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Nachricht |
Emily
Gast
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 Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 20:09 Titel: Poynting- Satz, Maxwell Gleichungen |
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Meine Frage:
Beweisen Sie ausgehend von den Maxwell Gleichungen den Poyntingschen Satz zur Energieerhaltung im elektromagnetischen Feld. Erläutern Sie die einzelnen Terme.
Meine Ideen:
Poynting- Satz:
 + div \vec{S} (\vec{x} ,t) = - \vec{j} \vec{E} (\vec{x} , t) )
Die Maxwell Gleichungen:
= \varrho (\vec{x},t)\\
<br />
rot \vec{E}(\vec{x},t)= - \frac{\partial }{\partial t}\vec{B} (\vec{r},t)\\
<br />
div \vec{B}(\vec{x},t)=0\\
<br />
rot \vec{H}= \vec{j} + \frac{\partial }{\partial x} \vec{D} )
Wie ist der nächste Schritt? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 20:23 Titel: Re: Poynting- Satz, Maxwell Gleichungen |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: |
Poynting- Satz:
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Du könntest damit anfangen, die Terme im Poyntingschen Satz zu erläutern, wie die Aufgabe es fordert. Was bedeuten  und  ? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 20:55 Titel: |
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 ist die elektromagnetische Energiedicte
S- Energiestromdichte ; Poynting Vektor, S=ExH
jE- Leistungsdichte= die Arbeit, die das Feld an den Quellen leistet. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 21:07 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | ist die elektromagnetische Energiedicte
S- Energiestromdichte ; Poynting Vektor, S=ExH
jE- Leistungsdichte= die Arbeit, die das Feld an den Quellen leistet. |
Genau. Die Gleichung sieht also genauso aus wie die Kontinuitätsgleichung der Ladungserhaltung außer, daß die rechte Seite nicht null ist, was genau daran liegt, daß das EM-Feld Energie an den Strom  überträgt.
Am einfachsten ist es, glaube ich, sich als erstes den Divergenzterm vorzunehmen. Es gibt ja verschiedene Produktregeln in der klassischen Vektoranalysis. Weißt du welche dir hier bei der Umformung von
=?)
weiterhelfen könnte? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:14 Titel: |
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Ja.
= \vec{H} rot \vec{E} - \vec{E} rot \vec{H}) |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:15 Titel: |
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OK, und nun die Maxwell Gleichungen einsetzten ? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 21:18 Titel: |
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Genau den meine ich. Nun versuche mal gleich einen Schritt weiter zu gehen. Sprechen die vorkommenden Rotationen irgendwie zu dir? |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 21:19 Titel: |
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Oh, du warst schneller. Probiers doch einfach mal. Kaputtgehen kann ja nichts. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:19 Titel: |
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Ja |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:33 Titel: |
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= \vec{H} rot \vec{E} - \vec{E} rot \vec{H}\\
<br />
= \vec{H}( - \frac{\partial }{\partial t}\vec{B} (\vec{r},t)) - \vec{E} (\vec{j} + \frac{\partial }{\partial x} \vec{D})\\
<br />
div \vec{S}= ( - \frac{\partial }{\partial t}\vec{B} (\vec{r},t)) \vec{H} - \vec{E} \vec{j} -\vec{E} \frac{\partial }{\partial x} \vec{D}
<br />
)
Die Terme div S und jE kommen schon in dem Poynting Satz vor. Die zwei andere Terme muss ich noch irgendwie umändern. |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 21:49 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: |
Die Terme div S und jE kommen schon in dem Poynting Satz vor. Die zwei andere Terme muss ich noch irgendwie umändern. |
Sehr gut. Als nächstes kommst du nicht ohne bestimmte Zusatzannahmen über das Medium aus, in dem sich die Felder ausbreiten. Diese Annahmen liefern dir einen Zusammenhang zwischen E und D sowie H und B. Was wäre die einfachste Annahme über einen solchen Zusammenhang, die z.B. im Vakuum gilt, und wie kann es damit weitergehen?
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 22. Aug 2014 22:14, insgesamt 3-mal bearbeitet |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:54 Titel: |
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Also ich weiß, dass
)
und
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 21:55 Titel: |
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P.S. du hast übrigens die Ableitung von D nach x anstatt nach t ausgeführt. Ich gehen mal von einem copy-paste-Fehler aus. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:57 Titel: |
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Ja, im Formeleditor ist d/dx, daher oft der Fehler |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 21:59 Titel: |
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= 1,2 (DE+ HB)) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 22:02 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Also ich weiß, dass
und
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Genau und wie geht's damit weiter? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:04 Titel: |
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Das weiß ich nicht...... |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:06 Titel: |
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Ich brauche die Ableitung von w em.... weiß aber nicht, wie ich das machen soll |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 22:11 Titel: |
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Laß uns einfach mal die Terme einzeln betrachten, mit denen wir noch nichts anzufangen wissen, also:
(Mist. Ich hab versehentlich meinen Beitrag weiter oben editiert, anstatt einen neuen zu schreiben.)
