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Satz von Green (Problematik vorhanden)
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HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 30. Aug 2014 14:20    Titel: Satz von Green (Problematik vorhanden) Antworten mit Zitat

Hallo, ich habe ein wenig Verständnisprobleme folgende Lösung im Anhang (Aufgabe ebenfalls im Anhang vorhanden) nachzuvollziehen. Mir geht es aber nur um drei Punkte.

1. Damit ich Green anwenden kann muss ja die Fläche B ,,links" von der Durchlaufrichtung sein. Die Durchlaufrichtung bereche ich indem ich meine gegebene Kurve komponenterweise differenziere und pi einsetze. Wieso genau pi? Weil es hier offensichtlich am einfachsten zu berechnen ist und man am besten Rückschlüsse entnehmen kann?

2. Wenn B nicht links von der Durchlaufrichtung sich befindet, muss ich meine gegebene Kurve etwas ändern, in diesem Fall wurde die x-Komponente mit *(-1) multipliziert -> Aber wieso ?

3. Ebenfalls wurden die Grenzen des Integralls geändert, nämlich von -2pi bis 0. Wieso? Und wäre das äquivalent zu - S von 0 bis 2pi ?

Betrachtet wird im übrigen das Vektorfeld (-y,0), da dies dann mit der Rotation auf der rechtenSeite des Satzes von Green 1 ergibt.

Ich würde mich sehr freuen wenn mir jemand helfen kann..



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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Aug 2014 15:36    Titel: Re: Satz von Green (Problematik vorhanden) Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:
Die Durchlaufrichtung bereche ich indem ich meine gegebene Kurve komponenterweise differenziere und pi einsetze. Wieso genau pi? Weil es hier offensichtlich am einfachsten zu berechnen ist und man am besten Rückschlüsse entnehmen kann?


Ja das ist hier der Grund, denke ich. Was man eigentlich sicherstellen muß, ist, daß der von der Fläche aus gesehen nach außen zeigende Normalenvektor und der Tangentialvektor der Kurve in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem für die Ebene bilden. Man sieht nun schon an der Form des berechneten Tangentialvektors, daß er niemals null ist. Dann ist die Kurve überall korrekt orientiert, wenn sie es an einem Punkt ist.

Zitat:

2. Wenn B nicht links von der Durchlaufrichtung sich befindet, muss ich meine gegebene Kurve etwas ändern, in diesem Fall wurde die x-Komponente mit *(-1) multipliziert -> Aber wieso ?


Es wurde der Parameter umgedreht . Das ändert genau das Vorzeichen des Tangentialvektors und somit die Orientierung der Kurve.

Zitat:

3. Ebenfalls wurden die Grenzen des Integralls geändert, nämlich von -2pi bis 0. Wieso? Und wäre das äquivalent zu - S von 0 bis 2pi ?


Damit immer noch dieselbe Punktmenge, nur in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen wird. Du kannst stattdessen auch die Parametrisierung in ändern oder auch einfach die urpsrüngliche Orientierung beibehalten und stattdessen das Ergebnis mit -1 multiplizieren. Insofern ist die Lösung wohl etwas komplizierter als sie sein müßte.
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 30. Aug 2014 16:39    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr! Aber so ganz habe ich es noch nicht verstanden.. Zur Orientierung noch einmal. Du sagst folgendes ,, Man sieht nun schon an der Form des berechneten Tangentialvektors, daß er niemals null ist. "

Was meinst du mit Null und mit Tangentialvektor meinst du den Vektor der die Durchlaufrichtung der Kurve darstellen soll (Also dvector(w)(@)/d@) oder? Und wie würde man ohne es nur zu sehen, rechnerisch erkennen das die Orientierung stimmt/nicht stimmt? Da du sagst das ein Rechtssystem vorhanden sein soll, denke ich dass das Skalarprodukt von irgendwelchen zwei Vektoren Null sein soll (Ventuell Tangentialvektor der kurve und Normalenvektor der Fläche?)

Ich bin jetzt doch etzwas sprachlos und würde gerne verstehen wie ich die Orientierung behandel.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Aug 2014 18:10    Titel: Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:

Was meinst du mit Null und mit Tangentialvektor meinst du den Vektor der die Durchlaufrichtung der Kurve darstellen soll (Also dvector(w)(@)/d@) oder?


Ja, genau. Ich meine das, was in der Lösung heißt. Das ist praktisch die Geschwindigkeit entlang der Kurve, wenn man sich alpha als Zeitparameter vorstellt.

Zitat:

Und wie würde man ohne es nur zu sehen, rechnerisch erkennen das die Orientierung stimmt/nicht stimmt? Da du sagst das ein Rechtssystem vorhanden sein soll, denke ich dass das Skalarprodukt von irgendwelchen zwei Vektoren Null sein soll (Ventuell Tangentialvektor der kurve und Normalenvektor der Fläche?)


