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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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 Dax33 Verfasst am: 28. Feb 2021 19:04 Titel: Satz von Stokes |
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Hey Leute ich habe ein Problem bei dieser Aaufgabe
Weiss jemand wie ich das im kartesichen System umwandeln?
Ansatz:
a)
x= p*cossphi
y = p*sinphi
z= ?
Wie gehe ich bei der a) weiter vor ?
Stelle die Aufgabe in Anhang
Zuletzt bearbeitet von Dax33 am 06. März 2021 11:59, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 28. Feb 2021 22:41 Titel: |
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Der Vektor
hat bezüglich der kartesischen Basis die Komponenten
Nun musst Du  noch durch x, y und z ausdrücken.
Für die Rotation von deren Definition ausgehen. Hier wird sie in der Zylinderbasis einfach (siehe hier; nur die z-Komponente ist ungleich 0).
Um zum Teil d) konkret etwas sagen zu können, müsste die beigefügte Abbildung eine höhere Qualität haben.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 12:22 Titel: |
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x = p*-sinphi
y= p*cos phi
z= 0
Habe ein besseres Bild für die d) angehängt 
Was mache ich jetzt bei der c). genau ?
Finde diese AUfgabe nicht so einfach 
Zuletzt bearbeitet von Dax33 am 06. März 2021 11:59, insgesamt einmal bearbeitet |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 13:07 Titel: |
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| Dax33 hat Folgendes geschrieben: | x = p*-sinphi
y= p*cos phi
z= 0 |
Was ist damit gemeint?
Hast Du b) gelöst und die Rotation von  bestimmt?
Nach dem Satz von Stokes ist das Integral von  über eine Fläche F gleich dem Wegintegral von entlang dem Rand der Fläche  :
\cdot d\vec{\sigma}=\int\limits_{\partial F}A\cdot\vec{s})
In d) soll das für die abgebildete Fläche gezeigt werden, indem beide Seiten der Gleichung berechnet werden.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 13:39 Titel: |
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Bei der a) sollte ich ja nur in kartesische System umwandeln?
Das habe ich doch damit gemacht oder ?
x = p*-sinphi
y= p*cos phi
z= 0
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 14:38 Titel: |
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Nein, a) ist noch nicht ganz erledigt. Die Komponenten von bez. der kartesischen Basis sind
(einfach die Einheitsvektoren  in kartesischen Koordinaten eingefügt).
Anderseits ist ja
Wenn Du das jetzt vergleichst mit Ax, Ay, Az: wie lauten diese Komponenenten ausgedrückt durch x, y, z?
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 14:53 Titel: |
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A = Ax*ex +Ay*ey+Az*ez
A = p*-sinp *ex + p*sinp*ey +z*ez
So was in der Art?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 15:22 Titel: |
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| Dax33 hat Folgendes geschrieben: | A = Ax*ex +Ay*ey+Az*ez
A = p*-sinp *ex + p*sinp*ey +z*ez
So was in der Art? |
Nein, es war so gemeint:
-einfach  durch y ersetzt etc.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 15:38 Titel: |
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Kannst du mir erklären wie ich weiter vorgehen muss bitte ?
Ist einer der ersten Übungen und ich bin schon überlastet
Leider wird uns aktuell nicht viel erklärt und müssen komplett alles im Selbststudium bearbeiten ( ohne Vorlesung)
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 16:19 Titel: |
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In b) soll  berechnet werden, sowohl in der kartesischen als auch in der Zylinderbasis. Dazu von der Definition der Rotation ausgehen, wie sie hier angegeben ist. Die Rotation in Zylinderkoordinaten ist im selben Artikel in einem Abschnitt weiter unten angegeben.
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 16:49 Titel: |
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Um einen ersten Schritt zu machen: in der kartesischen Basis ist die x-Komponente
_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}=0)
Bez. Zylinderkoordinaten ist die  -Komponente
_\rho=0)
ebenfalls =0, da  .
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 17:27 Titel: |
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Hier mein Ansatz :
Wie sieht es in meinem Bild aus ?
Ist mein Ansatz richtig ?
Was muss ich da machen?
| Beschreibung: |
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Bildschirmfoto 2021-03-01 um 17.26.03.png |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 17:34 Titel: |
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Das, was Du aufgeschrieben hast, ist nicht die Rotation von A, sondern die Divergenz. Schau Dir doch einfach die Definition in Deinen Unterlagen oder auf Wikipedia an.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 17:44 Titel: |
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Was soll ich dann für Az und Ay einsetzen ?
Soll ich dann nach y und z ableiten?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 17:51 Titel: |
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| Dax33 hat Folgendes geschrieben: | | Was soll ich dann für Az und Ay einsetzen ? |
Das, was in a) herausgekommen ist:  .
Und ja, dann wie in der Definition die partiellen Ableitungen bilden. Es sollte sich zeigen, dass nur die z-Komponente von ungleich 0 ist.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 18:32 Titel: |
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Es kommt bei der Rechnung jeweils immer 0 raus ?
Richtig?
| Beschreibung: |
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 01. März 2021 20:58 Titel: |
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Offen gesagt, ich verstehe nicht ganz, was Du gerechnet hast und weshalb Du Zylinder- und kartesische Koordinaten durcheinanderbringst.
In kartesischen Koordinaten ergibt sich für die x- und y-Komponente der Rotation 0, da alle partiellen Ableitungen verschwinden. Die z-Komponente ganz ausführlich:
_z=\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}=2)
In Zylinderkoordinaten ausgedrückt ergibt die  - und die  -Komponente ebenfalls 0 (wie zu erwarten war), und für die z-Komponente erhält man
_z=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho A_\varphi)-\frac{\partial A_\rho}{\partial\varphi}\right)=\frac{1}{\rho}\frac{\partial (\rho^2)}{\partial \rho})=2)
was mit der Rechnung in kartesischen Koordinaten übereinstimmt.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 01. März 2021 23:24 Titel: |
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Ah jetzt verstehe ich es ein wenig
Kannst du mir auch b) helfen ?