(Edit: Beitrag weiter oben wiederhergestellt.) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 22:18 Titel: |
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Wie gesagt, einfach mal die Beziehung zwischen E/D und H/B benutzen. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:19 Titel: |
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\vec{H} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = \frac{1}{\mu_0} \vec{B}\frac{\partial }{\partial t} \vec{B} \\
\vec{E} \frac{\partial \vec{D}}{\partial x} = \epsilon _0 \vec{E} \frac{\partial }{\partial t} \vec{E}? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:20 Titel: |
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Sorry
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 22:29 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: | Sorry
[Ableitung korrigiert] |
Ja. Das ist schon richtig. Oben steht ja schon ein Ausdruck für ) , dessen Zeitableitung im Poynting-Satz vorkommt. Hier stehen jetzt auch schon alle Größen inklusive der Zeitableitungen beieinander. Du mußt die jetzt nur noch richtig zusammenfügen. Wie sieht die Ableitung eines Produkts aus?
Edit: Vergessener Faktor 1/2 in der Energiedichte ergänzt. Wird langsam spät.;-)
Zuletzt bearbeitet von index_razor am 22. Aug 2014 22:39, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8581
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| jh8979 Verfasst am: 22. Aug 2014 22:31 Titel: |
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Kleine Zwischenfrage: Was studierst Du Emily und wofür machst Du die ganzen Aufgaben? |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:37 Titel: |
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Ich ergänze mein Physikstudium. Ich habe leider lange Pause gehabt und habe einiges vergessen. Will nun einiges nachholen. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:40 Titel: |
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Ok, ich hab es . DIe Lösung kommt gleich. muss nur eintippen |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 22:53 Titel: |
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Dann erhalte ich:
Und das ist doch das, was oben stand. Also für die zwei Terme in der Gleichung für div S setzte ich nun w_em ein.Q |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 23:09 Titel: |
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Warte mal. Ich seh grad nicht ganz durch was du machst. Der Anfang sieht aber gut aus:
| Emily hat Folgendes geschrieben: | 
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Kannst du hier noch etwas expliziter sein? Was hast du gemacht? Bei dem was folgt, hast du mich ein bißchen abgehängt. Aber wir sind eigentlich schon fertig. Es muß nur noch ein bißchen geordnet werden. Ich fasse nochmal zusammen. Wir hatten ja schon
 = -\epsilon\vec{E}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} - \frac{1}{\mu}\vec{B}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} - \vec{\jmath}\vec{E}
<br />
)
d.h. die Gl., die du oben als erstes hingeschrieben hast, ist tatsächlich das einzige, was noch fehlt. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 23:20 Titel: |
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Ja,
 = -\epsilon\vec{E}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} - \frac{1}{\mu}\vec{B}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} - \vec{\jmath}\vec{E}
<br />
<br />
= \frac{\partial }{\partial t} \vec{D} + \vec{H} \frac{\partial }{\partial t} \vec{B} - j\vec{E}=\\
<br />
\frac{\partial }{\partial t}w_{em} - j\vec{E}(\vec{x},t)
<br />
) |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 23:25 Titel: |
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Kleine Korrektur :
| Emily hat Folgendes geschrieben: | Ja,
 = -\epsilon\vec{E}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} - \frac{1}{\mu}\vec{B}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} - \vec{\jmath}\vec{E}
<br />
<br />
= \frac{\partial }{\partial t} \vec{D} \vec{E} + \vec{H} \frac{\partial }{\partial t} \vec{B} - j\vec{E}=\\
<br />
\frac{\partial }{\partial t}w_{em} - j\vec{E}(\vec{x},t)
<br />
) |
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 23:36 Titel: |
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| Emily hat Folgendes geschrieben: |
 = -\epsilon\vec{E}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} - \frac{1}{\mu}\vec{B}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} - \vec{\jmath}\vec{E}
<br />
<br />
= \frac{\partial }{\partial t} \vec{D}\vec{E} + \vec{H} \frac{\partial }{\partial t} \vec{B} - j\vec{E}=\\
<br />
\frac{\partial }{\partial t}w_{em} - j\vec{E}(\vec{x},t)
<br />
) |
Hm, ja schon. Worauf ich noch hinauswollte: Die Energiedichte w_em ist doch, bis auf die Dielektrizitäts- und Permeabilitätskonstanten und den Faktor 1/2, die Summe der beiden Skalarprodukte von E und B mit sich selbst. Wenn ich die ableiten will muß ich die Produktregel anwenden:
}{\partial t} + \frac{1}{\mu}\frac{\partial (B^2)}{\partial t}\right))
Und die Produktregel liefert  . (Und einen gleichen Term für B.) Der Faktor 1/2 kürzt sich raus, und es bleiben genau die beiden Terme aus div (E x H) stehen. Aber das ist so spät am Abend vielleicht ein wenig spitzfindig.;-) |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 22. Aug 2014 23:48 Titel: |
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In meinem Beitrag von 22:53 war ein Fehler. nun kleine Koorrektur:
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index_razor
Anmeldungsdatum: 14.08.2014
Beiträge: 3259
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| index_razor Verfasst am: 22. Aug 2014 23:59 Titel: |
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In deinem letzten Beitrag (23:25) sind noch ein paar Vorzeichen falsch. Ab der zweiten Zeile fehlt das Minuszeichen vor den Termen, die die Energiedichte ergeben. |
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Emily
Gast
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| Emily Verfasst am: 23. Aug 2014 10:25 Titel: |
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Ja, das stimmt. |
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