe sieht folgendermaßen aus:

Betrachten Sie einen Massenpunkt m, der sich entlang der x-Achse bewegt. Der nicht vernachlässigbare Luftwiderstand sei der Geschwindigkeitsrichtung entgegengesetzt und proportional zum Geschwindigkeitsbetrag (mit dem Proportionalitätsfaktor sigma). Außer dem Luftwiderstand wirke keine Kraft.
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Massenpunktes auf und lösen Sie diese mit dem Exponentialansatz.
(b) Zur Zeit t = 0 soll der Ort des Massenpunktes den Wert x0 und seine Geschwindigkeit v0 haben. Arbeiten Sie diese Anfangsbedingungen in die Lösungen ein.

Meine Frage:
Nun, kann ich mir den Massepunkt z.b. als Auto vorstellen, wobei der Luftwiderstand halt entgegengesetzt seiner Richtung wirkt? Und welches Thema sollte ich beherrschen um das lösen zu können. Wenn ich Bewegungsgleichung, exponentialansatz und proportionalitätsfaktor in google eingebe komme ich entweder auf mechanische Schwingungen oder den freien Fall mit Luftwiderstand, wobei meine Aufgabe ja gar kein Freier Fall ist. Ich möchte nur einen Rat haben erst einmal welche Themengebiete ich mir anschauen sollte, den ich finde absolut nichts zutreffendes.


Ich glaube es geht hier um Differentialgleichungen, da Aufgabe b sich mit Anfangsbedingungen beschäftigt.


Ist folgender Ansatz richtig ? Ich weiss einfach nicht wo ich beginnen soll. Hab zum erstem Mal DFG, wenn es den nun von der Aufgabe verlangt wird:
Wenn man bei Wiki unter Bewegungsgleichung schaut steht dort eine Formel bei dem Punkt

Bewegungsgleichung eines freien Masseteilchens

Das wird es wohl sein denke ich.


Ok, ich glaube es handelt sich um einen freien ungedämpften
Oszillator. Ich habe mich durcheinander gebracht wegen der x Koordinate. In meinem Skript wird die mir bekannte Y Achse mit x bezeichnet, das heißt hier findet eine Bewegung von oben nach unten statt. Dann wird es wohl richtung Schwingung gehen. Woran erkenne ich das aber 100% ?


So, es geht also um Harmonische Schwingungen mit Luftwiderstand. Aufgaenteil b ist dann wahrscheinlich eine sogenannte Anfangswertaufgabe. Ich werde mich nochmal melden wenn ich die Aufgabe lösen kann bzw. Probleme habe!


So, ich muss mal nachfragen da ich mir unsicher bin. Ich denke es handelt sich um eine ungedämpfte freie Schwingung, da die Dämpfungskraft vom Luftwiderstand ausgeht. Die Schwingungsgleichung hiervon ist mir bekannt. Außerdem handelt es sich hier um eine DGL 2. Ordnung. Nun muss ich zunächst die allgemeine Lösung bzgl a berechnen und aufgabenteil b verlangt von mir das ich ein Anfangswertproblem berechne/löse ... ??

Ist das richtig, so wie ich es verstanden habe ?


ich meine gedämpfte schwingung!!


Ich muss noch ein Detail hinzufügen:

,,Außer dem Luftwiderstand wirke keine Kraft." D.h. halt das keine erzwungene Schwingung ist und halt eine freie gedämpfte Schwingung ist!

Tut mir leid das ich soviel schreibe, muss mich wohl anmelden damit ich editieren kann.
stereo



Anmeldungsdatum: 27.10.2008
Beiträge: 402

Beitrag stereo Verfasst am: 08. Jan 2014 18:09    Titel: Antworten mit Zitat

Es handelt sich nicht um eine Schwingung. Eine Schwingung wird doch charakterisiert durch eine Kraft, welche entgegen der Auslenkung wirkt und der Luftwiderstand wirkt entgegen der Geschwindigkeit.

Deswegen sind die Begriffe gedämpft und ungedämpft m.E. vollkommen fehl am Platz.

