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Satz von Gauß
 
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ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 12:16    Titel: Satz von Gauß Antworten mit Zitat

guten morgen

ich will an einem beispiel die richtigkeit des gaußschen satzes zeigen.



der erste term bereitet mir schwierigkeiten.

das volumen V ist gegeben durch:





also ein kegel mit radius 2 und höhe 4.

das Vektorfeld ist gegeben durch:



also:


wenn ich das in zylinderkoordinaten schreiben will brauch ich r(z).
also:





stimmt das?
für den normalenvektor hab ich:



stimmt das?
wer schön, wenn sich das mal jemand anguckt. danke.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Nov 2007 12:39    Titel: Re: satz von gauß Antworten mit Zitat

eigentlich bin ich unsicher, da du bisher immer recht gehabt hattest, aber :



ist ein Kegel ?

wäre das nicht



?

Bei dir wäre dann

grübelnd grübelnd

_________________
Wenn du eine weise Antwort verlangst, musst du vernünftig fragen (Goethe)
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 12:42    Titel: Antworten mit Zitat

naja



hab ich geschrieben und das is doch ein kegel oder. für



mit zunehmender höher wird der radius immer kleiner. bei 4 is er null.

also kegel
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 12:50    Titel: Antworten mit Zitat

Für den Beginn der Aufgabe schaue man auch hier:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=158666
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
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Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 13:07    Titel: Antworten mit Zitat

hey der hat meinen namen geklaut.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Nov 2007 14:42    Titel: Antworten mit Zitat

Es geht mir gar nicht um den Satz von Gauss, sondern möchte dich nur auf etwas aufmerksam machen, das ich nicht verstehe, sei es weil es falsch ist, oder weil ich bei deinem Beispiel etwas völlig anders interpretiere als du und somit evtl. "betriebsblind" bin und um eine kleine Lüftung des Geheimnisses bitte..

ushi hat Folgendes geschrieben:
naja



hab ich geschrieben und das is doch ein kegel oder. für



mit zunehmender höher wird der radius immer kleiner. bei 4 is er null.

also kegel

==> ja, das stimmt, aber unter einem "umgangssprachlichen" Kegel stelle ich mir etwas vor, wo der Radius mit z linear kleiner wird, und bei der Höhe des Kegels Null wird.

Der von dir beschriebene Kegel hat diese Eigenschaft nicht:



beschriebe dann doch einen Punkt am Kegelmantel - oder ?

Wenn ich das nun umforme







r(z) ist hier nicht linear sondern folgt einer Wurzel.

Du schreibst aber plötzlich



was einem "umgangssprachlichen" Kegel entspricht: r(z) ist hier linear; wie kommst du nun auf das von der ursprünglichen Gleichung ?

_________________
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ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 14:58    Titel: Antworten mit Zitat

weißt du was.
ich mache parallel zum zivi ein semester fernstudium "einführung in die theoretische physik". mit anderen worten: ich muss mir den ganzen kram irgendwie selbst beibringen. manches geht recht fix, für andere sachen, wie das hier, brauch ich sehr lange. nun beschäftige ich mich schon einige zeit mit dieser aufgabe und war ganz froh, dass ich bis hier gekommen war. jetz kommst du einfach so an und erklärst mir einleuchtend, dass eine grundannahme von mir einfach falsch ist und ich mir die ganze arbeit auch hätte sparen können. das finde ich eine enorme frechheit!!!

danke, dass du mich darauf hingewießen hast. ich geh jetzt umfallen.
schnudl
Moderator


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Beitrag schnudl Verfasst am: 17. Nov 2007 15:26    Titel: Antworten mit Zitat

bist du wenistens weich gefallen ?
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magneto42



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Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 15:27    Titel: Antworten mit Zitat

Ich falle mit. Ach, das bringt doch keinen Spaß mehr unglücklich. Und dabei hatte ich so etwas ähnliches sogar schon einmal:

http://www.matheboard.de/archive/130655/thread.html

Was sagte mein alter C64 immer: REDO FROM START.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
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Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 15:34    Titel: Antworten mit Zitat

ok ich werde von ganz vorn beginnen. ich hoffe auf eure unterstüzung.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
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Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 16:13    Titel: Antworten mit Zitat

los gehts. wir betrachten als erstes nur den ersten term. bekannt ist folgendes:



daraus ergibt sich ein "kegel", dessen querschnitt die form einer umgekehrten parabel aufweißt. (zur veranschaulichung, y=-x^2+4, schade, dass man hier nicht plotten kann.)

in zylinderkoordinaten:



wie komm ich bei auf die z-komponente?

magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
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Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 16:41    Titel: Antworten mit Zitat

So, jetzt habe ich es auch begriffen und beide Integrale von Beginn an neu aufgestellt und gelöst. Machen wir also hier weiter.

Ich schlage vor als Einhüllende unserer Rotationparabel die Graphik vom Matheboard als Grundlage zu nehmen. Die Integration des Rotationskörpers ist einfacher wann man fogende Abhängigkeit ansetzt:



Dann ist das Feld:



Die Oberfläche kann beschrieben werden durch



Dann gilt für den Gradienten:



Den Normalenvektor dann noch auf eins normieren.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 16:58    Titel: Antworten mit Zitat

ok
1. wie bist du auf S gekommen.

