Kondensator Kapazität mit Satz von Gauß berechnen

Vonderklippe · Anmeldungsdatum: 13.04.2010 Beiträge: 3

Aufgabe
Gegeben sei ein Plattenkondensator mit zwei parallelen kreisförmigen Platten im
Abstand s (Durchmesser der Platten D) .
(a) Vernachlässigen Sie Randfelder und berechnen Sie mit Hilfe des Gauß’schen
Satzes die Kapazität des Kondensators.

Hallo Leute,

ich habe ein kleines Problem mit Gauß weshalb ich euch um hilfe bitte:).
Die Formel von Gauß lautet ja:

. Ich kann ja jetzt

gleichsetzen

so hier komm ich leider nicht mehr weiter. Eine Idee war auf der rechten Seite von Gauß einfach E*A zu schreiben, wenn man davon ausgeht dass E konstant ist auf der Fläche. Aber wie ist das Verhältnis von E zu C(Kapazität)? Die andere Idee wäre mit der Spannung

und Q=C*U zu berechnen aber dan müsste ich noch ein integral lösung...

Ich freue mich über jeden Vorschlag:)

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

E = U/d

...

GvC · Anmeldungsdatum: 07.05.2009 Beiträge: 14861

Für einfache Anwendungen, wie im vorliegenden Fall, lohnt es sich, die folgenden drei Gleichungen und ihre Bedeutung zu merken. Dabei handelt es sich im Prinzip um die integrale Form der Maxwellschen Gleichungen, reduziert auf das elektrostatische Feld.

Dazu ist es insbesondere notwendig, sich über den Hintergrund und die Bedeutung der ersten Gleichung (Gaußscher Flusssatz) im Klaren zu sein.

Wir stellen uns vor, dass von einer Ladung Q ein sog. dielektrischer Fluss ausgeht (auch Verschiebungsfluss genannt) und dass der gesamte von der Quelle Q ausgehende Fluss gleich der Ladung Q ist. Wenn wir um Q gedanklich eine geschlossene Hülle herumlegen, z.B. in der Form eines Fußballs oder eines Ostereis oder sonstwie geformten Hülle, dann ist einleuchtend, dass der gesamte von Q ausgehende Fluss durch diese Hülle hindurchgeht, dass also das Hüllflächenintegral der Flussdichte D gleich dem gesamten Fluss, also gleich der von der Hülle eingeschlossenen Ladung ist. Das ist die Aussage der ersten obigen Gleichung.

Zur praktischen Anwendung musst Du jedesmal, wenn Du diese Gleichung siehst, Dir für das gegebene Problem eine sinnvolle Hülle als Integrationsfläche ausgucken, die die Auswertung des Hüllflächenintegrals besonders einfach macht. Im vorliegenden Fall kannst Du Dir eine beliebige Hülle um eine der Kondensatorplatten ausdenken, die nur eine Bedingung erfüllen muss. Sie muss einen Anteil besitzen, der planparallel zwischen den beiden Kondensatorplatten hindurchführt. Das kann z.B. ein Kreiszylinder sein, dessen Grundfläche parallel zu den Kondensatorplatten liegt, oder ein Quader, von dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel zu den Kondensatorplatten liegen oder ... oder ... Wenn Du Dir den Fluss durch diese Hüllfläche ansiehst, dann merkst Du, dass er nur den Teil der Hülle senkrecht durchsetzt, der zwischen den Platten planparallel hindurchführt und dabei genau die Größe der umhüllten Kondensatorplatte hat (Randfelder sollen ja laut Aufgabenstellung vernachlässigt werden). Da der Fluss durch diese Fläche auch noch gleichmäßig verteilt ist, reduziert sich das Hüllintegral auf

Du siehst, dass es sich außerdem nur noch um die Beträge von D und A handelt, denn Du hast ja das Skalarprodukt aus

und

gebildet, die an jeder Stelle der vom Fluss durchsetzten Fläche parallel sind.

Der Rest ist einfach:

D*A = Q

---> D = Q/A

E = D/eps

---> E = Q/(A*eps)

Jetzt ist das Linienintegral der Feldstärke von einer Platte zur anderen zu bilden. Da es sich um ein homogenes Feld handelt, reduziert sich das auf

E*s = U = Q*s/(A*eps)

mit C = Q/U ergibt sich daraus

Q/U = C = eps*A/s

wobei A gerade gleich der kreisrunden Plattenfläche ist, also A = pi*d²/4. (Ich habe hier für den Plattendurchmesser das Symbol d benutzt, da D schon für die Verschiebungsflussdichte reserviert war).