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Satz von Stokes
 
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HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 13:00    Titel: Satz von Stokes Antworten mit Zitat

Hallo, mir wurde geraten meine Fragestellung hier zu stellen, deshalb probiere ich es einfach mal!

Ich soll den Satz von Stokes verifizieren bzgl. der gegebenen Oberfläche und des Vektorfeldes. Nun habe ich auch eine Musterlösung, deshalb würde ich diese gerne Schritt für Schritt verstehen.

Wieso wird zunächst zwischen Rechter- und Linker Seite unterschieden? Und wieso nutze ich für den Weg Zylinderkoordinaten? Handelt es sich nicht um eine ,,Halbkugel" ?

Ich habe die Musterlösung zur ersten Seite zunächst hochgeladen... Kann mir jemand bitte sagen welcher weg der gegebene genau an der dreidimensionalen Skizze ist? Also (2cosphi,2sinphi,4) .. Hergeleitet mithilfe Zylinderkoordinaten aber was soll das genau darstellen ?



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 13:19    Titel: Re: Satz von Stokes Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:

Wieso wird zunächst zwischen Rechter- und Linker Seite unterschieden?

Weil Du den Satz von Stokes explizit verifizieren sollst. D.h. Du sollst durch ausrechnen der linken und der rechten Seite der Gleichung zeigen, dass sie tatsächlich gleich sind.
Zitat:

Und wieso nutze ich für den Weg Zylinderkoordinaten?

Weil das Problem rotationssymmetrisch bzgl der z-Achse ist.
Zitat:

Handelt es sich nicht um eine ,,Halbkugel" ?

Nein. Um eine Halbsphäre, also die Oberfläche einer Halbkugel (ohne die Schnittfläche in der Mitte).
Zitat:

Kann mir jemand bitte sagen welcher weg der gegebene genau an der dreidimensionalen Skizze ist? Also (2cosphi,2sinphi,4) ..

Zum einen ist das eingezeichnet, zum anderen musst Du lernen selber zu erkennen, was für ein Weg durch (2cosphi,2sinphi,4) beschrieben wird.
Zitat:

Hergeleitet mithilfe Zylinderkoordinaten aber was soll das genau darstellen ?

Den Rand der Oberflaeche.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 21. Aug 2014 13:50    Titel: Antworten mit Zitat

Danke für deine Erklärungen, das hilft mir bereits etwas! Werde mich jetzt mal damit weiter auseinandersetzen! Zum linken bzw. rechten Teil ... Ich dachte es handele sich damit immer um geometrische Maße des betrachteten Körpers, anstatt die Linke bzw. Rechte Seite der Gleichung. Danke sehr!
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 21. Aug 2014 14:57    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hätte da mal eine Frage nochmal bzgl. den Zylinderkoordinaten. Ein Punkt kann durch (rcosphi,rsinphi,z) dargestellt werden....Wenn sich dieser nun rotiert entsteht ein Kreis in der xy -Ebene (0-2pi). Das heißt, dass hier doch nur ein Kreis ind er xy-Ebene mit dem Weg dargestellt wird ?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 15:02    Titel: Antworten mit Zitat

Richtig. Das sollte auch so sein, weil der Rand der Fläche nur aus einem einzigen Kreis besteht.
HB88X
Gast





Beitrag HB88X Verfasst am: 21. Aug 2014 15:11    Titel: Antworten mit Zitat

Der betrachte Kreis ist doch nur der wo eiine gerade Ebene vorhanden ist, also der Schnitt oben ?

Ja, aber ich verstehe nicht wieso man nur mit einer Umrandung (Kreisförmig) auf diesem Gebiet auf die ganze Struktur des ganzen Körpers schließen kann...Denn eigentlich sind doch unendlich kleine Kreisumrandungen vorhanden und hier wird nur mit dem größten gerechnet ?

Ich hoffe es ist einigermaßen verständlich was ich meine..
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 15:15    Titel: Antworten mit Zitat

Das was Du "Körper" nennst und in der Lösung mit O bezeichnet ist ist eine Fläche kein Volumen und der Rand einer Fläche ist ein eindimensionales Objekt, in diesem Fall ein Kreis.
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 21. Aug 2014 17:33    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hätte da mal eine Frage, die sich nicht exakt auf diese Aufgabe bezieht sondern allgemein auf die Parametriesierung bezogen ist (Brauche diese um den Satz von Gauß in der Ebene unter anderem richtig anwenden zu können)...

Bei einer Musterlösung werden folgende parametrisierungen gewählt:

1) (-t,t^2 -1)
2) (sint,cost)

Ich dagegen komme nur auf folgende:

1) (t,t^2 -1)
2)(cost,sint)

Wenn ich jedoch bei Wolfram Alpha alles eingebe und mir die Parameterdarstellung ansehe, so ist alles exakt dasselbe. Deshalb meine Frage: Darf ich mit meinen gewählten Parametrisierungen rechnen oder nicht ? Also werden die Ergebnisse (Integrale) äquivalent sein, denn der Graphf ist laut Wolfram Alpha äquivalent...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 19:29    Titel: Antworten mit Zitat

Um die Parametrisierungen vergleichen zu können musst du noch den Wertebereich von t angeben.