2. mein kommt mir sehr komisch vor:



bzw.

magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 17:21    Titel: Antworten mit Zitat

Die Oberfläche folgt aus der Bedingung



bzw.



Aus der Vektoranalysis kann mann dann ausnutzen, daß der Gradient eine Richtungableitung entlang des Normalenvektors ist.

Die Normale hast Du korrekt berechnet. Man sollte dabei die Form mit Zylinderkoordinaten vorziehen. Bei mir auf dem Zettel steht



Was erhälts Du dann als Skalarprodukt von ?
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 17:27    Titel: Antworten mit Zitat

magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 17:38    Titel: Antworten mit Zitat

Richtig Thumbs up!.

Das Flächenelement wird bei einen Rotationsobjekt um die z-Achse folgendermaßen beschrieben:



mit dem Seitenelement



Wenn man das Integral aufstellt fällt der ekelige Wurzelausdruck weg und läßt sich leicht lösen.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 17:47    Titel: Antworten mit Zitat

ok





was nehm ich für grenzen? [0,2]?
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 17:51    Titel: Antworten mit Zitat

Ja.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 18:00    Titel: Antworten mit Zitat

allright. es geht voran. danke, dass du dir so viel zeit für mich nimmst.



so jetz mein versuch für dV:



edit: nein, das muss falsch sein.


Zuletzt bearbeitet von ushi am 17. Nov 2007 18:12, insgesamt einmal bearbeitet
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 18:10    Titel: Antworten mit Zitat

Nun, bei einem Rotationskörper um die z-Achse kann das Volumenelement ausgedrückt werden durch:



Es muß ja etwas positives herauskommen, nicht wahr Augenzwinkern. Der Ausdruck für ist bekannt und das Integral läßt sich aufstellen.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 18:24    Titel: Antworten mit Zitat







hey, der gauß hat wirklich recht gehabt. vielen vielen vielen dank!!! Prost
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 17. Nov 2007 18:35    Titel: Antworten mit Zitat

Puh, ich gratuliere Thumbs up!.

Du solltest Dir alles noch einmal zu Gemüte führen. Insbesondere die Wahl der Flächen- und Volumenelemente solltest Du noch einmal genau anschauen. Auch der falsche Ansatz hat Dir vielleicht ein paar Einblicke in Techniken zur Lösung derartiger Aufgaben verschafft.

Und noch einen Dank an schnudl, der einen riesigen Denkfehler aufgedeckt hat.
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 17. Nov 2007 19:14    Titel: Antworten mit Zitat

ich hab jetz nochmal säuberlich aufgeschrieben. bin somit alles nochmal durchgegangen. finde jeden schritt nachvollziehbar. muss mir auf jeden fall das mit den flächen- und volumenelementen noch mal angucken.

ich bedanke mich bei dir magneto und auch schnudl. vielen dank. Prost
tasomh



Anmeldungsdatum: 20.11.2007
Beiträge: 3

Beitrag tasomh Verfasst am: 20. Nov 2007 17:44    Titel: Antworten mit Zitat

interessante aufgabe hier :-)

@magneto42

gehst du beim ersetzen von dS nicht wieder von einem linearen kegel aus? weil der querschnitt wäre bei dir ja wieder ein dreieck...du wendest ja den pythagoras an...
ach und die "grundfläche" des körpers wurde doch auch weggelassen?!

oder hab ich nen denkfehler?

grüße
ushi



Anmeldungsdatum: 10.11.2007
Beiträge: 111

Beitrag ushi Verfasst am: 20. Nov 2007 17:55    Titel: Antworten mit Zitat

mach jetzt keinen ärger nochmal rechne ich das nicht.
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 20. Nov 2007 20:09    Titel: Antworten mit Zitat

Hallo tasomh Willkommen.

Bei der Berechnung der Bogenlänge einer hinreichend glatten Kurve wird die Sehne mittels rechtwinkliger Dreiecke approximiert (siehe Anhang). Beim Grenzübergang zu infinitesimalen Größen ergibt sich dann:



Es ist also alles korrekt gerechnet hier.



SBogen.PNG
 Beschreibung:
 Dateigröße:  4.92 KB
 Angeschaut:  5839 mal

SBogen.PNG


tasomh



Anmeldungsdatum: 20.11.2007
Beiträge: 3

Beitrag tasomh Verfasst am: 20. Nov 2007 20:34    Titel: Antworten mit Zitat

ah okay, das macht sinn. danke!

aber warum spielt denn die grundfläche hier keine rolle?
magneto42



Anmeldungsdatum: 24.06.2007
Beiträge: 854

Beitrag magneto42 Verfasst am: 20. Nov 2007 20:42    Titel: Antworten mit Zitat

Der Normalenvektor der Grundfläche ist



Ebenso ist die Bodenfläche durch z = 0 charakterisiert. Damit verschwindet das Skalarprodukt



Und damit ist auch der Fluß null.
tasomh



Anmeldungsdatum: 20.11.2007
Beiträge: 3

Beitrag tasomh Verfasst am: 21. Nov 2007 13:42    Titel: Antworten mit Zitat

Hammer
dankeschön
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