Rein rechnerisch kannst du die Korrektheit der Orientierung für eine gegebene Parametrisierung prüfen, indem du, wie in der Aufgabe, zuerst den Tangentialvektor an jedem Punkt der Kurve ausrechnest. In der Ebene gibt es zu diesem Vektor zwei mögliche Einheitsnormalen. Die bestimmst du und wählst diejenige aus, die von der Fläche wegzeigt. Du mußt natürlich irgendeine Information -- im allgemeinen eine Parametrisierung -- über die Fläche haben, die dir diese Frage beantwortet. Ein allgemeines Rezept gibt es dafür andernfalls wohl eher nicht. Wenn du jetzt die Normale hast, ist die Kurve korrekt orientiert, wenn die Bedingung

erfüllt ist. Das bedeutet nämlich, daß ein Rechtssystem bilden.

Aber, wenn du mit der Aufgabe schon so eine praktisch alles erklärende Skizze mitgeliefert bekommst, wäre dieser Rechenweg meiner Meinung nach kompletter overkill. Mach es so, wie in der Lösung beschrieben: Wenn du den Tangentialvektor hast, mach dir anhand der Skizze klar, in welche Richtung er zeigt. Dann läufst du gedanklich die Kurve in dieser Richtung ab und veranschaulichst dir ob das Innere der Fläche immer links von deiner Bewegungsrichtung liegt. Wenn nicht, änderst du die Parametrisierung derart, daß es der Fall ist.


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 30. Aug 2014 18:15, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2014 18:15    Titel: Antworten mit Zitat

Irgendwie machst Du Dir das zu umständlich. Der Weg muss einfach entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Das sieht man normalerweise schon an der Parametrisierung ohne viel zu rechnen.

Noch einfacher ist es einfach zu Rechnen ohne sich Gedanken über die Orientierung zu machen und dann einfach den Betrag zu nehmen, da man weiss, dass ein Flächeninhalt positiv sein muss.

EDIT: index_razor war schneller smile
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 30. Aug 2014 19:40    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr!!! Das hilft mir bereits sehr, aber ich möchte gerne wissen ob ich das nun richtig verstanden habe ... (Denn so wid es auch bei anderen Aufgaben behandel) ... Es klingt aber ziemlich ,,versaut", aber es ist wirklich das einzige was ich entnehmen konnte....

Die Parametrisierung ist vorgegeben. Nach Green gilt S vektorfeld v dx= Srot vektorfeld v dF. Eigentlich um ganz genau zu sein, heißt es eigentlich S vektorfeld v * N bzw Großes N dx

Und das N bestimme ich nun wie folgt:

Ich differenziere meine gegebene Pametrisierung nach alpha (Das ergibt N bzw. großes N) . Der Normalenvektor ergibt sich aus n bzw kleines n= (N bzw. großes N) / (Betrag von N bzw. großes N)

Nun geh ich den Weg entlang der Parametrisierung und schaue von jedem Punkt aus auf den Punkt N bzw. großes N... Wenn der entstandene Vektor immer dabei nicht in die Fläche hineinschaut und die Fläche hiervon links ist, ist das mein gesuchtes N. Wenn nicht dann korrigiere ich diesen damit er immer die Bedingung erfüllt, indem ich zb. die Komponenten wechsel oder komponente mit -1 multipliziere...

Zu den Integrationsgrenzen... Diese könnte ich eigentlich von 0 bis 2pi definieren und am Ende sofern ein negativer Wert herrauskommt davon den Betrag ziehen ..


Istd as so richtig ? Bisschen komplex ist es ja ... Nochmals vielen dank für die Hilfe!
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Aug 2014 20:52    Titel: Antworten mit Zitat

Oje, ich glaube ich habe dich etwas verwirrt. Vergiß den Normalenvektor wieder, den hab ich nur erwähnt, weil du nach einer "rein rechnerischen" Methode gefragt hast und ich mich dadurch irgendwie motiviert gefühlt habe, die allgemeine Definition der Orientierung einer Randkurve zu erklären. Tatsächlich wirst du es aber praktisch niemals so rechnen müssen.

Wenn du einen Flächeninhalt berechnen sollst, ist die Orientierung wie gesagt eigentlich egal. Du nimmst einfach irgendeine und bildest den Betrag vom Ergebnis. Denn wenn du mit der falschen Orientierung angefangen haben solltest, merkst du das einfach daran, daß du den negativen Flächeninhalt rausbekommst.

Wenn du wissen mußt, wie eine gegebene Randkurve orientiert ist, schaust du dir einfach die Lage ihres Tangentialvektors relativ zur Fläche an. Liegt die Fläche links, wenn man in Richtung des Tangentialvektors schaut, ist die Kurve positiv orientiert, ansonsten negativ. Wenn die Fläche von der Kurve eingeschlossen wird (wie im Fall deiner Aufgabe), ist das äquivalent dazu, daß die Kurve entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Nun geh ich den Weg entlang der Parametrisierung und schaue von jedem Punkt aus auf den Punkt N bzw. großes N... Wenn der entstandene Vektor immer dabei nicht in die Fläche hineinschaut und die Fläche hiervon links ist, ist das mein gesuchtes N. Wenn nicht dann korrigiere ich diesen damit er immer die Bedingung erfüllt, indem ich zb. die Komponenten wechsel oder komponente mit -1 multipliziere...