Ansonsten ja: Du kannst die Parametrisierung wählen wie Du willst. Die Integrale sind invariant unter der Wahl der Parametrisierung (wäre auch schlimm wenn nicht).
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 21. Aug 2014 19:41    Titel: Antworten mit Zitat

Hey danke sehr! Bei der Musterlösung ist der Wertebereich von t angegeben, den ich auch exakt so nehmen würde. Aber da ich eine andere Parametrisierung habe, würde das keine Probleme geben?

Und noch was.. Mir wurde gerade erklärt wie man richtig parametrisiert (sprich x bzw. y =t setzen und dann nach einer Variable auflösen). Das Problem: Das funktioniert nur wenn die Lösung ,,eindeutig" ist z.b. wäre x^2=t-1 nicht zugelassen da es <-> x=+ bzw - sqrt(t-1). Weisst du was man in diesem Fall macht? Hier ein Beispiel aus der Musterlösung:

x^2-y=1. Laut Musterlösung gilt: (-t,t^2-1).

Wenn ich nun das gelernte anwende: x=t bzw y=t und nach der anderen jeweiligen Variable auflöse komm ich auf y=t^2-1 (Stimmt laut Musterlösung!) und x=sqrt(1+t) ... Das stimmt nicht denn x=-t ist richtig... Wie köntte ich nun diese Wurzel umgehen damit ich auch die x Kordinate der Parameterarstellung bestimmen kann ?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 19:45    Titel: Antworten mit Zitat

i.A. ist der Parameterbereich bei andere Parametrisierung anders. Du musst halt gucken, ob Du die richtige Kurve parametrisiert. u.U. musst Du die dann auch in Stücke zerlegen (z.B. wenn eine Wurzel auftaucht).
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 21. Aug 2014 19:48    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du mir sagen wie mein Dozent auf -t gekommen ist?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 21:05    Titel: Antworten mit Zitat

Da ich keine Ahnung hab, was die Aufgabe war: Nein. Aber da Du sagst, dass Deine Parametrisierung denselben Weg liefert, ist es doch egal.
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 22:48    Titel: Antworten mit Zitat

Naja egal erst einmal.. Zurück zur Ausgangsaufgabe smile

Ich habe jetzt die Linke Seite vollständig zeigen können und bin nun an der rechten Seite dran ... Kannst du mir nur sagen erst einmal welche Oberfläche genau gemeint wird ? Damit ist doch folgendes gemeint (Siehe Anhang) ...

Durch rotieren um die z-Achse entsteht dann der Körper, sprich Parametrisierung ist (rcosphi,rsinphi,r^2)



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jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 22:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ja.
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 22:55    Titel: Antworten mit Zitat

Es wäre aber besser immer nur die hälfte von dem von mir oben selbstskizzierte zu zeichnen oder? Denn sonst wäre der Weg ja [0,pu]anstatt [0,2pi]
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 22:57    Titel: Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:
Es wäre aber besser immer nur die hälfte von dem von mir oben selbstskizzierte zu zeichnen oder? Denn sonst wäre der Weg ja [0,pu]anstatt [0,2pi]

Ich hab keine Ahnung, was Du mich hier fragst...
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 23:00    Titel: Antworten mit Zitat

Nagut ich lass es einfach dabei, denke aber scho das ich recht habe. Big Laugh Danke sehr im übrigen!
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 23:15    Titel: Antworten mit Zitat

Ich hätte jetzt doch eine Frage. Wieso genau wird hier das Oberflächenintegral über Flächenparameter berechnet? Ich denke das ist so, weil ich die Oberfläche nicht mithilfe normalen Kugel bzw. zylidnerkoordinaten darstellen kann oder? Und kannst du mir sagen wieso bei folgendem markierten durch r geteilt wird ?


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jh8979
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Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 23:38    Titel: Antworten mit Zitat

HBX8X hat Folgendes geschrieben:
Ich hätte jetzt doch eine Frage. Wieso genau wird hier das Oberflächenintegral über Flächenparameter berechnet? Ich denke das ist so, weil ich die Oberfläche nicht mithilfe normalen Kugel bzw. zylidnerkoordinaten darstellen kann oder? Und kannst du mir sagen wieso bei folgendem markierten durch r geteilt wird ?

Oberflächenintegral werden immer mit Flächenparameter berechnet (auch bei Kugeln und Zylinder, in diesen Fällen sind die Koordinaten nur bekannter).

Vermutlich soll durch die Norm geteilt werden, um einen Einheitsvektor rauszukriegen?? Keine Ahnung, wenn dann sieht es jedenfalls falsch aus...