Stell doch erst einmal die Differentialgleichung nach dem 2. Newtonschen Axiom auf.



Kannst du damit etwas anfangen? Kannst du diese Gleichung interpretieren und gar lösen? Der Ansatz wurde dir schon gegeben. Eine weiter möglichkeit diese Gleichung zu lösen ist eine Substitution mit der Geschwindigkeit.
planck1858



Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
Wohnort: Nrw

Beitrag planck1858 Verfasst am: 08. Jan 2014 18:13    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

in dieser Aufgabe geht es einfach darum die Bewegungsgleichung (DGL) aufzustellen.





Und diese homogene DGL 2. Ordnung löst du nun mit dem Exponentialansatz.







Man ersetzt nun also die Ableitungen von x der oberen DGL durch den Exponentialansatz wie folgt:



Das Exponentialglied lässt sich nun ausklammern.



Im weiteren Schritt löst man durch Ausklammern von \lambda die Nullstellen.





Diese Nullstellen setzt man nun in die allgemeine Lösung der DGL.





Jetzt müssen nur noch die Anfangsbedingungen in die allgemeine DGL eingearbeitet werden.

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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)

"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman)


Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 08. Jan 2014 22:27, insgesamt 2-mal bearbeitet
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 18:43    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, ich kann etwas mit der Gleichung anstellen, jedoch nicht herleiten. Folgende drei Kräfte existieren im Zusamenhang mit mechanischen Schwingungen, die die Kräfte beschreiben die auf eine Masse wirkt.

1. Eine zur Auslenkung x proportionale Rückstellkraft der Feder:
F1=-cx (Hookesches Gesetz; c: Federkonstante)

2. Eine zur Geschwindigkeit v=x' proportionale Dämpfungskraft :

F2=-bv=-bx' (b: Dämpferkonstante)

Sie wirkt stets der Bewegung entgegen.

3. Zusäzlich eine von außen (z. B. über einen Exzenter) einwirkende, meist zeitabhängige Kraft:
F3=F(t)

In der Aufgabenstellung steht: ,,Der nicht vernachlässigbare Luftwiderstand sei der Geschwindigkeitsrichtung entgegengesetzt und proportional zum Geschwindigkeitsbetrag (mit dem Proportionalitätsfaktor sigma). Außer dem
Luftwiderstand wirke keine Kraft."

Jetzt wende ich die oben genannten passenden Sätze an. Nämlich F2=-bv=-bx'=eig -sigma*x' (Da in der Aufgabenstellung sigma gesagt wird).

Mithilfe dem Grundgesetzt von Newton F=m*a folgt hier m*a=-bx' das impliziert m*x''=-bx'. Wahrscheinlich richtig oder? Wieso eig. x'' anstatt a? Nur so kann ich vlt. die DGL lösen oder?

m*x''=-bx' ist äquivalent zu mx''+ bx'=0. Durch m dividieren und w0^2=b/m (Was ist denn w0? Wahrscheinlich etwas in Richtung Winkelgeschwindigkeit, aber welche genau) anwenden und es folgt

x''+(wo^2)x'=0. Charackteristische Gleichung lautet: lambda^2+(wo^2)lambda=0

Jetzt muss ich diese Gleichung nur noch lösen mithilfe der pq-Formel und dann habe ich lambda 1 und lambda 2 herraus. Aus diesen zwei lambdas muss ich schauen ob diese gleich (+ reell), unterschiedlich(+reell) oder komplex sind. Daraus folgt die Fundementalbasis und die allgemeine Lösung in linearer Form.

(krass, hast mir einen ziemlichen Denkanstoß gegeben). Ist das aber richtig ?
planck1858



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Beitrag planck1858 Verfasst am: 08. Jan 2014 18:47    Titel: Antworten mit Zitat

Hi,

ich frage mich, warum du immer in Richtung Schwingungen gehst.

Schau dir mal meinen Beitrag an.