Hm, ich glaube hier vermischt du den Normalenvektor und den Tangentialvektor. Sorry, wenn ich dich verwirrt habe.

Aber jedenfalls kannst du nicht einfach so irgendwelche Komponenten mit -1 multiplizieren. Das ist auch nicht was in der Lösung gemacht wurde. Das hast du falsch verstanden. In der Lösung wurde einfach das Vorzeichen des Kurvenparameters umgedreht. Es sollte klar sein, daß dann der Tangentialvektor genau seine Richtung ändert und folglich das was vorher "rechts" war (nämlich z.B. die Fläche) jetzt "links" ist. Diese Methode klappt also immer. Nur bei der Zykloide mit dieser speziellen Parametrisierung und mit hat dies nun dazu geführt, daß auch die x-Komponente das Vorzeichen ändert und die y-Komponente gleich bleibt. Das ist aber sozusagen Zufall.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 30. Aug 2014 21:38    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr du bist wirklich sehr hilfreich!

So ich habe es jetzt doch etwas mehr verstanden. Habe jetzt ohne Berücksichtigung der Orientierung gerechnet und komme tatsächlich auf -3pi....

Jetzt würde ich das ganze noch lernen mithilfe der Orientierung ..

Du sagst folgendes:

,,Wenn du wissen mußt, wie eine gegebene Randkurve orientiert ist, schaust du dir einfach die Lage ihres Tangentialvektors relativ zur Fläche an. Liegt die Fläche links, wenn man in Richtung des Tangentialvektors schaut, ist die Kurve positiv orientiert, ansonsten negativ"

Und um diese Kurve nun ,,positiv zu orientieren" muss ich mein Tangentialvektor ,,umrichten", sodass die oben genannte Bedingung erfüllt ist. Ab hier komm ich noch nicht ganz weiter. Was muss ich genau machen ?

Ich konnte das von hier leider nicht ganz entnehmen

,, In der Lösung wurde einfach das Vorzeichen des Kurvenparameters umgedreht. Es sollte klar sein, daß dann der Tangentialvektor genau seine Richtung ändert und folglich das was vorher "rechts" war (nämlich z.B. die Fläche) jetzt "links" ist."

Du meinst doch damit die x-Komponente der gegebenen Zykloidparameterdarstellung oder? Ich erkenne da leider nur ein (*-1) ... Ich würde diesen Punkt noch gerne verstehen was da gemacht wurden ist...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2014 21:42    Titel: Antworten mit Zitat

Nimm einfach dieselbe Parametrisierung w(a) und Integrier nicht von 0 bis 2*pi, sondern von 2*pi bis 0, dann durchläufst Du die Strecke in umgekehrter Richtung.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 30. Aug 2014 21:58    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr!

Die Orientierung dient doch nur damit am Ende das richtige Ergebnis herrauskommt oder ? (Sprich kein Vorzeichenfehler) .... Bei einer Fläche ist das noch einfach (Sie ist immer stets positiv)... kann mir aber denken das die Sätze auch dort angewendet werden wo die Orientierung wichtig ist und es mal auch negative Ergebnisse gibt ...

@jh8979 Wenn ich also von 2pi bis 0 integriere, dann ist die Orientierung richtig ?

Ist sie deshalb richtig, da der Integrationsweg von links nach rechts und der Tangentialvektor von links nach rechts zeigt ? Kann man das so sagen ?
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 30. Aug 2014 22:01    Titel: Antworten mit Zitat

Ohgott, ich meinte das der Tangentialvektor von links nach rechts zeigt und der Integrationsweg von rechts nach links verläuft (entgegengesetzte Richtungen)..
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Aug 2014 22:02    Titel: Antworten mit Zitat

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Ich konnte das von hier leider nicht ganz entnehmen

,, In der Lösung wurde einfach das Vorzeichen des Kurvenparameters umgedreht. Es sollte klar sein, daß dann der Tangentialvektor genau seine Richtung ändert und folglich das was vorher "rechts" war (nämlich z.B. die Fläche) jetzt "links" ist."

Du meinst doch damit die x-Komponente der gegebenen Zykloidparameterdarstellung oder? Ich erkenne da leider nur ein (*-1) ... Ich würde diesen Punkt noch gerne verstehen was da gemacht wurden ist...


Die ursprüngliche Parametrisierung lautet


Jetzt haben wir rausgefunden, daß diese Parametrisierung den Rand negativ orientiert. Dann steht da weiter unten in der Lösung: "Parametrisierung von mit passender Orientierung:
"

Die zweite Zeile parametrisiert den Abschnitt der Kurve, der entlang der x-Achse verläuft und ist irrelevant, da er senkrecht zum Vektorfeld verläuft.

In der ersten Zeile steht . Das mußt du nur einsetzen.
.