PS: Wie waere es, wenn Du Die Rechnung erstmal bis zum Ende durchführst? Dann siehst Du ob Du das richtige rauskriegst oder nicht... da beantworten sich dann schon viele Fragen von selber.
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 23:46    Titel: Antworten mit Zitat

Danke dir! Ja klar rechnen werde ich, aber ich versuche gerade alles nachzuvollziehen und muss sagen laut meinem Lehrbuch habe ich auch alles verstanden..bloß zunächst einmal vielen dank das du mir sagst das auch die bekannten Kugel- und Zylinderkoordinaten über die Integration von Flächenparameter entstehen (weil in meinem Lehrbuch werden zwischen normalen Oberflächenintegralen und die mit Flächenparametern unterschieden)... Laut Lektüre brauche ich keine normierung hier bei Oberflächenintegralen oder lese ich da was falsch ?
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8571

Beitrag jh8979 Verfasst am: 21. Aug 2014 23:52    Titel: Antworten mit Zitat

Je nachdem wie Du es aufschriebst, muss es natürlich korrekt normiert sein, sonst kommt nicht die richtiger Fläche raus:
http://de.wikipedia.org/wiki/Oberflächenintegral#Oberfl.C3.A4chenelement

Rechne das doch am besten mal für die Kugel aus, da weisst Du ja was rauskommen muss. Dann versteht Du vermutlich besser, was hier passiert.


Zuletzt bearbeitet von jh8979 am 22. Aug 2014 00:01, insgesamt einmal bearbeitet
HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
Beiträge: 159

Beitrag HBX8X Verfasst am: 21. Aug 2014 23:59    Titel: Antworten mit Zitat

Gut werde ich machen, trotzdem kannst du ja mal sehen wieso ich verwundert bin


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HBX8X



Anmeldungsdatum: 07.11.2013
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Beitrag HBX8X Verfasst am: 22. Aug 2014 00:15    Titel: Antworten mit Zitat

Im Skript steht das auch nochmal, alsö nochmal durch den Betrag von dem Kreuzprodukt der Tangentenvektoren der Flächen! Komischd as es nicht beid er Beispielaufgabe angewendet wird.
HBX8XX
Gast





Beitrag HBX8XX Verfasst am: 22. Aug 2014 14:46    Titel: Antworten mit Zitat

Kannst du mir sagenwann man den normalenvektor des Kreuzproduktes der Tangentenvektoren der Fläche bestimmen soll? Bei obigen Beispiel (geg. Vektorfeld) wird es nicht angewendet, bei Wikipedia ist in der Formel davon auch nicht die rede, doch in meinem Skript wird es genutzt ...
jh8979
Moderator


Anmeldungsdatum: 10.07.2012
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Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Aug 2014 15:08    Titel: Antworten mit Zitat

Das kannst Du halten wie die Dachdecker:

Hauptsache Du machst es konsistent...
HBX8XX
Gast





Beitrag HBX8XX Verfasst am: 22. Aug 2014 16:38    Titel: Antworten mit Zitat

Danke, das hat mich echt durcheinander gebracht! Ist aber letztendlich alles äquivalnt, wobei das mit dem Normalenvektor noch einmal zur genauen Interpretation dienen soll ......

Ich hab jetzt alles verstanden in bezug zu dieser Aufgabe, sprich komplett gelöst. Vielen dank für die Hilfe! Ich hätte da jedoch noch eine Frage..

Ich setze mich gerade mit dem Satz von Green auseinander und dieser ist ja ein Spezialfall von Stokes. Inwiefern denn ? Das der Satz von Stokes im IR^3 angewendet wird und der Satz von Green im IR^2, sprich in einer Ebene ? Demnach gilt einfach äquivalent folgendes, bloß im IR^2 angewendet

,,... Flächenintegral in ein geschlossenens Kurvenintegral umwandeln (und umgekehrt), wobei die geschlossene Kurve gerade der Rand der Fläche ist."
jh8979
Moderator


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Beitrag jh8979 Verfasst am: 22. Aug 2014 16:45    Titel: Antworten mit Zitat

HBX8XX hat Folgendes geschrieben:

Ich setze mich gerade mit dem Satz von Green auseinander und dieser ist ja ein Spezialfall von Stokes. Inwiefern denn ?

Der Satz von Green folgt unmittelbar aus dem Satz von Stokes, wenn man ihn auf ein geeignetes Vektorfeld anwendet.
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Stokes#Beispiel
HBX88X
Gast





Beitrag HBX88X Verfasst am: 22. Aug 2014 23:25    Titel: Antworten mit Zitat

Ich habe da mal eine Frage bzgl. einer Aufgabe im Zusammenhang mit dem Satz von Green. Ich habe hier ein Weg gegeben und soll nun von diesem den Flächeninhalt M bestimmen. Jetzt ist leider gar kein Vektorfeld gegeben und laut Musterlösung wird eins selsbt ,,kreirt". Nämlich v=(0,x) da es die Bedingung rot v= v2,x-v1,y=1 erfüllt.

Kannst du mich aufklären wieso das so gemacht wird ? Und kann man davon ausgehen das man immer dieses Vektorfeld wählen kann, sofern keins gegeben ist ?
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