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AndyHH
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Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 18:49    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe den Post von planck1858 gerade erst gelesen. Die von dir genannten Exponentialgleichungen sind glaube das was ich meine oder? Also diese drei Fälle bzgl. den Lösungsmengen von Lambda 1und 2. Werde mal gleich rechnen. Ich denke ich hab es aber verstanden! (Rechnerisch + Verständnis). Wieso es die drei Fäle gibt weiss ich och nicht sollte aber auch egal sein!
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 18:54    Titel: Antworten mit Zitat

Ich rede von Schwingungen weil ich diese Bewegungsgleichung nur im Zusammenhang mit Schwingungen gesehen habe. Das ist aber anscheinend falsch. grübelnd
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 19:00    Titel: Antworten mit Zitat

Noch eine Frage. Wieso hast du nicht w0^2=b/m gesetzt? Das habe ich nämlich gemacht, was auch denke ich falsch ist. grübelnd
planck1858



Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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Beitrag planck1858 Verfasst am: 08. Jan 2014 19:01    Titel: Antworten mit Zitat

Du hast natürlich recht, denn in der Schwingungslehre spielen DGL's eine sehr große Rolle.

Um hier mal eine zu nennen, die du sicherlich meinst.

Harmonischer Oszillator:



\omega steht dabei für die Resonanzfrequenz.

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AndyHH
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Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 21:35    Titel: Antworten mit Zitat

Bist du sicher das deine Nullstelen von der Lösungsmenge der Lambdawerte korrekt sind ?

Wenn ich die pq-Formel anwenden möchte muss ich ja durch m erst dividieren und daraus folgt:

0=lambda^2 + (lambda/m)*sigma und das entspricht nicht deinen Lösungswerten. Vielleicht mach ich aber etwas falsch ...
as_string
Moderator


Anmeldungsdatum: 09.12.2005
Beiträge: 5595
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Beitrag as_string Verfasst am: 08. Jan 2014 22:04    Titel: Antworten mit Zitat

Da brauchst Du doch keine pq-Formel! Du kannst doch gleich ein lambda ausklammern und hast dann einmal 0 als Lösung und dann eine einfach lineare Gleichung übrig.
selbst mit der pq-Formel: Da hast du -b/2±sqrt(b²/4), weil c = 0 ist
Also bekommst Du halt als ergebnis einfach -b raus, was ja dann wieder dem sigma/m entspricht.

Gruß
Marco

PS: planck: Du solltest bei Deiner vorletzten Gleichung und schreiben, damit es mit den beiden Lösungen übereinstimmt. Auf keinen Fall dürfen die Lambda gleich benannt sein!

Gruß
Marco
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 22:11    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hab es mit dir pq-Formel nochmal gerechnet. Ich hatte es doch falsch, also dein Ergebnis stimmt schon!

Ich habe nun exakt dieselbe Gleichung für x herraus wie du! Danke. Nun noch Aufgabenteil b mithilfe des Anfangswertprobems. Ich rechne mal sofort.
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 22:11    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn ich eig als Lösungsgleichung nur x anstat wie du x(t) schreiben würde, wäre das falsch ?
planck1858



Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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Wohnort: Nrw

Beitrag planck1858 Verfasst am: 08. Jan 2014 22:28    Titel: Antworten mit Zitat

as_string hat Folgendes geschrieben:
PS: planck: Du solltest bei Deiner vorletzten Gleichung und schreiben, damit es mit den beiden Lösungen übereinstimmt. Auf keinen Fall dürfen die Lambda gleich benannt sein.


Danke dir, hab ich gerade verbessert. Thumbs up!

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AndyHH
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Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 22:29    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, anscheinend muss es von t abhängig sein, da ich sonst gar nicht das Anfangswertproblem lösen kann. Aber woher weisst du genau das hier t als Zeit mitverwendet werden muss? Ich hätte nur mit der Strecke, Beschleunigung und Geschwindigkeit gearbeitet ....