Also die x-Komponente ändert ihr Vorzeichen, die y-Komponente bleibt gleich.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 30. Aug 2014 22:06    Titel: Antworten mit Zitat

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Die Orientierung dient doch nur damit am Ende das richtige Ergebnis herrauskommt oder ? (Sprich kein Vorzeichenfehler) .... Bei einer Fläche ist das noch einfach (Sie ist immer stets positiv)... kann mir aber denken das die Sätze auch dort angewendet werden wo die Orientierung wichtig ist und es mal auch negative Ergebnisse gibt ...


Ja, genau so ist es. Insbesondere ist der Satz, den du da anwendest ja nur ein Spezialfall des Satzes von Stokes.
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2014 22:07    Titel: Antworten mit Zitat

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

@jh8979 Wenn ich also von 2pi bis 0 integriere, dann ist die Orientierung richtig ?

Ist sie deshalb richtig, da der Integrationsweg von links nach rechts und der Tangentialvektor von links nach rechts zeigt ? Kann man das so sagen ?

Ja, dann ist die Orientierung richtig. Deinen Satz versteh ich nicht.

Du scheinst irgendwie grosse Probleme mit Parametrisierungen von Wegen zu haben. Es ist viel einfacher als Du denkst:
Es ist einfach eine Funktion, die Dir sagt wie Du den Weg durchläufst. In dem ursprünglichen Fall Deiner Aufgabe, bei x=0 startest Du im Ursprung und bei x=2pi, bist du bei (2pi,0) und entsprechend dazwischen. Wenn Du jetzt bei x=2pi anfängst und zu x=0 "runtergehst" dann durchläufst Du den Weg in der anderen richtig.

Ich finde das ziemlich anschaulich... aber vllt versteh ich auch nicht so genau wo Dein Problem liegt.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 30. Aug 2014 22:20    Titel: Antworten mit Zitat

Vielen dank an euch beide! Ich habe jetzt doch beide Methoden ganz verstanden. Könnt ihr euch denken wieso die Musterlösung das so gemacht hat ? Ich meine einfach die Parametrisierung beizubehalten und von 2pi nach 0 zu integrieren, damit die Orientierung stimmt ist doch viel einfacher als 1. die Richtung des Tangentialvektors zu ändern und 2. zudem neue Grenzen zu setzen, aber naja viele Wege führen nach Rom!
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 30. Aug 2014 22:44    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn Deine Parametrisierung von a nach b gegeben ist durch f(x), dann kann man die Umkehrung (=Kurve in umgekehrter Richtung durchlaufen) auch schreiben als f(-x) von -b nach -a.

Die Musterlösung geht wohl diesen Weg, weil sie immer von kleiner Werten zu größeren Integrieren will und nicht von größeren zu kleineren.. aber das ist letztendlich egal. Die Parametrisierung einer Kurze ist sowieso nie eindeutig.


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 30. Aug 2014 22:55, insgesamt 2-mal bearbeitet
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 30. Aug 2014 22:48    Titel: Antworten mit Zitat

Danke sehr, das hat mir wirklich sehr geholfen!
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 31. Aug 2014 01:52    Titel: Antworten mit Zitat

Könnt ihr mir vielleicht sagen wie ich hier den Normalenvektor richtig orientiere? Ich weiss das er nach außen zeigen soll, anstatt in den Normalbereich B. Leider kann ich die Lösung nicht nachvollziehen... Aber diesmal wurden doch offensichtlich Komponenten vertauscht ?

Es geht mir nur darum was gemacht werden muss damit er nach außen zeigt und wie ich dann gegebenfalls die Integrationsgrenzen (Hier ist ein Minus vor dem Integral vorhanden?) betrachten muss...

Würde mich sehr freuen wenn ihr mir helfen könnt.



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index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Aug 2014 09:33    Titel: Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:
Könnt ihr mir vielleicht sagen wie ich hier den Normalenvektor richtig orientiere? Ich weiss das er nach außen zeigen soll, anstatt in den Normalbereich B. Leider kann ich die Lösung nicht nachvollziehen... Aber diesmal wurden doch offensichtlich Komponenten vertauscht ?

Es geht mir nur darum was gemacht werden muss damit er nach außen zeigt und wie ich dann gegebenfalls die Integrationsgrenzen (Hier ist ein Minus vor dem Integral vorhanden?) betrachten muss...

Würde mich sehr freuen wenn ihr mir helfen könnt.


Was genau verstehst du nicht? Der berechnete Normalenvektor zeigt doch in negative y-Richtung, also ganz sicher nicht von der Fläche weg. Also wäre der korrekt orientierte Normalenvektor eben . Das was du wahrscheinlich mit "vertauschten Komponenten" meinst, ist einfach die Berechnung der Normale von . Du solltest dir unbedingt klar machen wie man das in der Ebene macht.

In dieser Lösung wird jetzt einfach der richtig orientierte Normalenvektor, also , eingesetzt. Daher kommt dann das Vorzeichen auf die rechte Seite der mit "Gauß" bezeichneten Gleichung (der dritte Schritt in der Gleichungskette hinter "Erhalte:...")
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 31. Aug 2014 13:21    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich hatte gar nicht wahrgenommen das die komponenten bereits differenziert wurden sind im Integral. (Das hatte mich verwirrt und sah wieder so aus als ob Komponenten vertauscht werden^^).