Zumindest paar Tipps und ich starte einen Versuch
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 02. März 2021 09:08 Titel: |
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| Dax33 hat Folgendes geschrieben: | | Kannst du mir auch b) helfen ? |
Das war doch Aufgabenteil b)?!
Bei c) musst Du selber mal über den Satz von Stokes nachlesen. Es gilt wie oben angegeben:
Das Integral von über eine Fläche F ist gleich dem Wegintegral von entlang dem Rand der Fläche :
\cdot d\vec{\sigma}=\int\limits_{\partial F}\vec{A}\cdot\dd\vec{s})
In d) soll dann die rechte und die linke Seite der Gleichung für die abgebildete Fläche berechnet werden. Die linke Seite ist einfach: da konstant ist, muss praktisch nur die Fläche F bestimmt werden. Die rechte Seite gibt etwas mehr Aufwand. Für die Berechnung des Kurvenintegrals müssen für den Weg stückweise Parametrisierungen  gefunden werden. Dann gilt
)\cdot \dot{\gamma_i}(t)\,\dd t)
Für die geraden Abschnitte kartesische, für den Halbkreis Zylinderkoordinaten verwenden.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 02. März 2021 10:46 Titel: |
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Habe mal meine Rechnung von der linken Seite im Anhang eingefügt.
Wie sieht es mit der rechten Seite aus ?
Irgendwie über den Halbkreis integrieren?
Mit welchen Grenzen?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 02. März 2021 13:03 Titel: |
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Zur linken Seite der Gleichung: ja, das sieht schon einmal recht gut aus, aber der Halbkreis ist noch nicht berücksichtigt. Es gilt ja (ich benutze jetzt die Bezeichnungen in Deinem letzten Beitrag)
\cdot d\vec{F}=\int\limits_S 2\vec{e}_z\cdot \vec{e}_z\,dF=2F)
wenn F der Flächeninhalt von S ist. Die Berechnung von F musst Du kaum genauer aufführen, die Fläche von 2 Quadraten und einem Halbkreis sollte klar sein.
Zur linken Seite der Gleichung: Für den ersten Abschnitt von Punkt (a,0,0) zu (a,a,0) kann  so gewählt werden:
=\begin{pmatrix}a\\t\\0\end{pmatrix}, \quad 0\leq t\leq a)
Dann ergibt sich für diesen Abschnitt
)\cdot\dot{\gamma}_1(t)\,dt=\int\limits_0^a\begin{pmatrix}-t\\a\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\,dt=a^2)
Die anderen geraden Abschnitte gehen völlig analog. Für den Halbkreis wäre eine mögliche Parametrisierung:
=\begin{pmatrix}a\cos t\\a\sin t\\0\end{pmatrix},\quad \frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{3\pi}{2})
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 02. März 2021 14:17 Titel: |
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Hi myon deine Rechnung habe ich jetzt verstanden ,aber ich verstehe nicht wie ich auf diese Vektoren für die nächsten Abschnitte kommen soll?
Das fällt mir extrem schwer .
Wie soll ich darauf kommen ?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 02. März 2021 23:39 Titel: |
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Wie man auf die Parametrisierungen kommt, kann ich nicht gut erklären. Wenn es um eine gerade Strecke geht, sollte es ja nicht so schwierig sein. Anfang- und Endpunkt betrachten, und diese durch eine „lineare“ Funktion verbinden.
Beim 2. Wegabschnitt von (a,a,0) zu (0, a, 0) z.B. mit
=\begin{pmatrix}a-t\\a\\0\end{pmatrix}, \quad 0\leq t\leq a)
Für den Halbkreis habe ich oben schon eine Parametrisierung angegeben. Für die weiteren Abschnitte könnte gewählt werden:
Von (0,-a,0) nach (a,-a,0):
=\begin{pmatrix}t\\-a\\0\end{pmatrix}, \quad 0\leq t\leq a)
Von (a,-a, 0) nach (a, 0, 0)
=\begin{pmatrix}a\\t\\0\end{pmatrix}, \quad -a\leq t\leq 0)
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 03. März 2021 01:43 Titel: |
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Und alle diese Vektoren im Integral mit (0,1,0 ) multiplizieren?
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Myon
Anmeldungsdatum: 04.12.2013
Beiträge: 5852
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| Myon Verfasst am: 03. März 2021 09:06 Titel: |
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Nein - genau wie oben vorgehen. Die Parametrisierung in einsetzen und skalar mit ) multiplizieren. Nochmals für den 2. Abschnitt:
:=(a-t,a,0)^T, \quad 0\leq t\leq a)
)\cdot\dot{\gamma_2}(t)\,dt= \int\limits_0^a\begin{pmatrix}-a\\a-t\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}dt=a^2)
Die geraden Abschnitte müsste man eigentlich gar nicht alle ausrechnen, denn aus Symmetriegründen ist klar, dass die Wegintegrale jeweils denselben Wert haben müssen.
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 03. März 2021 16:45 Titel: |
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Würden die Rechnungen zu den Abschnitten so passen ?
War mir nicht sicher welchen zweiten Vektor ich da nehmen soll?
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Dax33
Anmeldungsdatum: 28.02.2021
Beiträge: 28
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| Dax33 Verfasst am: 04. März 2021 10:41 Titel: |
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Passt das so Myon?
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