Zum Aufgabenteil b:

Ich soll ja C1 und C2 gemäß den vorgegebenen Bedingungen bestimmen C1 wäre also mithilfe unserer berechneten Gleichung berechenbar über den Ansatz t=0 und wohin mit x0 ?? Und C2 berechenbar mit t=0 und wohin mit v0 ?? Hier komm ich nicht weiter..
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 22:31    Titel: Antworten mit Zitat

Ok nicht antworten ich hab einen Ansatz! Big Laugh
AndyHH
Gast





Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 22:40    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, ich schaff es doch nicht. unglücklich

Naja, aufjedenfall wollte ich mit x(0)=x0 und x'(0)=v0 irgendwo einsetzten und zusammenfassen. Scheint doch nicht nach Plan zu laufen. Einen Tipp eventuell ?
planck1858



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Beitrag planck1858 Verfasst am: 08. Jan 2014 22:46    Titel: Antworten mit Zitat

So, du möchtest also einen Tipp.

Hier mal die Anfangsbedingungen.





Du setzt also nun erstmal in die allgemeine Gleichung x(t) für t Null ein. Damit bekommst du dann einen Ausdruck für C_1.

Anschließend bildest du die Ableitung von x(t) und setzt für t ebenfalls Null ein, es ergibt sich der Ausdruck für C_2.

Du sollest auf folgende Ausdrücke kommen:



Man kann nun noch C_2 durch den zweiten Ausdruck ersetzen.





Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte.

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Zuletzt bearbeitet von planck1858 am 09. Jan 2014 08:16, insgesamt einmal bearbeitet
AndyHH
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Beitrag AndyHH Verfasst am: 08. Jan 2014 23:41    Titel: Antworten mit Zitat

Ok, im nachhinein ist es eigentlich einem klar wie man die zwei Werte bestimmt. Danke! Ich habe dieselben Ergebnisse herraus für C1 und C2. Was mach ich nun mit C1 und C2. In welche Gleichung muss ich diese einsetzten um meine gesuchte speziele Funktion zu bestimmen? Ich habe sie jetzt in x(t) eingesetzt, da ich denke das es am korrektesten ist. Ist ja immerhin die Ausgangsgleichung.

Jetzt ist die Aufgabe gelöst oder?
planck1858



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Beitrag planck1858 Verfasst am: 09. Jan 2014 08:13    Titel: Antworten mit Zitat

Das du die Ausdrücke für C_1 und C_2 in die Ausgangsgleichung x(t) eingesetzt hast ist korrekt, denn diese Ausdrücke ersetzen ja nun die in der Ausgangsgleichung vorkommenden Umbekannten.



Damit gilt für die Weg-Zeit-Funktion:





Differenziert man diese Gleichung nun nach der Zeit t, so erhält man die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion:



Damit wäre die Aufgabe gelöst.

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AndyHH
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Beitrag AndyHH Verfasst am: 09. Jan 2014 14:50    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen dank! Ich habe es verstanden. Thumbs up!

Eine Frage hätte ich jedoch noch. Die Weg Zeit Funktion habe ich ja auch berechnet und wenn man diese differenziert kommt bekannterweise die Geschwindigkeits-Zeit Funktion herraus. Alles kein Problem, aber die Geschwindigkeits-Zeit Funktion sollte ich nicht berechnen oder?
planck1858



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Beitrag planck1858 Verfasst am: 09. Jan 2014 20:00    Titel: Antworten mit Zitat

Nein, die Geschwindigkeit-Zeit-Funktion sollte nicht expliziet bestimmt werden. Ich dachte bloß, dass es nicht schaden kann diese anzugeben.

Gruß Planck1858

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viopio
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Beitrag viopio Verfasst am: 08. Jan 2015 21:57    Titel: Wie kommt man auf die allgemeine Lösung der DGL? Antworten mit Zitat

Wie kommt man denn auf die allgemeine Form der DGL nach dem Schritt, dass man die BWG mit dem Exponentialansatz gelöst hat und die Nullstellen von Lambda gefunden hat?
Die allgemeine Lösung der DGL hat die Form:

x(t)= C1 * ... + C2 * ...

Wie genau kommt man dahin?
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