Kannst du mir noch sagen woher das negative Vorzeichen vor dem Integral stammt und wann das immer dahin muss?

So wie beim letzten Satz ist es ja nicht, da dort nur die Intervallsgrenzen sich geändert hatten.
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Aug 2014 13:56    Titel: Antworten mit Zitat

Ich glaube, das Grundproblem bei diesen Fragen ist, daß du spezielle Einzelschritte in einer Lösung verstehen willst, über deren ganze Herangehensweise du irgendwie im Dunkeln tappst. Die Fragen, die du stellst sind in wesentlich derselben Form schon längst beantwortet.

HBX88X hat Folgendes geschrieben:
Sorry, ich hatte gar nicht wahrgenommen das die komponenten bereits differenziert wurden sind im Integral. (Das hatte mich verwirrt und sah wieder so aus als ob Komponenten vertauscht werden^^).


Ich bin nicht sicher, was du hier meinst. Unter dem Integral steht ein Skalarprodukt aus Vektorfeld v und dem Normalenvektor an die Fläche. Ist dir klar wie das prinzipiell berechnet wird?

Zitat:

Kannst du mir noch sagen woher das negative Vorzeichen vor dem Integral stammt und wann das immer dahin muss?


Das hatte ich bereits. Nochmal langsam: unter dem Wegintegral im Satz von Gauß steht das Skalarprodukt des Vektorfeldes v mit dem nach außen (relativ zur Fläche) orientierten Normalenvektor. Der in der Lösung berechnete Normalenvektor (dort genannt ) ist nach innen orientiert. Deswegen muß unter dem Wegintegral stehen.

(Ganz oben in der ersten Zeile der Musterlösung wird der korrekt orientierte Normalenvektor ebenfalls mit bezeichnet. Das ist natürlich eine Doppelbezeichnung. Vielleicht verwirrt dich das auch etwas.)

Zitat:

So wie beim letzten Satz ist es ja nicht, da dort nur die Intervallsgrenzen sich geändert hatten.


In der letzten Lösung ging es um die Richtung des Tangentialvektors an den Flächenrand. Hier geht es um die Richtung des Normalenvektors. Die Gemeinsamkeiten der beiden Lösungen sind in der Hinsicht m.E. schon größer als die Unterschiede.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 31. Aug 2014 15:35    Titel: Antworten mit Zitat

Ja, die Lösungen irritieren mich schon etwas.

Also den Normalenvektor berechne ich doch durch N=grad w(t) / (Betrag von grad w(t)). Und da der Nenner sowieso 1 ist reicht es nur grad w(t) zu betrachten als Normalenvektor. Wenn dieser Normalenvektor jedoch in die Fläche B zeigt anstatt nach außen, muss er umorientiert werden, indem ich einfach - N anstatt N betrachte.

Ist das so richtig, abgesehen von der Musterlösung? (Diese bringt mich nämlich etwas durcheinader).
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Aug 2014 15:44    Titel: Antworten mit Zitat

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Wenn dieser Normalenvektor jedoch in die Fläche B zeigt anstatt nach außen, muss er umorientiert werden, indem ich einfach - N anstatt N betrachte.

Das ist richtig.

PS: Lass Dich von der Musterlösung nicht zu sehr verwirren. Versuch es am besten erstmal selber so zu rechnen, wie Du es verstanden hast, und guck ob das richtige rauskommt.


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 31. Aug 2014 16:04, insgesamt einmal bearbeitet
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Aug 2014 16:03    Titel: Antworten mit Zitat

HBX88X hat Folgendes geschrieben:
Ja, die Lösungen irritieren mich schon etwas.

Also den Normalenvektor berechne ich doch durch N=grad w(t) / (Betrag von grad w(t)).


Nein, das ergibt leider keinen Sinn. w ist der Ortsvektor auf den Rand der Fläche. Was sollte der Gradient davon sein?

Der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Tangentialvektor an die Randkurve. Den berechnest du aus der Bedingung (Skalarprodukt). Wenn du diese Bedingung anwendest, kannst du feststellen, daß man einen möglichen Normalenvektor findet, indem man die Komponenten von vertauscht und dabei von einer das Vorzeichen ändert. Probier es mal aus.

"HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Wenn dieser Normalenvektor jedoch in die Fläche B zeigt anstatt nach außen, muss er umorientiert werden, indem ich einfach - N anstatt N betrachte.


Ja, wenn du N nach der Methode oben berechnet hast, geht es so weiter.
-N ist immer noch normal zur Fläche, wie dir klar sein sollte und er zeigt genau dann nach außen, wenn N nach innen gezeigt hat.

Zitat:

Ist das so richtig, abgesehen von der Musterlösung? (Diese bringt mich nämlich etwas durcheinader).


Hm, das ist schade. Kannst du noch konkreter sagen, wo du Probleme hast?

Vielleicht solltest du einfach mal eigenständig drauflos rechnen, bevor du versuchst die Musterlösung zu verstehen. Wenn du mit deinen eigenen Gedanken daran gehst, wird dir vielleicht einiges klarer, als wenn du versuchst nachzuvollziehen, was sich sich jemand anderes bei der Aufgabe gedacht hat. Nur so als Vorschlag...
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Aug 2014 16:05    Titel: Antworten mit Zitat

jh8979 hat Folgendes geschrieben:

PS: Lass Dich von der Musterlösung nicht zu sehr verwirren. Versuch es am besten erstmal selber so zu rechnen, wie Du es verstanden hast, und guck ob das richtige rauskommt.


Oh, da hatten wir wohl dieselbe Idee. ;-)
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 31. Aug 2014 16:32    Titel: Antworten mit Zitat

Danke index_razor das hat mir jetzt sehr geholfen. Sehr Nett von dir!

Also läuft es über grad (w(t)) * N =0 hinaus. Das heißt ich finde einen Normalenvektor wenn ich die komponenten von N so bestimme, das dass Skalarprodukt Null ergibt. Und das macht man wie folgt:

Ich drehe zunächst die komponenten von grad (w(t)) um und danach werden von einer beliebigen Komponente das Vorzeichen gewechselt mithilfe -(Komponente). Da es zwei Möglichkeiten immer gibt, muss ich schauen ob Möglichkeit 1 (Erste Komponente Vorzeichenwechsel) oder Möglichkeit 2. (Zweite Komponente Vorzeichenwechsel) die Gleichung erfüllt.

In diesem Fall wäre es:

. (Andere Möglichkeit würde die Gleichung nicht erfüllen).

Nun habe ich ein Normalenektor gefunden! Jetzt muss ich schaun ob er den in die Fläche B hinein schaut oder nach außen schaut (Orientierung nach Gauß überprüfen). Tut der Normalenvektor es nicht, muss ich -N nutzen.

Demnach ist unser gesuchter Normalenvektor



Die y Komponente meines vektorfeldes (0,y), wäre aber immernoch die Ausgangs y- Komponente der Parametrisierung, demnach (0,1-cos(@))
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 31. Aug 2014 16:54    Titel: Antworten mit Zitat

Das bei der Musterlösung im übrigen vor dem Integral ein minus vorhanden ist, kommt daher das es sich um das minus bei -N handelt (herrausgezogen aus dem Integral).
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Aug 2014 17:16    Titel: Antworten mit Zitat

Warum schreibst du immer grad w(t)? Was soll das sein? Das ergibt doch keinen Sinn. Du sprichst vom Tangentialvektor , d.h. du leitest einfach nach dem Kurvenparameter ab. Der Gradient ist etwas völlig anderes.

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Ich drehe zunächst die komponenten von grad (w(t)) um und danach werden von einer beliebigen Komponente das Vorzeichen gewechselt mithilfe -(Komponente). Da es zwei Möglichkeiten immer gibt, muss ich schauen ob Möglichkeit 1 (Erste Komponente Vorzeichenwechsel) oder Möglichkeit 2. (Zweite Komponente Vorzeichenwechsel) die Gleichung erfüllt.

In diesem Fall wäre es:

. (Andere Möglichkeit würde die Gleichung nicht erfüllen).


Das stimmt nicht ganz. Beide Möglichkeiten erfüllen diese Gleichung. Die eine ergibt das korrekt orientierte , die andere ergibt logischerweise .

Zitat:




Ja, das stimmt. Allerdings würde ich zwischendurch ein paar Minuszeichen wegschmeißen, sonst kommt man schnell durcheinander.

Zitat:

Die y Komponente meines vektorfeldes (0,y), wäre aber immernoch die Ausgangs y- Komponente der Parametrisierung, demnach (0,1-cos(@))


Ich glaube, da hast du auch etwas noch nicht richtig verstanden.
Du setzt einfach in die Komponenten von v (die ja vom Ort auf der Ebene abhängen) die Parametrisierung der Kurve ein. Das bedeutet es doch genau, daß du entlang der Kurve integrierst. Das machst du im Prinzip für jede Parametrisierung gleich. Dieser Teil hat gar nichts mit der Richtung des Normalenvektors zu tun.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 31. Aug 2014 17:22    Titel: Antworten mit Zitat

Ach stimmt, gradient war ja immer auf ein Skalarfeld bezogen (Sorry)..

Also ist es egal von welcher Komponente ichd as Vorzeichen wechsel mit -(Komponente) .. Beides sind Normalenvektoren? Bei dem einen bekam ich kein 0 herraus .... sicherlich ein Rechenfehler ?
index_razor



Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259

Beitrag index_razor Verfasst am: 31. Aug 2014 17:30    Titel: Antworten mit Zitat

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Also ist es egal von welcher Komponente ichd as Vorzeichen wechsel mit -(Komponente) .. Beides sind Normalenvektoren?


Ja natürlich. Wie gesagt, das eine ist N das andere ist -N. Beide sind orthogonal zu denselben Vektoren, denn "orthogonal" bedeutet, daß zwei Vektoren einen rechten Winkel einschließen. Das solltest du dir unbedingt veranschaulichen
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 31. Aug 2014 21:11    Titel: Antworten mit Zitat

So, ich muss jetzt noch ein letztes Mal fragen. Geht diesmal um eine andere Aufgabe wo Gauß und Green angewendet werden müssen und ich muss zugeben alles war kein problem zu berechnen, bis auf einen kleinen Punkt bzgl. der Orientierung.

Welchen x-Wert schau ich mir an wenn ich über die Orientierung urteilen will ? Bei den letzten zwei war es pi, eventuell wegen der Mitte? Ich hatte das einfach nun so wahrgeommen vorhin. Kann doch nicht jeden x-Wert mir anschauen wo die Kurve verläuft oder ? Aber eig. sollte man das doch machen denn zb. der Tangentialvektor kann sich überall anders verhalten..

Würde mich sehr freuen wenn ihr mir da noch helfen könnt.



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jh8979
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 31. Aug 2014 23:26    Titel: Antworten mit Zitat

Rechne die Vektoren einfach aus und guck wo sie hinzeigen... das ist wirklich nicht so schwierig wie Du es hier die ganze Zeit machst...
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Sep 2014 12:59    Titel: Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:

Welchen x-Wert schau ich mir an wenn ich über die Orientierung urteilen will ? Bei den letzten zwei war es pi, eventuell wegen der Mitte? Ich hatte das einfach nun so wahrgeommen vorhin. Kann doch nicht jeden x-Wert mir anschauen wo die Kurve verläuft oder ? Aber eig. sollte man das doch machen denn zb. der Tangentialvektor kann sich überall anders verhalten..


Schau dir doch erstmal die Kurven in Ruhe an und überlege.  Das eine ist eine Gerade.  Der Normalenvektor dort ist in jedem Punkt derselbe.  Die zweite Kurve ist ein Kreissegment. Da nimmst du einfach den normierten Ortsvektor als Normale. Kann es bei irgendeiner dieser Kurven Probleme geben?

Im allgemeinen Fall kannst du davon ausgehen, daß alle Kurvenstücke so glatt sind, daß der Normalenvektor gar nicht anders kann, als stetig vom Kurvenparameter abzuhängen.  (Zur Not kannst du das ja explizit prüfen.  Schließlich rechnest du ja den Normalenvektor als Funktion des Kurvenparameters aus.) Wenn dies der Fall ist (also für deine Belange immer), dann ist er entweder an jedem Punkt richtig orientiert oder an gar keinem.  An welchem Punkt du das prüfst ist also Dir überlassen.


Zuletzt bearbeitet von index_razor am 01. Sep 2014 14:02, insgesamt 2-mal bearbeitet
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Sep 2014 13:14    Titel: Antworten mit Zitat

P.S. und für den Tangentialvektor im Satz von Green gilt übrigens fast wortwörtlich dasselbe. (Nur beim Kreissegment mußt du einen anderen Vektor wählen. Welchen ist hoffentlich offensichtlich.)
HBX8X



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Beitrag HBX8X Verfasst am: 01. Sep 2014 17:06    Titel: Antworten mit Zitat

Hier mal ein Beispiel was mich etwas irritiert. Bei den anderen Aufgaben hatten wir pi genutzt um an der Stelle von Pi den Tangentialvektor zu berechnen. Herrauskam in der ersten Aufgabe (2,0)...Dieser Wert ist nun wie folgt zu interpretieren. Der Punkt der Kurve der zum x-Koordinatenwert (Hier Pi) zugehört spannt ein Tangentialvektor auf. Man geht nun 2 x-Werte nach rechts und 0 y-Werte nach unten/oben. Nun sieht man offensichtlich das der Tangentialvektor nach rechts zeigt und die Fläche B nicht sich vollständig entgegengesetzt des Tangentialvektors befindet. Deshalb muss umorientiert werden.

Ich habe mal eine Aufgabe im Anhang hochgeladen, wo der x-Wert 0 beträgt, der Tangentialvektor jedoch vom x-Wert=5 aufgespannt wird. (Siehe zugehörige Skizze)...



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index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Sep 2014 18:28    Titel: Antworten mit Zitat

Sorry, ich versteh da ehrlich gesagt nur Bahnhof. Ich verstehe überhaupt nicht, wo dein Problem ist, und ich habe das Gefühl du fragst immer dasselbe. Ich bin mir nicht sicher inwiefern dir überhaupt klar ist, was du in diesen Aufgaben tun sollst.

Was soll es heißen, daß der Tagentialvektor von einem Punkt "aufgespannt" wird? Das ist eine reichlich seltsame Formulierung.

Und dies hier:

HBX8X hat Folgendes geschrieben:
Nun sieht man offensichtlich das der Tangentialvektor nach rechts zeigt und die Fläche B nicht sich vollständig entgegengesetzt des Tangentialvektors befindet. Deshalb muss umorientiert werden.


Das hört sich so an, als wäre der ganze thread hier vollkommen wirkungslos an dir abgeprallt. Ich hoffe ich irre mich und du hast nur Schwierigkeiten dich auszudrücken. Um es nochmal klarer und hoffentlich verständlich zu formulieren: Der Tangentialvektor gibt eine Bewegungsrichtung entlang der Randkurve an. Bezogen auf diese Richtung läßt sich in der Ebene definieren was links und was rechts ist. (So wie beim Auto fahren das was die rechte Spur ist immer auf die Fahrtrichtung bezogen wird. Der Gegenverkehr fährt zwar aus deiner Sicht auf der linken, aus seiner aber auf der rechten Spur.) Die betrachtete Fläche muß nun in diesem Sinne links bezogen auf diese Bewegungsrichtung liegen. Kannst du dir das vorstellen?

Das hat nichts damit zu tun, ob der Tangentialvektor nach "rechts" zeigt, wenn du die Skizze betrachtest. Es hat auch nichts damit zu tun ob sich die Fläche "vollständig entgegengesetzt des Tangentialvektors befindet", was auch immer das bedeuten soll.

Zitat:

Ich habe mal eine Aufgabe im Anhang hochgeladen, wo der x-Wert 0 beträgt, der Tangentialvektor jedoch vom x-Wert=5 aufgespannt wird. (Siehe zugehörige Skizze)...


Und was ist damit? Da ist an einem Punkt mit x-Koordinate 5 ein Vektor mit x-Komponente 0. Das ist doch nichts ungewöhnliches.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 01. Sep 2014 19:38    Titel: Antworten mit Zitat

Hey danke sehr! Tut mir leid wenn das was ich darstellen wollte, nicht ganz so rübergekommen ist, wie ich es mir eigentlich vorgestellt hatte.

Du sagst: ,, Der Tangentialvektor gibt eine Bewegungsrichtung entlang der Randkurve an."

Das ist mir klar. Wenn er zu einem beliebigen x-Wert (2,0) liefert, dann ist es doch offensichtlich das er nach rechts schaut...analog (-2,0) falls er nach links schauen sollte. Das gilt aber nur an diesem einen Punkt x.

,,Das hört sich so an, als wäre der ganze thread hier vollkommen wirkungslos an dir abgeprallt."

Nein ganz und gar nicht, denn ich weiss nun vieles mehr und ich danke euch auch sehr dafür! Trotzdem muss gesagt werden das sich der Thread bisher mit der richtigen Orientierung befasst hat und nicht ob die Orientierungen im vorherrin korrekt ist oder nicht. Denn bisher waren alle nicht korrekt...

Kurz und knapp und nur aufs rechnerische bezogen:

Wie schaust du nach am Anfang ob die Orientierung erfüllt ist?

Mir sind die jeweiligen Orientierungen bekannt (Green: Fläche befindet sich links von der Durchlaufrichtung und Gauß: Normalenvektor schaut nach außen von B aus betrachtet).
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 01. Sep 2014 19:53    Titel: Antworten mit Zitat

Sry, hatte was übersehen..

,,Wenn du den Tangentialvektor hast, mach dir anhand der Skizze klar, in welche Richtung er zeigt. Dann läufst du gedanklich die Kurve in dieser Richtung ab und veranschaulichst dir ob das Innere der Fläche immer links von deiner Bewegungsrichtung liegt. Wenn nicht, änderst du die Parametrisierung derart, daß es der Fall ist.
"
Beim ersten Mal hatte ich noch nicht verstanden was du meinst, jetzt ist es klarer..


Lass mich bitte noch etwas nachdenken..
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 01. Sep 2014 20:16    Titel: Antworten mit Zitat

Wenn der Tangentialvektor nach links zeigt bei oben erstgenanntes Rechenbeispiel, laufe ich dann von 0 nach 2pi mit Durchlaufrichtung links oder von 2pi nach 0, was sich mir als einziges erschließt.

Es ist doch relativ komplex!
index_razor



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Beitrag index_razor Verfasst am: 01. Sep 2014 20:31    Titel: Antworten mit Zitat

Warum sprichst du eigentlich immer davon, daß der Tangentialvektor nach "rechts" oder "links" zeigt? Ist dir klar, daß diese Frage exakt gar nichts mit dem Orientierungsbegriff zu tun hat, um den es hier geht? Der Vektor kann genauso gut nach oben oder unten oder zum Nordpol zeigen. Entscheidend ist auf welcher seiner Seiten in Bewegungsrichtung die Fläche liegt.

HBX88X hat Folgendes geschrieben:

Wie schaust du nach am Anfang ob die Orientierung erfüllt ist?

Mir sind die jeweiligen Orientierungen bekannt (Green: Fläche befindet sich links von der Durchlaufrichtung und Gauß: Normalenvektor schaut nach außen von B aus betrachtet).


War die Frage jetzt rhetorisch? Die Antwort steht -- von dir selbst gegeben -- direkt darunter. Was möchtest du denn jetzt noch wissen? Die beiden Bedingungen sind doch einfach genug zu prüfen.
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